Ģeometriskā secībā katrs termins ir vienāds ar iepriekšējo terminu, reizinot ar nemainīgu, nulles reizinātāju, ko sauc par kopējo koeficientu. Ģeometriskām sekvencēm var būt noteikts terminu skaits vai arī tās var būt bezgalīgas. Jebkurā gadījumā ģeometriskās secības termini var ātri kļūt ļoti lieli, ļoti negatīvi vai ļoti tuvu nullei. Salīdzinājumā ar aritmētiskajām sekvencēm termini mainās daudz ātrāk, bet, kamēr bezgalīga aritmētika secības vienmērīgi palielinās vai samazinās, ģeometriskās secības var tuvoties nullei, atkarībā no kopējās faktors.
TL; DR (pārāk ilgi; Nelasīju)
Ģeometriskā secība ir sakārtots skaitļu saraksts, kurā katrs termins ir iepriekšējā termina un fiksēta nulles reizinātāja, ko sauc par kopējo koeficientu, reizinājums. Katrs ģeometriskās secības termins ir to pirms un pēc sekojošo terminu ģeometriskais vidējais. Bezgalīgas ģeometriskas secības ar kopēju koeficientu starp +1 un −1 tuvojas nulles robežai kā termini tiek pievienoti, bet secības ar kopēju faktoru, kas lielāks par +1 vai mazāks par −1, iet uz plus vai mīnus bezgalība.
Kā darbojas ģeometriskās secības
Ģeometrisko secību nosaka tās sākuma numursa, kopīgais faktorsrun terminu skaitsS. Atbilstošā ģeometriskās secības vispārīgā forma ir:
a, ar, ar ^ 2, ar ^ 3,... , ar ^ {S-1}
Vispārīgā termina formulanģeometriskā secība (t.i., jebkurš termins šajā secībā) ir:
a_n = ar ^ {n-1}
Rekursīvā formula, kas definē terminu attiecībā pret iepriekšējo terminu, ir:
a_n = ra_ {n-1}
Ģeometriskās secības piemērs ar sākuma numuru 3, kopējais koeficients 2 un astoņi termini ir 3, 6, 12, 24, 48, 96, 192, 384. Aprēķinot pēdējo terminu, izmantojot iepriekš minēto vispārīgo veidlapu, šis termins ir:
a_8 = 3 × 2 ^ {8-1} = 3 × 2 ^ 7 = 3 × 128 = 384
Izmantojot 4. termina vispārīgo formulu:
a_4 = 3 × 2 ^ {4-1} = 3 × 2 ^ 3 = 3 × 8 = 24
Ja vēlaties izmantot rekursīvo formulu 5. terminam, tad termins 4 = 24 un a5 ir vienāds ar:
a_5 = 2 × 24 = 48
Ģeometriskās secības īpašības
Ģeometriskām sekvencēm ir īpašas īpašības, ciktāl tas attiecas uz ģeometrisko vidējo. Divu skaitļu ģeometriskais vidējais lielums ir to kvadrātsakne. Piemēram, 5 un 20 ģeometriskais vidējais ir 10, jo reizinājums 5 × 20 = 100 un kvadrātsakne no 100 ir 10.
Ģeometriskās secībās katrs termins ir vidējais ģeometriskais termins pirms tā un termina pēc tā. Piemēram, 3., 6., 12. secībā... augstāk, 6 ir 3 un 12 ģeometriskais vidējais, 12 ir 6 un 24 ģeometriskais vidējais, un 24 ir 12 un 48 ģeometriskais vidējais.
Citas ģeometrisko secību īpašības ir atkarīgas no kopīgā faktora. Ja kopīgais faktorsrir lielāks par 1, bezgalīgas ģeometriskas secības tuvosies pozitīvai bezgalībai. Jarir starp 0 un 1, secības tuvosies nullei. Jarir starp nulli un −1, secības tuvosies nullei, bet termini mainīsies starp pozitīvo un negatīvo vērtību. Jarir mazāks par −1, termini virzīsies gan uz pozitīvu, gan uz negatīvu bezgalību, kad tie mijas pozitīvas un negatīvas vērtības.
Ģeometriskās secības un to īpašības ir īpaši noderīgas reālās pasaules procesu zinātniskajos un matemātiskajos modeļos. Īpašu secību izmantošana var palīdzēt izpētīt populācijas, kas noteiktā laika periodā pieaug ar fiksētu ātrumu, vai ieguldījumus, kas nopelna procentus. Vispārīgās un rekursīvās formulas ļauj prognozēt precīzas vērtības nākotnē, pamatojoties uz sākuma punktu un kopējo faktoru.