Mācīšanās rīkoties ar eksponentiem ir jebkura matemātikas izglītības neatņemama sastāvdaļa, taču, par laimi, to pavairošanas un dalīšanas noteikumi sakrīt ar noteikumiem, kas attiecas uz nedalāmajiem eksponentiem. Pirmais solis, lai saprastu, kā rīkoties ar frakcionētajiem eksponentiem, ir pārdomāt, kas viņi īsti ir, un tad jūs varat apskatīt veidus, kā jūs varat apvienot eksponentus, kad tie tiek reizināti vai sadalīti, un tiem ir vienādi bāze. Īsāk sakot, reizinot, eksponentus saskaita kopā un atdalot vienu no otra, ja vien tiem ir vienāda bāze.
TL; DR (pārāk ilgi; Nelasīju)
Reiziniet terminus ar eksponentiem, izmantojot vispārīgo kārtulu:
xa + xb = x(a + b)
Sadaliet terminus ar eksponentiem, izmantojot kārtulu:
xa ÷ xb = x(a – b)
Šie noteikumi darbojas ar jebkuru izteicienu vietāaunb, pat frakcijas.
Kas ir frakcionēti eksponenti?
Daļēji eksponenti nodrošina kompaktu un noderīgu veidu, kā izteikt kvadrātu, kubu un augstākas saknes. Eksponenta saucējs norāda, kādu “bāzes” skaitļa sakni apzīmē termins. Tādā termiņā kā
x ^ {1/2} = \ sqrt {x}
Eksponenta divu saucējs jums saka, ka jūs lietojat kvadrātsaknixšajā izteiksmē. Tas pats pamatnoteikums attiecas arī uz augstākām saknēm:
x ^ {1/3} = \ sqrt [3] {x}
Un
x ^ {1/4} = \ sqrt [4] {x}
Šis modelis turpinās. Konkrēts piemērs:
9 ^ {1/2} = \ sqrt {9} = 3
Un
8 ^ {1/3} = \ sqrt [3] {8} = 2
Frakciju eksponentu likumi: frakcionēto eksponentu reizināšana ar to pašu bāzi
Reiziniet terminus ar daļējiem eksponentiem (ja vien tiem ir vienāda bāze), saskaitot eksponentus. Piemēram:
x ^ {1/3} × x ^ {1/3} × x ^ {1/3} = x ^ {(1/3 + 1/3 + 1/3)} \\ = x ^ 1 = x
Kopšx1/3 nozīmē “kuba saknex, ”Ir pilnīgi loģiski, ka tas, ko reizina pats par sevi, dod rezultātux. Jums var rasties arī tādi piemēri kāx1/3 × x1/3, bet jūs ar tiem rīkojaties tieši tāpat:
x ^ {1/3} × x ^ {1/3} = x ^ {(1/3 + 1/3)} \\ = x ^ {2/3}
Fakts, ka izteiksme beigās joprojām ir daļējs eksponents, nemaina procesu. To var vienkāršot, ja to atzīmējatx2/3 = (x1/3)2 = ∛x2. Ar šādu izteicienu nav svarīgi, vai jūs vispirms ņemat sakni vai spēku. Šis piemērs parāda, kā aprēķināt šos:
8 ^ {1/3} + 8 ^ {1/3} = 8 ^ {2/3} \\ = (\ sqrt [3] {8}) ^ 2
Tā kā kuba sakni no 8 ir viegli izstrādāt, rīkojieties šādi:
(\ sqrt [3] {8}) ^ 2 = 2 ^ 2 = 4
Tātad tas nozīmē:
8^{1/3} + 8^{1/3}= 4
Varat arī sastapt frakcionālo eksponentu produktus ar atšķirīgiem skaitļiem frakciju saucējos, un jūs varat pievienot šos eksponentus tāpat kā pievienotu citas frakcijas. Piemēram:
\ begin {izlīdzināts} x ^ {1/4} × x ^ {1/2} & = x ^ {(1/4 + 1/2)} \\ & = x ^ {(1/4 + 2/4 )} \\ & = x ^ {3/4} \ end {izlīdzināts}
Šie visi ir specifiski vispārīgā noteikuma izteicieni divu izteicienu reizināšanai ar eksponentiem:
x ^ a + x ^ b = x ^ {(a + b)}
Frakcijas eksponenta likumi: frakcionālo eksponentu dalīšana ar to pašu bāzi
Risiniet divu skaitļu dalīšanu ar daļējiem eksponentiem, atņemot dalāmo eksponentu (dalītāju) ar dalāmo (dividenžu). Piemēram:
x ^ {1/2} ÷ x ^ {1/2} = x ^ {(1/2 - 1/2)} \\ = x ^ 0 = 1
Tam ir jēga, jo jebkurš skaitlis, kas dalīts pats par sevi, ir vienāds ar vienu, un tas atbilst standarta rezultātam, ka jebkurš skaitlis, kas tiek paaugstināts līdz 0, ir vienāds ar vienu. Nākamajā piemērā skaitļi tiek izmantoti kā bāzes un dažādi eksponenti:
\ begin {izlīdzināts} 16 ^ {1/2} ÷ 16 ^ {1/4} & = 16 ^ {(1/2 - 1/4)} \\ & = 16 ^ {(2/4 - 1/4 )} \\ & = 16 ^ {1/4} \\ & = 2 \ beigas {izlīdzināts}
Ko jūs varat arī redzēt, ja atzīmējat, ka 161/2 = 4 un 161/4 = 2.
Tāpat kā reizināšanas gadījumā, jūs varat nonākt arī ar daļējiem eksponentiem, kuru skaitītājā ir cits skaitlis, taču jūs rīkojaties ar tiem tāpat.
Tie vienkārši izsaka eksponentu dalīšanas vispārīgo noteikumu:
x ^ a ÷ x ^ b = x ^ {(a - b)}
Frakcionālo eksponentu reizināšana un dalīšana dažādās bāzēs
Ja terminu pamats atšķiras, eksponentu reizināšanai vai sadalīšanai nav vienkārša veida. Šajos gadījumos vienkārši aprēķiniet atsevišķu terminu vērtību un pēc tam veiciet nepieciešamo darbību. Vienīgais izņēmums ir tas, ja eksponents ir vienāds, un tādā gadījumā jūs varat tos reizināt vai sadalīt šādi:
x ^ 4 × y ^ 4 = (xy) ^ 4 \\ x ^ 4 ÷ y ^ 4 = (x ÷ y) ^ 4