Atšķirība starp klasisko mehāniku un kvantu mehāniku ir milzīga. Kamēr klasiskajā mehānikā daļiņām un objektiem ir skaidri noteiktas pozīcijas, kvantu mehānikā (pirms mērīšanas) a var teikt, ka daļiņai ir tikai iespējamo pozīciju diapazons, kuras vilnis raksturo varbūtību izteiksmē funkciju.
Šrodingera vienādojums nosaka kvantu mehānisko sistēmu viļņu funkciju, un iemācīšanās to izmantot un interpretēt ir svarīga jebkura kvantu mehānikas kursa sastāvdaļa. Viens no vienkāršākajiem šī vienādojuma risinājuma piemēriem ir daļiņai kastē.
Viļņu funkcija
Kvantu mehānikā daļiņu attēlo aviļņu funkcija. To parasti apzīmē ar grieķu burtu psi (Ψ), un tas ir atkarīgs gan no stāvokļa, gan laika, un tajā ir viss, ko var zināt par daļiņu.
Šīs funkcijas modulis kvadrātā norāda varbūtību, ka daļiņa tiks atrasta pozīcijāxlaikāt, ja funkcija ir “normalizēta”. Tas tikai nozīmē, ka jāpielāgo tā, lai to noteikti varētu atrastdažipozīcijuxtajā laikātkad rezultāti tiek summēti katrā vietā, t.i., normalizācijas nosacījums saka, ka:
\ int _ {- \ infty} ^ \ infty \ vertΨ \ vert ^ 2 = 1
Varat izmantot viļņu funkciju, lai aprēķinātu daļiņas stāvokļa gaidāmo vērtību laikāt, kur gaidītā vērtība nozīmē tikai vidējo vērtību, par kādu jūs saņemtosxja atkārtojāt mērījumu daudzas reizes. Protams, tas nenozīmē, ka tas būs rezultāts, ko iegūsiet par jebkuru mērījumu - tas irefektīvinejauši, lai gan dažas vietas parasti ir daudz ticamākas nekā citas.
Ir daudz citu lielumu, par kuriem jūs varat aprēķināt paredzamās vērtības, piemēram, impulsa un enerģijas vērtības, kā arī daudzi citi “novērojamie”.
Šrodingera vienādojums
Šrodingera vienādojums ir diferenciālvienādojums, ko izmanto, lai atrastu viļņu funkcijas vērtību un daļiņu enerģijas īpašo stāvokli. Vienādojumu var iegūt no enerģijas saglabāšanas un daļiņas kinētiskās un potenciālās enerģijas izteiksmēm. Vienkāršākais veids, kā to uzrakstīt, ir:
H (Ψ) = iℏ \ frac {\ daļējsΨ} {\ daļējs t}
Bet šeitHpārstāvHamiltonas operators, kas pats par sevi ir diezgan garš izteiciens:
H = \ frac {−ℏ} {2m} \ frac {\ daļējs ^ 2} {\ daļējs x ^ 2} + V (x)
Šeit,mir masa, ℏ ir Plankas konstante, dalīta ar 2π, unV (x) ir sistēmas potenciālās enerģijas vispārēja funkcija. Hamiltoniānam ir divas atšķirīgas daļas - pirmais termins ir sistēmas kinētiskā enerģija, bet otrais - potenciālā enerģija.
Katra kvantu mehānikā novērojamā vērtība ir saistīta ar operatoru, un no laika neatkarīgajā Šrodingera vienādojuma variantā Hamiltona ir enerģijas operators. Tomēr iepriekš parādītajā laika atkarīgajā versijā Hamiltons arī ģenerē viļņu funkcijas laika attīstību.
Apvienojot visu vienādojumā ietverto informāciju, jūs varat aprakstīt daļiņas evolūciju telpā un laikā un paredzēt arī tās iespējamās enerģijas vērtības.
Laika neatkarīgais Šrodingera vienādojums
Vienādojuma daļu, kas atkarīga no laika, var noņemt, lai aprakstītu situāciju, kas laika gaitā īpaši neattīstās, viļņu funkciju sadalot telpā un laikā:Ψ(x, t) = Ψ(x) f(t). Pēc tam no vienādojuma var atcelt no laika atkarīgās daļas, kas atstāj no laika neatkarīgu Šrodingera vienādojuma versiju:
H Ψ (x) = E (Ψ (x))
Eir sistēmas enerģija. Tam ir precīza īpašvērtības vienādojuma forma arΨ(x) ir īpaša funkcija unEir īpašvērtība, tāpēc laika neatkarīgo vienādojumu bieži sauc par kvantu mehāniskās sistēmas enerģijas īpašvērtības vienādojumu. Laika funkciju vienkārši izsaka:
f (t) = e ^ {- iEt / ℏ}
No laika neatkarīgais vienādojums ir noderīgs, jo tas vienkāršo aprēķinus daudzās situācijās, kad laika attīstībai nav īpaši izšķiroša nozīme. Šī ir visnoderīgākā forma “daļiņas kastē” problēmām un pat enerģijas līmeņu noteikšanai elektroniem ap atomu.
