Pamatojuma veidi ģeometrijā

Ģeometrija ir valoda, kurā tiek apspriestas formas un leņķi, kas sajaukti algebriskā izteiksmē. Ģeometrija matemātiskajos vienādojumos izsaka attiecības starp viendimensiju, divdimensiju un trīsdimensiju figūrām. Ģeometrija tiek plaši izmantota inženierzinātnēs, fizikā un citās zinātnes jomās. Studenti gūst ieskatu sarežģītos zinātniskos un matemātiskos pētījumos, uzzinot, kā tiek atklāti, pamatoti un pierādīti ģeometriskie jēdzieni.

Induktīvā spriešana ir pamatojuma forma, kas nonāk pie secinājuma, kura pamatā ir modeļi un novērojumi. Ja induktīvais pamatojums tiek izmantots pats par sevi, tā nav precīza metode patiesu un precīzu secinājumu izdarīšanai. Kā piemēru ņem trīs draugus: Džimu, Mariju un Frenku. Frenks novēro Džima un Marijas cīņas. Frenks novēro, kā Džims un Marija nedēļas laikā trīs vai četras reizes strīdas, un katru reizi, kad viņš viņus redz, viņi strīdas. Paziņojums “Džims un Marija visu laiku cīnās” ir induktīvs secinājums, pie kura nonāk ierobežots novērojums par to, kā Džims un Marija mijiedarbojas. Induktīvā spriešana var likt studentiem virzīties uz pamatotu hipotēzi, piemēram, “Džims un Marija bieži cīnās”. Bet induktīvo pamatojumu nevar izmantot kā vienīgo pamatu idejas pierādīšanai. Induktīvai spriešanai ir nepieciešama novērošana, analīze, secināšana (modeļa meklēšana) un novērojuma apstiprināšana, veicot papildu pārbaudes, lai izdarītu derīgus secinājumus.

Deduktīvais pamatojums ir soli pa solim, loģiska pieeja idejas pierādīšanai ar novērojumiem un pārbaudēm. Deduktīvais pamatojums sākas ar sākotnēju, pārbaudītu faktu un veido argumentu pa vienam apgalvojumam, lai nenoliedzami pierādītu jaunu ideju. Secinājums, kas izdarīts, izmantojot deduktīvu pamatojumu, ir balstīts uz mazāku secinājumu pamatu, kas katrs virzās uz galīgo paziņojumu.

Aksiomas un postulāti tiek izmantoti induktīvā un deduktīvā pamatojuma argumentu izstrādes procesā. Aksioma ir paziņojums par reāliem skaitļiem, kas tiek pieņemts kā patiess, neprasot oficiālu pierādījumu. Piemēram, aksioma, ka skaitlim trīs ir lielāka vērtība nekā skaitlim diviem, ir pašsaprotama aksioma. Postulāts ir līdzīgs un definēts kā apgalvojums par ģeometriju, kurš bez pierādījumiem tiek pieņemts kā patiess. Piemēram, aplis ir ģeometriska figūra, kuru vienmērīgi var sadalīt 360 grādos. Šis apgalvojums visos apstākļos attiecas uz katru loku. Tāpēc šis apgalvojums ir ģeometrisks postulāts.

Teorēma ir precīzi izveidota deduktīva argumenta rezultāts vai secinājums, un tā var būt labi izpētīta induktīva argumenta rezultāts. Īsāk sakot, teorēma ir apgalvojums ģeometrijā, kas ir pierādīts, un tāpēc uz to var balstīties kā uz patiesu apgalvojumu, veidojot loģiskus pierādījumus citām ģeometrijas problēmām. Apgalvojumi, ka “divi punkti nosaka līniju” un “trīs punkti nosaka plakni”, ir katra ģeometriskā teorēma.