Elementārā algebra ir viena no galvenajām matemātikas nozarēm. Algebra ievieš mainīgo izmantošanas jēdzienu skaitļu attēlošanai un nosaka noteikumus, kā manipulēt ar vienādojumiem, kas satur šos mainīgos. Mainīgie ir svarīgi, jo tie ļauj formulēt vispārinātus matemātiskos likumus un ļauj vienādojumos ievadīt nezināmus skaitļus. Tieši šie nezināmie skaitļi ir algebras problēmu uzmanības centrā, kas parasti liek atrisināt norādīto mainīgo. "Standarta" mainīgos algebrā bieži attēlo kā x un y.
Lineāro un parabolisko vienādojumu risināšana
Pārvietojiet visas konstantās vērtības no vienādojuma puses ar mainīgo uz vienādas zīmes otru pusi. Piemēram, vienādojumam
4x ^ 2 + 9 = 16
atņemiet 9 no vienādojuma abām pusēm, lai noņemtu 9 no mainīgās puses:
4x ^ 2 + 9 - 9 = 16 - 9
kas vienkāršo līdz
4x ^ 2 = 7
Daliet vienādojumu ar mainīgā termina koeficientu. Piemēram,
\ text {if} 4x ^ 2 = 7 \ text {then} \ frac {4x ^ 2} {4} = \ frac {7} {4}
kā rezultātā
x ^ 2 = 1,75
Paņemiet pareizo saknes vienādojumu, lai noņemtu mainīgā lielumu. Piemēram,
\ text {if} x ^ 2 = 1,75 \ text {then} \ sqrt {x ^ 2} = \ sqrt {1,75}
kā rezultātā
x = 1,32
Atrisiniet norādīto mainīgo ar radikāļiem
Izolējiet mainīgo saturošo izteiksmi, izmantojot atbilstošu aritmētisko metodi, lai atceltu konstantu mainīgā pusē. Piemēram, ja
\ sqrt {x + 27} + 11 = 15
jūs izolētu mainīgo, izmantojot atņemšanu:
\ sqrt {x + 27} + 11 - 11 = 15 - 11 = 4
Paaugstiniet abas vienādojuma puses līdz mainīgā saknes jaudai, lai atbrīvotu mainīgo no saknes. Piemēram,
\ sqrt {x + 27} = 4 \ text {then} (\ sqrt {x + 27}) ^ 2 = 4 ^ 2
kas jums dod
x + 27 = 16
Mainīgo izolē, izmantojot piemērotu aritmētisko metodi, lai atceltu konstantu mainīgā pusē. Piemēram, ja
x + 27 = 16
izmantojot atņemšanu:
x = 16 - 27 = -11
Kvadrātvienādojumu risināšana
Iestatiet vienādojumu ar nulli. Piemēram, vienādojumam
2x ^ 2 - x = 1
atņemiet 1 no abām pusēm, lai vienādojumu iestatītu uz nulli
2x ^ 2 - x - 1 = 0
Faktors vai aizpildiet kvadrāta kvadrātu, atkarībā no tā, kurš ir vienkāršāks. Piemēram, vienādojumam
2x ^ 2 - x - 1 = 0
to visvieglāk ir ņemt vērā:
2x ^ 2 - x - 1 = 0 \ teksts {kļūst} (2x + 1) (x - 1) = 0
Atrisiniet mainīgā vienādojumu. Piemēram, ja
(2x + 1) (x - 1) = 0
tad vienādojums ir vienāds ar nulli, ja:
2x + 1 = 0
No tā izriet
2x = -1 \ text {, so} x = - \ frac {1} {2}
vai kad
\ text {when} x - 1 = 0 \ text {, jūs saņemsit} x = 1
Šie ir kvadrātvienādojuma risinājumi.
Frakciju vienādojumu risinātājs
Faktors katrs saucējs. Piemēram,
\ frac {1} {x - 3} + \ frac {1} {x + 3} = \ frac {10} {x ^ 2 - 9}
var ņemt vērā, lai kļūtu:
\ frac {1} {x - 3} + \ frac {1} {x + 3} = \ frac {10} {(x - 3) (x + 3)}
Reiziniet katru vienādojuma pusi ar mazāko kopsaucēju no saucējiem. Vismazāk izplatītais ir izteiciens, kurā katrs saucējs var vienmērīgi sadalīt. Par vienādojumu
\ frac {1} {x - 3} + \ frac {1} {x + 3} = \ frac {10} {(x - 3) (x + 3)}
visretāk sastopamais vairākkārtējais ir (x − 3)(x+ 3). Tātad,
(x - 3) (x + 3) \ bigg (\ frac {1} {x - 3} + \ frac {1} {x + 3} \ bigg) = (x - 3) (x + 3) \ bigg (\ frac {10} {(x - 3) (x + 3)} \ bigg)
kļūst
\ frac {(x - 3) (x + 3)} {x - 3} + \ frac {(x - 3) (x + 3)} {x + 3} = (x - 3) (x + 3) \ bigg (\ frac {10} {(x - 3) (x + 3)} \ bigg)
Atcelt noteikumus un atrisinietx. Piemēram, vienādojuma noteikumu atcelšana
\ frac {(x - 3) (x + 3)} {x - 3} + \ frac {(x - 3) (x + 3)} {x + 3} = (x - 3) (x + 3) \ bigg (\ frac {10} {(x - 3) (x + 3)} \ bigg)
dod:
(x + 3) + (x - 3) = 10
Noved pie
2x = 10 \ text {, un} x = 5
Darbība ar eksponenciālajiem vienādojumiem
Izolējiet eksponenciālo izteiksmi, atceļot visus nemainīgos nosacījumus. Piemēram,
100 × (14 ^ x) + 6 = 10
kļūst
\ sākt {izlīdzināt} 100 × (14 ^ x) + 6 - 6 & = 10 - 6 \\ & = 4 \ beigas {izlīdzināt}
Atcelt mainīgā koeficientu, dalot abas puses ar koeficientu. Piemēram,
100 × (14 ^ x) = 4
kļūst
\ frac {100 × (14 ^ x)} {100} = \ frac {4} {100} \\ \, 14 ^ x = 0,04
Paņemiet vienādojuma dabisko žurnālu, lai pazeminātu mainīgo saturošo eksponentu. Piemēram,
14 ^ x = 0,04
var rakstīt kā (izmantojot dažas logaritmu īpašības):
\ ln (14 ^ x) = \ ln (0.04) \\ x × \ ln (14) = \ ln \ bigg (\ frac {1} {25} \ bigg) \\ x × \ ln (14) = \ ln (1) - \ ln (25) \\ x × \ ln (14) = 0 - \ ln (25)
Atrisiniet mainīgā vienādojumu. Piemēram,
x × \ ln (14) = 0 - \ ln (25) \ text {kļūst} x = \ frac {- \ ln (25)} {\ ln (14)} = -1,22
Risinājums logaritmiskiem vienādojumiem
Izolē mainīgā dabisko žurnālu. Piemēram, vienādojums
2 \ ln (3x) = 4 \ text {kļūst} \ ln (3x) = \ frac {4} {2} = 2
Konvertējiet žurnāla vienādojumu par eksponenciālo vienādojumu, paceļot žurnālu uz atbilstošās bāzes eksponentu. Piemēram,
\ ln (3x) = 2
kļūst:
e ^ {\ ln (3x)} = e ^ 2
Atrisiniet mainīgā vienādojumu. Piemēram,
e ^ {\ ln (3x)} = e ^ 2
kļūst
\ frac {3x} {3} = \ frac {e ^ 2} {3} \ text {so} x = 2,46