Divu skalāru lielumu reizinājums ir skalārs, un skalāra ar vektoru reizinājums ir vektors, bet kā ir ar divu vektoru reizinājumu? Vai tas ir skalārs, vai cits vektors? Atbilde ir, tas varētu būt vai nu!
Ir divi veidi, kā ņemt vektora produktu. Viens no tiem ir viņu dotā produkta iegūšana, kas dod skalāru, un otrs - ņemot viņu šķērsproduktu, kas dod citu vektoru. Tas, kurš produkts tiek izmantots, ir atkarīgs no konkrētā scenārija un tā, kādu daudzumu mēģināt atrast.
Divu vektoru krustojuma reizinājums dod trešo vektoru, kas norāda virzienā, kas ir perpendikulārs plakne, kuru aptver divi vektori, un kuras lielums ir atkarīgs no abu relatīvās perpendikularitātes vektori.
Vektoru krustprodukta definīcija
Vispirms mēs definējam vienības vektoru šķērsproduktui, junk(vektori, kuru lielums ir 1x-, y-unz- Dekarta standarta koordinātu sistēmas komponentu virzieni) šādi:
\ bold {i \ times j} = \ bold {k} \\ \ bold {j \ times k} = \ bold {i} \\ \ bold {k \ times i} = \ bold {j} \\ \ bold {i \ times i} = \ bold {j \ times j} = \ bold {k \ times k} = 0
Ņemiet vērā, ka šīs attiecības ir antikomutatīvas, tas ir, ja mēs mainām to vektoru secību, kuriem mēs ņemam produktu, tas pārvērš produkta zīmi:
\ bold {j \ times i} = - \ bold {k} \\ \ bold {k \ times j} = - \ bold {i} \\ \ bold {i \ times k} = - \ bold {j}
Mēs varam izmantot iepriekš minētās definīcijas, lai iegūtu formulu divu trīsdimensiju vektoru krustojuma reizinājumam. Vispirms uzrakstiet vektorusaunbsekojoši:
\ bold {a} = (a_x, a_y, a_z) = a_x \ bold {i} + a_y \ bold {j} + a_z \ bold {k} \\ \ bold {b} = (b_x, b_y, b_z) = b_x \ bold {i} + b_y \ bold {j} + b_z \ bold {k}
Reizinot divus vektorus, mēs iegūstam:
\ bold {a \ times b} = (a_x \ bold {i} + a_y \ bold {j} + a_z \ bold {k}) \ reizes (b_x \ bold {i} + b_y \ bold {j} + b_z \ treknrakstā {k}) \\ = a_xb_x \ bold {i \ times i} + a_xb_y \ bold {i \ times j} + a_xb_z \ bold {i \ reizes k} \\ + a_yb_x \ bold {j \ times i} + a_yb_y \ bold {j \ times j} + a_yb_z \ bold {j \ times k} \\ + a_zb_x \ bold {k \ reizes i} + a_zb_y \ bold {k \ times j} + a_zb_z \ bold {k \ reizes k}
Pēc tam, izmantojot iepriekš minētās vienības vektora attiecības, tas vienkāršojas:
\ bold {a \ times b} = a_xb_y \ bold {i \ times j} - a_xb_z \ bold {k \ times i} - a_yb_x \ bold {i \ times j} + a_yb_z \ bold {j \ times k} + a_zb_x \ bold {k \ times i} - a_zb_y \ bold {j \ times k} \\ = (a_xb_y - a_yb_x) \ bold {i \ times j} + (a_zb_x - a_xb_z) \ bold {k \ times i} + (a_yb_z - a_zb_y) \ bold {j \ times k} \\ = (a_yb_z - a_zb_y) \ bold { i} + (a_zb_x - a_xb_z) \ bold {j} + (a_xb_y - a_yb_x) \ bold {k}
(Ņemiet vērā, ka termini, kuru šķērsprodukts bija 0, ir termini, kas veido punktu punktu (sauktu arī par skalāro reizinājumu)!Tā nav nejaušība.)
Citiem vārdiem sakot:
\ bold {a \ times b} = \ bold {c} = (c_x, c_y, c_z) \ text {where} \\ c_x = a_yb_z - a_zb_y \\ c_y = a_zb_x - a_xb_z \\ c_z = a_xb_y - a_yb_x
Krustojuma produkta lielumu var atrast, izmantojot Pitagora teorēmu.
