Sinusa un kosinusa jēdzienu apgūšana ir neatņemama trigonometrijas sastāvdaļa. Bet, kad jums šīs idejas ir zem jostas, tās kļūst par citu noderīgu trigonometrijas un vēlāk arī kalkulatora pamatu pamatu. Piemēram, "kosinusu likums" ir īpaša formula, kuru varat izmantot, lai atrastu trūkstošā trijstūra malu, ja zināt divu pārējo malu garums plus leņķis starp tām vai lai atrastu trīsstūra leņķus, kad jūs zināt visus trīs sāniem.
Kosinusa likums
Kosinusa likumam ir vairākas versijas, atkarībā no tā, ar kuriem trīsstūra leņķiem vai malām jums ir darīšana:
a ^ 2 = b ^ 2 + c ^ 2 - 2bc × \ cos (A) \\ b ^ 2 = a ^ 2 + c ^ 2 - 2ac × \ cos (B) \\ c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 - 2ab × \ cos (C)
Katrā gadījumāa, buncir trijstūra malas unA, BvaiCir leņķis pretī viena un tā paša burta malai. TātadAir leņķis pretējā pusēa, Bir leņķis pretējā pusēb, unCir leņķis pretējā pusēc. Šī ir vienādojuma forma, kuru izmantojat, ja atrodat vienas trīsstūra malas garumu.
Kosinusa likumu var pārrakstīt arī versijās, kas atvieglo jebkura trijstūra trīs leņķu atrašanu, pieņemot, ka jūs zināt visu trīs trijstūra malu garumus:
cos (A) = \ frac {b ^ 2 + c ^ 2 - a ^ 2} {2bc} \\ \, \\ cos (B) = \ frac {c ^ 2 + a ^ 2 - b ^ 2} { 2ac} \\ \, \\ cos (C) = \ frac {a ^ 2 + b ^ 2 - c ^ 2} {2ab}
Atrisinot pusi
Lai kosinusa likumu izmantotu trijstūra sānu atrisināšanai, nepieciešami trīs informācijas elementi: trijstūra pārējo divu malu garumi, kā arī leņķis starp tiem. Izvēlieties formulas versiju, kur puse, kuru vēlaties atrast, atrodas kreisajā pusē no vienādojuma, un jau pieejamā informācija ir labajā pusē. Tātad, ja vēlaties atrast sānu garumua, jūs izmantojat versiju
a ^ 2 = b ^ 2 + c ^ 2 - 2bc × \ cos (A)
Formulā aizstājiet divu zināmo malu vērtības un leņķi starp tām. Ja jūsu trijstūrim ir zināmas malasbunckas mēra attiecīgi 5 vienības un 6 vienības, un leņķis starp tiem ir 60 grādi (ko var arī izteikt radiānos kā π / 3), jums vajadzētu būt:
a ^ 2 = 5 ^ 2 + 6 ^ 2 - (2 × 5 × 6) × \ cos (60)
Izmantojiet tabulu vai kalkulatoru, lai uzzinātu kosinusa vērtību; šajā gadījumā cos (60) = 0,5, dodot jums vienādojumu:
a ^ 2 = 5 ^ 2 + 6 ^ 2 - (2 × 5 × 6) × 0,5
Vienkāršojiet 2. darbības rezultātu. Tas dod jums:
a ^ 2 = 25 + 36 - 30
Tas savukārt vienkāršo:
a ^ 2 = 31
Paņemiet kvadrātsakni no abām pusēm, lai pabeigtu risināšanua. Tas jums ļauj:
a = \ sqrt {31}
Lai gan jūs varētu izmantot diagrammu vai kalkulatoru, lai novērtētu √31 vērtību (tas ir 5,568), jums bieži tiek atļauts - un pat mudināts - atstāt atbildi precīzākā radikālā formā.
Risinājums leņķim
Jūs varat izmantot to pašu procesu, lai atrastu jebkuru trijstūra leņķi, ja zināt visas trīs tā malas. Šoreiz jūs izvēlēsieties formulas versiju, kas trūkstošo vai “nezinu” leņķi liek vienādības zīmes kreisajā pusē. Iedomājieties, ka vēlaties atrast leņķa C mērījumu (kas, atcerieties, ir definēts kā leņķis pretējā pusēc). Jūs izmantojat šo formulas versiju:
\ cos (C) = \ frac {a ^ 2 + b ^ 2 - c ^ 2} {2ab}
Aizstājiet vienādojumā zināmās vērtības - šāda veida problēmās tas nozīmē visu trīs trijstūra malu garumus. Piemēram, ļaujiet trīsstūra malām būta= 3 vienības,b= 4 vienības unc= 25 vienības. Tātad jūsu vienādojums kļūst:
\ cos (C) = \ frac {3 ^ 2 + 4 ^ 2 - 5 ^ 2} {2 × 3 × 4}
Kad vienkāršojat iegūto vienādojumu, jums būs:
\ cos (C) = \ frac {0} {24}
vai vienkārši cos (C) = 0.
Aprēķiniet apgriezto kosinusu vai loka kosinusu no 0, kas bieži tiek apzīmēts kā cos-1(0). Vai, citiem vārdiem sakot, kura leņķa kosinuss ir 0? Faktiski ir divi leņķi, kas atgriež šo vērtību: 90 grādi un 270 grādi. Bet pēc definīcijas jūs zināt, ka katram leņķim trīsstūrī jābūt mazākam par 180 grādiem, tādējādi atstājot tikai opciju 90 grādus.
Tātad jūsu pazudušā leņķa mērs ir 90 grādi, kas nozīmē, ka jums gadās saskarties ar taisnstūra trīsstūri, lai gan šī metode darbojas arī ar taisniem trīsstūriem.