Ģeometrijā radiāns ir mērvienība, ko izmanto leņķu mērīšanai. Radiāns nāk no apļa rādiusa garuma. Apļa apkārtmēra segments, kas atbilst leņķim, ko veido divas rādiusa līnijas, veido loku. Leņķis, ko rada šī loka, novilkot līnijas no tā sākuma un beigu punktiem līdz apļa centram, ir viens radiāns. Lai arī sākotnēji radiāns varētu šķist dīvains un sarežģīts, tas vienkāršo matemātikas un fizikas vienādojumus.
TL; DR (pārāk ilgi; Nelasīju)
Ģeometrijā radiāns ir vienība, kuras pamatā ir aplis un ko izmanto leņķu mērīšanai. Tas atvieglo aprēķinus progresīvos matemātikas veidos.
Grādi vs. Radiāni
Ārpus fizikas un uzlabotas matemātikas grādi parasti ir pazīstamākas leņķisko mērījumu vienības. Piemēram, aplim ir 360 grādi, trīsstūrim ir 180 un taisnleņķim - 90. Turpretī pilnam lokam ir 2 × π (pi) radiāni, trīsstūrim ir π radiāni un taisnā leņķim ir π / 2 radiāni. Riņķim ir vesels grādu skaits, turpretī radiānos vērtība ir iracionāls skaitlis, tāpēc radiāni pirmajā mirklī var šķist dīvaini. No otras puses, jūs varat izteikt pakāpes daļas kā decimāldaļu vai kā minūtes, sekundes un decimāldaļas, kuras izmantojat arī ar laiku, tāpēc grādam ir atsevišķi jautājumi.
Vieglāk un grūtāk
Grādu mērījumus parasti ir vieglāk apstrādāt nekā ar radiāniem pamata aritmētikā un trigonometrijā; izsakot leņķi, reti nākas saskarties ar π daļām. Bet attiecībā uz aprēķinu un citu uzlabotu matemātiku izrādās, ka radiāni ir vieglāki. Piemēram, sinusa funkcijas jaudas rindas radiānos ir šādas:
\ sin (x) = x - \ frac {x ^ 3} {3!} + \ frac {x ^ 5} {5!} - \ frac {x ^ 7} {7!} + \ frac {x ^ 9 } {9!} + ...
Grādos funkcija izskatās šādi:
\ sin (x) = (π × x / 180) - \ frac {(π × x / 180) ^ 3} {3!} + \ frac {(π × x / 180) ^ 5} {5!} - \ frac {(π × x / 180) ^ 7} {7!} + \ frac {(π × x / 180) ^ 9} {9!} + ...
Šajā jaudas sērijā ņemiet vērā, ka jums jāatkārto “π ×x/ 180 ”katram terminam - daudz papildu rakstīšanas un aprēķinu, salīdzinot ar kārtīgāku, kompaktāks ekvivalents radiānos. Radiāns nāk no apļa dabiskās ģeometrijas, nevis dalījuma ar patvaļīgu skaitli, kā to dara grādi. Tā kā radiāni padara daudzus aprēķinus vieglākus, matemātiķi domā, ka vienība ir “dabiskāka” nekā grādi.
Izmanto radiāniem
Papildus jaudas sērijām, piemēram, sinusa funkcijas piemēram, matemātikā redzēsiet radiānus, kas ietver aprēķinus un diferenciālvienādojumus. Piemēram, lietojot radiānus, sinusa funkcijas atvasinājums grēks (x), ir vienkārši kosinuss, cos (x). Grādos grēka atvasinājums (x) ir apgrūtinošākais (π ÷ 180) × cos (x). Progresējot matemātikā, problēmas kļūst arvien grūtākas, un risinājumiem ir vajadzīgas daudz vairāk aprēķinu rindas un algebras. Radiānieši ietaupa jums daudz nevajadzīgas papildu rakstīšanas un samazina iespēju kļūdīties.
Fizikā viļņu biežuma un objektu rotācijas ātruma formulas izmanto mazos burtus omega “ω, Kā ērts stenogrāfs ar “2 × π × radiāni sekundē”.
Grādu konvertēšana uz radiāniem
Formulas, lai konvertētu grādus uz radiāniem un atpakaļ, ir vienkāršas. Lai leņķus konvertētu grādos uz radiāniem, reiziniet leņķi ar π un pēc tam daliet ar 180. Piemēram, aplim ir 360 grādi. Reizinot ar π, tas kļūst par 360π; tad daliet ar 180, un jūs saņemsiet 2π radiānus. Lai pārvērstu no radiāniem uz grādiem, reiziniet ar 180 un pēc tam daliet ar π. Piemēram, pārveidojiet taisno leņķi, π ÷ 2 radiānus. Reiziniet ar 180, lai iegūtu 90π, un pēc tam daliet ar π, lai iegūtu 90 grādu rezultātu.