Trigonometrija var justies kā diezgan abstrakts priekšmets. Šķiet, ka tādi izteikti termini kā “grēks” un “cos” patiesībā kaut kam neatbilst, un tos ir grūti saprast kā jēdzienus. Vienības aplis šajā ziņā būtiski palīdz, piedāvājot tiešu skaidrojumu par to, kādi skaitļi tiek iegūti, kad ņemat sinusa, kosinusa vai leņķa tangensu. Jebkuram dabaszinātņu vai matemātikas studentam izpratne par vienības apli var patiešām nostiprināt jūsu izpratni par trigonometriju un to, kā izmantot funkcijas.
TL; DR (pārāk ilgi; Nelasīju)
Vienības apļa rādiuss ir viens. Iedomājietiesxykoordinātu sistēma sākas ar šī apļa centru. Punktu leņķi mēra no kurienesx= 1 uny= 0, apļa labajā pusē. Leņķi palielinās, pārvietojoties pretēji pulksteņrādītāja kustības virzienam.
Izmantojot šo sistēmu, unypriekšy-koordinēt unxpriekšx-apļa koordināta uz apļa:
grēksθ = y
cosθ = x
Un līdz ar to:
iedegumsθ = y / x
Kas ir vienības aplis?
“Vienības” apļa rādiuss ir 1. Citiem vārdiem sakot, attālums no apļa centra līdz jebkurai malas daļai vienmēr ir 1. Mērvienībai nav nozīmes, jo vienības aplī vissvarīgākais ir tas, ka tas daudzus vienādojumus un aprēķinus padara daudz vienkāršākus.
Tas kalpo arī par noderīgu pamatu leņķu definīciju aplūkošanai. Iedomājieties, ka apļa centrs atrodas koordinātu sistēmas centrā arx- asis, kas darbojas horizontāli, un ay- ass, kas darbojas vertikāli. Aplis šķērsox-asis plkstx = 1, y= 0. Zinātnieki un matemātiķi nosaka leņķi no šī punkta, virzoties pretēji pulksteņrādītāja kustības virzienam. Tātad punktsx =1, y= 0 uz apļa atrodas 0 ° leņķī.
Sin un Cos definīcijas ar vienības apli
Studentiem parastās grēka, cos un iedeguma definīcijas attiecas uz trijstūriem. Viņi norāda:
\ sin θ = \ frac {\ text {pretēji}} {\ text {hipotenūze}} \\ \, \\ \ cos θ = \ frac {\ teksts {blakus}} {\ teksts {hipotenūze}} \\ \, \\ \ tan θ = \ frac {\ grēks θ} {\ cos θ}
“Pretējais” attiecas uz trijstūra malas garumu pretī leņķim, “blakus” - uz sānu garums blakus leņķim un “hipotenūza” attiecas uz garenvirziena sānu garumu trīsstūris.
Iedomājieties, kā izveidot trijstūri tā, lai hipotenūza vienmēr būtu vienības apļa rādiuss ar vienu stūri apļa malā un vienu tā centrā. Tas nozīmē, ka iepriekšējos vienādojumos hipotenūza = 1, tāpēc pirmie divi kļūst:
\ sin θ = \ frac {\ text {pretējs}} {1} = \ text {pretēji} \\ \, \\ \ cos θ = \ frac {\ text {blakus}} {1} = \ teksts {blakus} \\
Ja attiecīgo leņķi padarāt par apļa centru, pretējais ir tikaiy-koordināts un blakus esošais ir tikaix-apļa koordināta uz apļa, kas skar trijstūri. Citiem vārdiem sakot, grēks atgriežy-vienības apļa koordinātas (izmantojot koordinātas, kas sākas no centra) dotajam leņķim, un cos atgriežx-koordinēt. Tāpēc cos (0) = 1 un sin (0) = 0, jo šajā brīdī tās ir koordinātas. Tāpat cos (90) = 0 un sin (90) = 1, jo tas ir punkts arx= 0 uny= 1. Vienādojuma formā:
\ sin θ = y \\ \ cos θ = x
Pamatojoties uz to, ir viegli saprast arī negatīvos leņķus. Negatīvajiem leņķiem (mērot pulksteņrādītāja kustības virzienā no sākuma punkta) ir vienādixkoordinēt kā atbilstošo pozitīvo leņķi, tātad:
\ cos -θ = \ cos θ
Tomēry-koordinātu slēdži, kas nozīmē, ka
\ grēks -θ = - \ grēks θ
Iedeguma definīcija ar vienības apli
Iepriekš iedeguma definīcija ir:
\ tan θ = \ frac {\ grēks θ} {\ cos θ}
Bet ar grēka un cos definīciju vienības aplī jūs varat redzēt, ka tas ir līdzvērtīgs:
\ tan θ = \ frac {\ text {iepretim}} {\ text {blakus}}
Vai domājot par koordinātām:
\ tan θ = \ frac {y} {x}
Tas izskaidro, kāpēc iedegums nav noteikts 90 ° vai −270 ° un 270 ° vai −90 ° (kurx= 0), jo jūs nevarat dalīt ar nulli.
Trigonometrisko funkciju grafiks
Kad domājat par vienības apli, grēka vai cos diagramma kļūst vieglāka. Thex-koordinātas mainās vienmērīgi, pārvietojoties pa apli, sākot no 1 un samazinoties līdz minimumam –1 pie 180 ° un pēc tam palielinoties tādā pašā veidā. Grēka funkcija dara to pašu, bet vispirms palielinās līdz maksimālajai vērtībai 1 pie 90 °, pirms seko tam pašam paraugam. Abas funkcijas tiek uzskatītas par 90 ° ārpus “fāzes” viena ar otru.
Iedeguma grafiks prasa dalīšanuypēcx, un tāpēc to ir sarežģītāk attēlot, un tam ir arī punkti, kur tas nav definēts.