Starpproduktu formulu var izteikt arī kā šādas matricas noteicēju:
\ bold {a \ times b} = \ Bigg | \ begin {matrix} \ bold {i} & \ bold {j} & \ bold {k} \\ a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \ end {matrica} \ Bigg | \\ = \ Liels | \ sākas {matrica} a_y & a_z \\ b_y & b_z \ end {matrix} \ Big | \ bold {i} - \ Big | \ begin {matrix} a_x & a_z \\ b_x & b_z \ end {matrix} \ Big | \ bold {j} + \ Big | \ sākas {matrix} a_x & a_y \\ b_x & b_y \ end {matrix} \ Big | \ bold {k}
\ text {Kur noteicošais} \ Big | \ sākas {matrica} a & b \\ c & d \ end {matrica} \ Big | = ad - BC
Cits, bieži vien ļoti ērts, krustojuma produkta formulējums ir (atvasinājumu skatīt šī raksta beigās):
\ bold {a × b} = | \ bold {a} | | \ treknrakstā {b} | \ grēks (θ) \ treknrakstā {n}
Kur:
- |a| ir vektora lielums (garums)a
- |b| ir vektora lielums (garums)b
- θ ir leņķis starp aun b
- nir vienības vektors, kas ir perpendikulārs plaknei, kuru aptver aunb
Perpendikulārie vektori un labās puses likums
Krustojuma produkta aprakstā ir norādīts, ka šķērsprodukta virziens ir perpendikulārs vektora izplatītajai plakneiaun vektorsb. Bet tas atstāj divas iespējas: tas varētu norādītbeidzāslidmašīna vaivērāplakne, kuru aptver šie vektori. Patiesībā mēs varam izvēlēties vai nu, kamēr mēs esam konsekventi. Labvēlīgo virzienu, kuru izvēlējušies gan matemātiķi, gan zinātnieki, nosaka kaut kas, ko sauc parlabās rokas likums.
Lai noteiktu vektora šķērsprodukta virzienu, izmantojot labās puses likumu, norādiet labās rokas rādītājpirkstu vektora virzienāaun vidējo pirkstu vektora virzienāb. Tad īkšķis norāda krustojuma produkta vektora virzienā.
Dažreiz šos virzienus ir grūti attēlot uz līdzena papīra, tāpēc bieži tiek izveidotas šādas vienošanās:
Lai norādītu vektoru, kas nonāk lapā, mēs uzzīmējam apli ar X (domājiet par to kā uz astes spalvām bultiņas galā, skatoties uz to no aizmugures). Lai norādītu vektoru, kas iet pretējā virzienā no lapas, mēs uzzīmējam apli ar punktu tajā (domājiet par to kā bultiņas galu, kas norāda no lapas).
•••na
Krusta produkta īpašības
Šīs ir vairākas vektora krustojuma produkta īpašības:
\ # \ teksts {1. Ja} \ bold {a} \ text {un} \ bold {b} \ text {ir paralēli, tad} \ bold {a \ times b} = 0
\ # \ teksts {2. } \ bold {a \ times b} = - \ bold {b \ times a}
\ # \ teksts {3. } \ bold {a \ times (b + c)} = \ bold {a \ times b} + \ bold {a \ times c}
\ # \ teksts {4. } (c \ bold {a) \ reizes b} = c (\ bold {a \ times b})
\ # \ teksts {5. } \ bold {a \ cdot (b \ times c}) = \ bold {(a \ times b) \ cdot c}
\ text {Where} \ bold {a \ cdot (b \ times c}) = \ Bigg | \ begin {matrix} a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \ end {matrica } \ Bigg |
Krustojuma produkta ģeometriskā interpretācija
Kad vektora šķērsprodukts ir formulēts kā grēks (θ), tā lielumu var interpretēt kā reprezentējošu paralelograma laukumu, ko aptver abi vektori. Tas ir tāpēc, ka para × b, |b| sin (θ) = paralelograma augstums, kā parādīts, un |a| ir pamats.
•••Dana Čena | Zinātniskā
Vektora trīskāršā produkta lielumsa (b × c) savukārt var interpretēt kā vektoru aptverto paralēlskaldņa tilpumua, bunc. Tas ir tāpēc, ka(b × c) dod vektoru, kura lielums ir vektora aptvertais laukumsbun vektorsc, un kura virziens ir perpendikulārs šai vietai. Ņemot vektora punktu reizinājumuaar šo rezultātu būtībā reizina bāzes laukumu ar augstumu.
Piemēri
1. piemērs:Spēks uz lādiņa daļiņuqpārvietojas ar ātrumuvmagnētiskajā laukāBdod:
\ bold {F} = q \ bold {v \ reizes B}
Pieņemsim, ka elektrons iziet cauri 0,005 T magnētiskajam laukam ar ātrumu 2 × 107 jaunkundze. Ja tas iet perpendikulāri caur lauku, tad spēks, ko tas izjutīs, ir:
\ bold {F} = q \ bold {v \ reizes B} = qvB \ sin (\ theta) \ bold {n} = (-1,602 \ reizes 10 ^ {19}) (2 reizes 10 ^ 7) (0,005 ) \ sin (90) \ bold {n} = -1,602 \ reizes 10 ^ {- 14} \ text {N} \ bold {n}
Tomēr, ja elektrons virzās paralēli laukam, tad θ = 0 un sin (0) = 0, padarot spēku 0.
Ņemiet vērā, ka elektronam, kas virzās perpendikulāri caur lauku, šis spēks liks tam pārvietoties apļveida ceļā. Šī apļveida ceļa rādiusu var atrast, iestatot magnētisko spēku, kas vienāds ar centripetālo spēku, un atrisinot rādiusur:
F_ {mag} = qvB \ sin (90) = qvB = \ frac {mv ^ 2} {r} = F_ {cent} \\ \ nozīmē r = \ frac {mv} {qB}
Iepriekš minētajā piemērā, pieslēdzot skaitļus, rādiuss ir aptuveni 0,0227 m.
