Triki kvadrātvienādojumu vienādošanai

Kvadrātvienādojumi ir formulas, kuras var ierakstīt formā Ax ^ 2 + Bx + C = 0. Dažreiz kvadrātvienādojumu var vienkāršot, faktorējot vai izsakot vienādojumu kā atsevišķu terminu reizinājumu. Tas var padarīt vienādojumu vieglāk atrisināmu. Dažreiz faktorus var būt grūti noteikt, taču ir triki, kas procesu var padarīt vieglāku.

Pārbaudiet kvadrātvienādojumu, lai noteiktu, vai ir skaitlis un / vai mainīgais, kas var sadalīt katru vienādojuma terminu. Piemēram, ņemiet vērā vienādojumu 2x ^ 2 + 10x + 8 = 0. Lielākais skaitlis, ko var vienmērīgi sadalīt katrā vienādojuma izteiksmē, ir 2, tāpēc 2 ir lielākais kopīgais faktors (GCF).

Sadaliet katru vienādojuma vārdu ar GCF un reiziniet visu vienādojumu ar GCF. Piemērā 2x ^ 2 + 10x + 8 = 0 ir vienādojums, kā rezultātā 2 ((2/2) x ^ 2 + (10/2) x + (8/2)) = 2 (0/2).

Vienkāršojiet izteicienu, aizpildot sadalījumu katrā termiņā. Galīgajā vienādojumā nedrīkst būt frakcijas. Šajā piemērā rezultāts būtu 2 (x ^ 2 + 5x + 4) = 0.

Pārbaudiet kvadrātvienādojumu, lai redzētu, vai tas ir formā Ax ^ 2 + 0x - C = 0, kur A = y ^ 2 un C = z ^ 2. Ja tas tā ir, kvadrātvienādojums izsaka divu kvadrātu starpību. Piemēram, vienādojumā 4x ^ 2 + 0x - 9 = 0, A = 4 = 2 ^ 2 un C = 9 = 3 ^ 2, tātad y = 2 un z = 3.

Faktors vienādojumu formā (yx + z) (yx - z) = 0. Vienādojuma piemērā y = 2 un z = 3; tāpēc faktorizētais kvadrātvienādojums ir (2x + 3) (2x - 3) = 0. Tā vienmēr būs kvadrāta vienādojuma, kas ir kvadrātu starpība, faktora forma.

Pārbaudiet kvadrātvienādojumu, lai redzētu, vai tas ir ideāls kvadrāts. Ja kvadrātvienādojums ir ideāls kvadrāts, to var uzrakstīt formā y ^ 2 + 2yz + z ^ 2, piemēram, vienādojumu 4x ^ 2 + 12x + 9 = 0, kuru var pārrakstīt kā (2x) ^ 2 + 2 (2x) (3) + (3) ^ 2. Šajā gadījumā y = 2x un z = 3.

Pārbaudiet, vai termins 2yz ir pozitīvs. Ja termins ir pozitīvs, perfektā kvadrātveida kvadrātvienādojuma faktori vienmēr ir (y + z) (y + z). Piemēram, iepriekšminētajā vienādojumā 12x ir pozitīvs, tāpēc faktori ir (2x + 3) (2x + 3) = 0.

Pārbaudiet, vai termins 2yz ir negatīvs. Ja termins ir negatīvs, faktori vienmēr ir (y - z) (y - z). Piemēram, ja iepriekšminētajā vienādojumā būtu termins -12x, nevis 12x, koeficienti būtu (2x - 3) (2x - 3) = 0.

Iestatiet kvadrātvienādojuma faktorēto formu, rakstot (vx + w) (yx + z) = 0. Atgādiniet FOIL reizināšanas noteikumus (pirmais, ārējais, iekšējais, pēdējais). Tā kā kvadrātvienādojuma pirmais termins ir Ax ^ 2, abiem vienādojuma faktoriem jāietver x.

Atrisiniet v un y, ņemot vērā visus A faktorus kvadrātvienādojumā. Ja A = 1, tad gan v, gan y vienmēr būs 1. Piemērā vienādojums x ^ 2 - 9x + 8 = 0, A = 1, tāpēc v un y var atrisināt faktora vienādojumā, lai iegūtu (1x + w) (1x + z) = 0.

