Dažreiz "eksponenciāla izaugsme" ir tikai runas figūra, atsauce uz visu, kas nepamatoti vai neticami ātri aug. Bet dažos gadījumos eksponenciālās izaugsmes ideju var uztvert burtiski. Piemēram, trušu populācija var pieaugt eksponenciāli, kad vairojas katra paaudze, pēc tam vairojas viņu pēcnācēji utt. Arī uzņēmējdarbības vai personīgie ienākumi var pieaugt eksponenciāli. Kad jūs aicinās veikt reālās pasaules eksponenciālās izaugsmes aprēķinus, jūs strādāsit ar trim informācijas elementiem: sākuma vērtību, pieauguma (vai sabrukšanas) ātrumu un laiku.
TL; DR (pārāk ilgi; Nelasīju)
TL; DR (pārāk ilgi; Nelasīju)
Lai aprēķinātu eksponenciālo pieaugumu, izmantojiet formulu y(t) = a__ekt, kur a ir vērtība sākumā, k ir augšanas vai sabrukšanas ātrums, t ir laiks un y(t) ir iedzīvotāju vērtība attiecīgajā brīdī t.
Iedomājieties, ka zinātnieks pēta jaunas baktēriju sugas augšanu. Lai gan viņš varēja ievadīt sākuma daudzuma, augšanas ātruma un laika vērtības populācijas pieauguma kalkulatorā, viņš nolēma baktēriju populācijas augšanas ātrumu aprēķināt manuāli.
Atskatoties uz saviem rūpīgajiem ierakstiem, zinātnieks redz, ka viņa sākotnējā populācija bija 50 baktērijas. Piecas stundas vēlāk viņš izmēra 550 baktērijas.
Ievadot zinātnieka informāciju eksponenciālās izaugsmes vai sabrukšanas vienādojumā, y(t) = a__ekt, viņam ir:
550 = 50_ek_5
Vienīgais vienādojums, kas palicis vienādojumā, ir kjeb eksponenciālās izaugsmes ātrums.
Lai sāktu risināt k, vispirms sadaliet abas vienādojuma puses ar 50. Tas dod jums:
550/50 = (50_ek_5) / 50, kas vienkāršo:
11 = e_k_5
Pēc tam ņemiet abu pušu dabisko logaritmu, kas apzīmēts kā ln (x). Tas dod jums:
ln (11) = ln (e_k_5)
Dabiskais logaritms ir apgrieztā funkcija ex, tāpēc tas efektīvi "atsauc" ex funkcija vienādojuma labajā pusē, atstājot jums:
ln (11) = _k_5
Pēc tam sadaliet abas puses ar 5, lai izolētu mainīgo, kas dod jums:
k = ln (11) / 5
Tagad jūs zināt šīs baktēriju populācijas eksponenciālā pieauguma ātrumu: k = ln (11) / 5. Ja jūs gatavojaties veikt turpmākus aprēķinus ar šo populāciju, piemēram, pievienojot pieauguma ātrumu vienādojumam un aplēšot populācijas lielumu t = 10 stundas - vislabāk atstāt atbildi šajā formā. Bet, ja neveicat citus aprēķinus, varat ievadīt šo vērtību eksponenciālās funkcijas kalkulatorā - vai savā zinātniskajā kalkulatorā, lai iegūtu aprēķināto vērtību 0,479579. Atkarībā no precīziem eksperimenta parametriem, lai atvieglotu aprēķināšanu vai pierakstīšanu, varat to noapaļot līdz 0,48 stundā.
Padomi
Ja jūsu pieauguma temps būtu mazāks par 1, tas norāda, ka iedzīvotāju skaits samazinās. Tas ir pazīstams kā sabrukšanas ātrums vai eksponenciālās sabrukšanas ātrums.