Tāpat kā algebrā, kad sākat mācīties trigonometriju, jūs uzkrāsit formulu kopas, kas noder problēmu risināšanai. Viena no šādām kopām ir pusleņķa identitātes, kuras varat izmantot diviem mērķiem. Viens no tiem ir konvertēt trigonometriskās funkcijas (θ/ 2) funkcijās pazīstamākas (un vieglāk manipulējamas) izteiksmēθ. Otrs ir atrast faktisko trigonometrisko funkciju vērtībuθ, kadθvar izteikt kā pusi no pazīstamāka leņķa.
Pusleņķa identitāšu pārskatīšana
Daudzās matemātikas mācību grāmatās būs uzskaitītas četras primārās pusleņķa identitātes. Bet, piemērojot algebras un trigonometrijas sajaukumu, šos vienādojumus var iemasēt vairākās noderīgās formās. Jums tas viss nav obligāti jāiegaumē (ja vien jūsu skolotājs neuzstāj), taču jums vismaz jāsaprot, kā tos izmantot:
Pusleņķa identitāte sinusam
\ sin \ bigg (\ frac {θ} {2} \ bigg) = ± \ sqrt {\ frac {1 - \ cosθ} {2}}
Pussleņķa identitāte kosinīnam
\ cos \ bigg (\ frac {θ} {2} \ bigg) = ± \ sqrt {\ frac {1 + \ cosθ} {2}}
Tangenta pusleņķa identitātes
\ tan \ bigg (\ frac {θ} {2} \ bigg) = ± \ sqrt {\ frac {1 - \ cosθ} {1 + \ cosθ}} \\ \, \ tan \ bigg (\ frac { θ} {2} \ bigg) = \ frac {\ sinθ} {1 + \ cosθ} \\ \, \\ \ tan \ bigg (\ frac {θ} {2} \ bigg) = \ frac {1 - \ cosθ} {\ sinθ} \\ \, \\ \ tan \ bigg ( \ frac {θ} {2} \ bigg) = \ cscθ - \ bērnu gultiņa
Pusleņķa identitātes kotangentam
\ cot \ bigg (\ frac {θ} {2} \ bigg) = ± \ sqrt {\ frac {1 + \ cosθ} {1 - \ cosθ}} \\ \, \\ \ cot \ bigg (\ frac { θ} {2} \ bigg) = \ frac {\ sinθ} {1 - \ cosθ} \\ \, \\ \ cot \ bigg (\ frac {θ} {2} \ bigg) = \ frac {1 + \ cosθ} {\ sinθ} \\ \, \\ \ cot \ bigg ( \ frac {θ} {2} \ bigg) = \ cscθ + \ bērnu gultiņa
Pusleņķa identitāšu izmantošanas piemērs
Tātad, kā jūs izmantojat pusleņķa identitātes? Pirmais solis ir atzīt, ka jums ir darīšana ar leņķi, kas ir puse no pazīstamāka leņķa.
- I kvadrants: visas trigera funkcijas
- II kvadrants: tikai sinusa un kosekanta
- III kvadrants: tikai tangenss un kotangents
- IV kvadrants: tikai kosinuss un sekants
iedomājieties, ka jums tiek lūgts atrast sinusa leņķi par 15 grādiem. Tas nav viens no leņķiem, kuriem lielākā daļa studentu iegaumēs trig funkciju vērtības. Bet, ja jūs ļaujat 15 grādiem būt vienādiem ar θ / 2 un pēc tam atrisināsit par θ, jūs atradīsit, ka:
\ frac {θ} {2} = 15 \\ θ = 30
Tā kā iegūtais θ, 30 grādi, ir pazīstamāks leņķis, šeit būs noderīgi izmantot pusleņķa formulu.
Tā kā jums ir lūgts atrast sinusu, no kuriem izvēlēties ir tikai viena pusleņķa formula:
\ sin \ bigg (\ frac {θ} {2} \ bigg) = ± \ sqrt {\ frac {1 - \ cosθ} {2}}
Aizvietošanaθ/ 2 = 15 grādi unθ= 30 grādi dod jums:
\ sin (15) = ± \ sqrt {\ frac {1 - \ cos (30)} {2}}
Ja jums būtu lūgts atrast pieskārienu vai kotangentu, kas abi pa pusei reizina paņēmienus, kā paust savu pusleņķa identitāti, jūs vienkārši izvēlaties versiju, kas izskatījās visvieglāk strādājošā.
± zīme dažu pusleņķa identitāšu sākumā nozīmē, ka attiecīgā sakne varētu būt pozitīva vai negatīva. Jūs varat atrisināt šo neskaidrību, izmantojot savas zināšanas par trigonometriskajām funkcijām kvadrantos. Šeit ir īss kopsavilkums par to, kuras trig funkcijas atgriežaspozitīvsvērtības, kurās kvadranti:
Tā kā šajā gadījumā jūsu leņķis θ ir 30 grādi, kas nokrīt I kvadrantā, jūs zināt, ka sinusa vērtība, kuru tā atgriež, būs pozitīva. Tātad jūs varat nomest ± zīmi un vienkārši novērtēt:
\ sin (15) = \ sqrt {\ frac {1 - \ cos (30)} {2}}
Aizstāj pazīstamo, zināmo cos vērtību (30). Šajā gadījumā izmantojiet precīzās vērtības (pretstatā decimāldaļām no diagrammas):
\ sin (15) = \ sqrt {\ frac {1 - \ sqrt {3/2}} {2}}
Pēc tam vienkāršojiet sava vienādojuma labo pusi, lai atrastu grēka vērtību (15). Sāciet, reizinot izteiksmi zem radikāļa ar 2/2, kas dod jums:
\ sin (15) = \ sqrt {\ frac {2 (1 - \ sqrt {3/2})} {4}}
Tas vienkāršo:
\ sin (15) = \ sqrt {\ frac {2 - \ sqrt {3}} {4}}
Pēc tam varat aprēķināt kvadrātsakni no 4:
\ sin (15) = \ frac {1} {2} \ sqrt {2 - \ sqrt {3}}
Vairumā gadījumu tas ir apmēram tik daudz, cik jūs vienkāršotu. Lai gan rezultāts var nebūt šausmīgi skaists, jūs esat iztulkojis nepazīstama leņķa sinusu precīzā daudzumā.