Daļiņas kastē (bezgalīgā laukuma aka)
Viens no vienkāršākajiem no laika neatkarīgā Šrodingera vienādojuma risinājumiem ir daļiņai bezgalīgi dziļa kvadrātveida aka (t.i., bezgalīga potenciāla aka) vai viendimensiju pamatnes kaste garumsL. Protams, tās ir teorētiskas idealizācijas, taču tas dod pamatideju par to, kā jūs atrisināt Šrodingera vienādojumu, neņemot vērā daudzas dabā sastopamās komplikācijas.
Ja potenciālā enerģija ir iestatīta uz 0 ārpus akas, kur varbūtības blīvums ir arī 0, Šrodingera vienādojums šai situācijai kļūst:
\ frac {−ℏ ^ 2} {2m} \ frac {d ^ 2Ψ (x)} {dx ^ 2} = E Ψ (x)
Šīs formas vienādojuma vispārīgais risinājums ir:
Ψ (x) = A \ sin (kx) + B \ cos (kx)
Tomēr robežu apstākļu aplūkošana var palīdzēt to sašaurināt. Priekšx= 0 unx= L, t.i., kastes sāni vai akas sienas, viļņu funkcijai jānokļūst līdz nullei. Kosinusa funkcijai ir vērtība 1, ja arguments ir 0, tāpēc, lai robežnosacījumi būtu izpildīti, konstanteBjābūt vienādai ar nulli. Tas atstāj:
Ψ (x) = A \ sin (kx)
Varat arī izmantot robežnosacījumus, lai iestatītu vērtībuk. Tā kā grēka funkcija pie vērtībām iet uz nullinπ, kur kvantu skaitlisn= 0, 1, 2, 3... un tā tālāk, tas nozīmē, kadx = L, vienādojums darbosies tikai tad, jak = nπ / L. Visbeidzot, lai atrastu vērtību, varat izmantot to, ka viļņu funkcija ir jā normalizēA(integrēt visos iespējamosxvērtības, t.i., no 0 līdzLun pēc tam iestatiet rezultātu vienādam ar 1 un pārkārtojiet), lai nonāktu pie galīgās izteiksmes:
Ψ (x) = \ sqrt {\ frac {2} {L}} \ sin \ bigg (\ frac {nπ} {L} x \ bigg)
Izmantojot sākotnējo vienādojumu un šo rezultātu, pēc tam varat atrisinātE, kas dod:
E = \ frac {n ^ 2ℎ ^ 2} {8mL ^ 2}
Ņemiet vērā, ka fakts, kanir šajā izteiksmē nozīmē, ka enerģijas līmeņi irkvantitatīvi, tāpēc viņi nevar ņemtjebkuršvērtība, bet tikai atsevišķa specifisku enerģijas līmeņa vērtību kopa, kas atkarīga no daļiņas masas un kastes garuma.
Daļiņas kastē (ierobežota laukuma aka)
Šī pati problēma kļūst nedaudz sarežģītāka, ja potenciālajam urbumam ir ierobežots sienas augstums. Piemēram, ja potenciālsV (x) ņem vērtībuV0 ārpus potenciālās akas un 0 tās iekšpusē viļņu funkciju var noteikt trīs galvenajos reģionos, uz kuriem attiecas problēma. Tas tomēr ir vairāk iesaistīts process, tāpēc šeit varēsit redzēt tikai rezultātus, nevis palaist visu procesu.
Ja aka atrodas plkstx= 0 līdzx = Latkal par reģionu, kurx<0 risinājums ir:
Ψ (x) = Be ^ {kx}
Reģionamx > L, tas ir:
Ψ (x) = Ae ^ {- kx}
Kur
k = \ sqrt {\ frac {2me} {ℏ ^ 2}}
Reģionam akas iekšpusē, kur 0 <x < L, vispārējais risinājums ir:
Ψ (x) = C \ sin (wx) + D \ cos (wx)
Kur
w = \ sqrt {\ frac {-2m (E + V_0)} {ℏ ^ 2}}
Pēc tam varat izmantot robežnosacījumus, lai noteiktu konstantu vērtībasA, B, CunD, atzīmējot, ka viļņu funkcijai un tās pirmajam atvasinājumam ir jābūt noteiktai vērtībai pie akas sienām visur nepārtrauktai un viļņa funkcijai visur jābūt galīgai.
Citos gadījumos, piemēram, seklās kastes, šaurās kastes un daudzās citās īpašās situācijās, jūs varat atrast tuvinājumus un dažādus risinājumus.