2. piemērs:Fiziskā daudzuma griezes momentu aprēķina arī, izmantojot vektora krustojuma reizinājumu. Ja spēksFtiek piemērots objektam, kas atrodas pozīcijārno pagrieziena punkta griezes momentsτpar pagrieziena punktu dod:
\ bold {\ tau} = \ bold {r \ reizes F}
Apsveriet situāciju, kurā 7 N spēks tiek pieliekts leņķī pret 0,75 stieņa galu, kura otrais gals ir piestiprināts pie šarnīra. Leņķis starprunFir 70 grādi, tāpēc griezes momentu var aprēķināt:
\ bold {\ tau} = \ bold {r \ reizes F} = rF \ sin (\ theta) = (0,75) (7) \ sin (70) \ bold {n} = 4,93 \ text {Nm} \ bold { n}
Griezes momenta virziens,n, tiek atrasts, izmantojot labās puses likumu. Ja tas tiek piemērots iepriekš redzamajam attēlam, tas dod virzienu, kas iziet no lapas vai ekrāna. Parasti objektam piemērots griezes moments vēlēsies izraisīt objekta rotāciju. Griezes momenta vektors vienmēr atrodas tajā pašā virzienā, kur rotācijas ass.
Patiesībā šajā situācijā var izmantot vienkāršotu labās puses likumu: izmantojiet labo roku, lai "satvertu" rotācijas asi tādā veidā, ka pirksti saritinās virzienā, kas saistīts ar griezes momentu, objekta pagriešanu. Tad īkšķis norāda griezes momenta vektora virzienā.
Starpproduktu formulas atvasināšana
\ text {Šeit parādīsim, kā krustojuma formula} \ bold {a × b} = | \ bold {a} | | \ treknrakstā {b} | \ sin (θ) \ treknrakstā {n} \ tekstu {var atvasināt.}
Apsveriet divus vektorusaunbar leņķiθstarp viņiem. Taisnstūra trijstūri var izveidot, novilkot līniju no vektora galaauz perpendikulāru kontakta punktu vektorāb.
Izmantojot Pitagora teorēmu, mēs iegūstam šādas attiecības:
\ Big | \ Big (\ frac {\ bold {a \ cdot b}} {| \ bold {b} | ^ 2} \ Big) \ bold {b} \ Big | ^ 2 + (| \ bold {a} | \ grēks (\ theta)) ^ 2 = | \ treknrakstā {a} | ^ 2
\ text {Kur} \ Big (\ frac {\ bold {a \ cdot b}} {| \ bold {b} | ^ 2} \ Big) \ bold {b} \ text {ir vektora projekcija} \ bold {a} \ text {uz vektoru} \ bold {b}.
Nedaudz vienkāršojot izteicienu, mēs iegūstam sekojošo:
\ frac {| \ bold {a \ cdot b} | ^ 2} {| \ bold {b} | ^ 2} + | \ bold {a} | ^ 2 \ sin ^ 2 (\ theta) = | \ bold { a} | ^ 2
Pēc tam reiziniet abas vienādojuma puses ar |b|2 un pārvietojiet pirmo terminu uz labo pusi, lai iegūtu:
| \ bold {a} | ^ 2 | \ bold {b} | ^ 2 \ sin ^ 2 (\ theta) = | \ bold {a} | ^ 2 | \ bold {b} | ^ 2 - | \ bold { a \ cdot b} | ^ 2
Strādājot ar labo pusi, visu reiziniet un pēc tam vienkāršojiet:
| \ bold {a} | ^ 2 | \ bold {b} | ^ 2 - | \ bold {a \ cdot b} | ^ 2 = [(a_x) ^ 2 + (a_y) ^ 2 + (a_z) ^ 2 ] [(b_x) ^ 2 + (b_y) ^ 2 + (b_z) ^ 2] \\ - (a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z) (a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z) \\ = (a_xb_y) ^ 2 + (a_xb_z) ^ 2 + (a_yb_x) ^ 2 + (a_yb_z) ^ 2 + (a_zb_x) ^ 2 + a_zb_y) ^ 2 \\ - 2a_xa_yb_xb_y - 2a_xa_zb_xb_z - 2a_ya_zb_yb_z \\ = (a_yb_z_z) 2 (a_xb_y - a_yb_x) ^ 2 \\ = | | treknrakstā {a \ reizes b} | ^ 2
Iestatot rezultātu, kas vienāds ar iepriekšējā vienādojuma kreiso pusi, iegūstam šādu sakarību:
| \ treknrakstā {a \ reizes b} | = | \ bold {a} || \ bold {b} || \ grēks (\ theta) |
Tas mums parāda, ka formulas lielumi ir vienādi, tāpēc pēdējais, kas jādara, lai pierādītu formulu, ir parādīt, ka virzieni arī ir vienādi. To var izdarīt, vienkārši paņemot punktveida produktusaara × bunbara × bun parādot, ka tie ir 0, kas nozīmē, ka virziensa × b ir perpendikulāra abiem.