Nosakiet, vai w un z ir pozitīvi vai negatīvi. Piemēro šādus noteikumus: C = pozitīvs un B = pozitīvs; abiem faktoriem ir + zīme C = pozitīva un B = negatīva; abiem faktoriem ir - zīme C = negatīva un B = pozitīva; koeficientam ar lielāko vērtību ir + zīme C = negatīva un B = negatīva; koeficientam ar vislielāko vērtību ir - zīme. Vienādojuma 2. solī piemērā B = -9 un C = +8, tātad abiem vienādojuma faktoriem būs - zīmes, un faktora vienādojumu var uzrakstīt kā (1x - w) (1x - z) = 0.

Sastādiet visu C faktoru sarakstu, lai atrastu w un z vērtības. Iepriekš minētajā piemērā C = 8, tāpēc faktori ir 1 un 8, 2 un 4, -1 un -8, un -2 un -4. Faktoriem jāsasniedz B, kas ir -9 vienādojuma piemērā, tātad w = -1 un z = -8 (vai otrādi), un mūsu vienādojums tiek pilnībā ņemts vērā kā (1x - 1) (1x - 8) = 0.

Samaziniet vienādojumu līdz vienkāršākajai formai, izmantojot iepriekš uzskaitīto vislielākā kopīgā faktora metodi. Piemēram, vienādojumā 9x ^ 2 + 27x - 90 = 0 GCF ir 9, tāpēc vienādojums vienkāršojas līdz 9 (x ^ 2 + 3x - 10).

Zīmējiet lodziņu un sadaliet to tabulā ar divām rindām un divām kolonnām. Ievietojiet vienkāršotā vienādojuma Ax ^ 2 1. rindas 1. slejā un C vienkāršotā vienādojuma 2. rindas 2. slejā.

Reiziniet A ar C un atrodiet visus produkta faktorus. Iepriekš minētajā piemērā A = 1 un C = -10, tāpēc reizinājums ir (1) (- 10) = -10. Faktori -10 ir -1 un 10, -2 un 5, 1 un -10, kā arī 2 un -5.

Nosakiet, kurš no produkta faktoriem AC summē B. Piemērā B = 3. Faktori -10, kas sastāda 3, ir -2 un 5.

Reiziniet katru identificēto faktoru ar x. Iepriekš sniegtajā piemērā tas radītu -2x un 5x. Ievietojiet šos divus jaunos vārdus diagrammā divās tukšajās vietās, lai tabula izskatās šādi:

x ^ 2 | 5x

-2x | -10

Atrodiet GCF katrai lodziņa rindai un kolonnai. Piemērā augšējās rindas CGF ir x, bet apakšējai - -2. Pirmās kolonnas GCF ir x, bet otrajai kolonnai - 5.

Uzrakstiet faktora vienādojumu formā (w + v) (y + z), izmantojot koeficientus, kas identificēti no diagrammas rindām w un v, un faktorus, kas identificēti no diagrammas kolonnām y un z. Ja 1. solī vienādojums tika vienkāršots, atcerieties faktora izteiksmē iekļaut vienādojuma GCF. Piemērā faktorizētais vienādojums būs 9 (x - 2) (x + 5) = 0.

Pirms sākat kādu no aprakstītajām metodēm, pārliecinieties, vai vienādojums ir standarta kvadrātiskā formā.

Ne vienmēr ir viegli noteikt perfektu kvadrātu vai kvadrātu starpību. Ja jūs ātri redzat, ka kvadrātvienādojums, kuru mēģināt ņemt vērā, ir vienā no šīm formām, tad tas var būt liels palīgs. Tomēr netērējiet daudz laika, mēģinot to noskaidrot, jo citas metodes varētu būt ātrākas.

Vienmēr pārbaudiet savu darbu, reizinot faktorus, izmantojot FOIL metodi. Faktoriem vienmēr vajadzētu reizināties ar sākotnējo kvadrātvienādojumu.