Kinemātika ir matemātiska fizikas nozare, kas izmanto vienādojumus objektu (īpaši to kustības) kustības aprakstamtrajektorijas), neatsaucoties uz spēkiem.
Tas ir, jūs varētu vienkārši pieslēgt dažādus skaitļus četru kinemātisko vienādojumu kopai, lai atrastu nezināmos šie vienādojumi, neprasot nekādas zināšanas par kustības fiziku, paļaujoties tikai uz jūsu algebru prasmes.
Iedomājieties “kinemātiku” kā “kinētikas” un “matemātikas” kombināciju - citiem vārdiem sakot, kustības matemātiku.
Rotācijas kinemātika ir tieši tā, taču tā īpaši attiecas uz objektiem, kas pārvietojas pa apļveida ceļiem, nevis horizontāli vai vertikāli. Tāpat kā objektus translācijas kustības pasaulē, arī šos rotējošos objektus var raksturot pēc to pārvietošanās, ātruma un paātrinājums laika gaitā, lai gan daži mainīgie obligāti mainās, lai ņemtu vērā pamata atšķirības starp lineāro un leņķisko kustība.
Patiesībā ir ļoti noderīgi vienlaikus apgūt lineārās kustības un rotācijas kustības pamatus vai vismaz iepazīstināt ar attiecīgajiem mainīgajiem un vienādojumiem. Tas nenotiek, lai jūs nomāktu, bet tā vietā ir paredzēts uzsvērt paralēles.
Protams, ir svarīgi atcerēties, uzzinot par šiem kustības “veidiem” telpā, ka tulkošana un rotācija nebūt nav savstarpēji izslēgta. Faktiski lielākā daļa kustīgo objektu reālajā pasaulē parāda abu kustību veidu kombināciju, un viens no tiem bieži vien nav acīmredzams no pirmā acu uzmetiena.
Lineārās un šāviņu kustības piemēri
Tā kā “ātrums” parasti nozīmē “lineārs ātrums” un “paātrinājums” nozīmē “lineāru paātrinājumu”, ja vien nav norādīts citādi, ir lietderīgi pārskatīt dažus vienkāršus pamata kustības piemērus.
Lineārā kustība burtiski nozīmē kustību, kas aprobežojas ar vienu līniju, kurai bieži piešķir mainīgo “x”. Lādiņu kustības problēmas ietver gan x-, gan y izmēri, un gravitācija ir vienīgais ārējais spēks (ņemiet vērā, ka šīs problēmas tiek raksturotas kā tādas, kas rodas trīsdimensiju pasaulē, piemēram, “Lielgabala lode tiek atlaists... ”).
Ņemiet vērā, ka masamneievada nekāda veida kinemātiskos vienādojumus, jo gravitācijas ietekme uz objektu kustību ir neatkarīgi no to masas, un tādi daudzumi kā impulss, inerce un enerģija nav daļa no kustība.
Ātra piezīme par radiāniem un grādiem
Tā kā rotācijas kustība ietver apļveida ceļu izpēti (neviendabīgā, kā arī vienmērīgā apļveida ceļā) kustība), nevis objekta pārvietojuma raksturošanai izmantojat skaitītājus, bet gan radiānus vai grādus tā vietā.
Radiāns uz virsmas ir neērta vienība, kas nozīmē 57,3 grādus. Bet viens brauciens ap apli (360 grādi) ir definēts kā 2π radiāns, un dažos gadījumos problēmu risināšana ir iemesls, kuru dēļ jūs redzēsiet.
- Attiecibasπ rad = 180 grādivar izmantot, lai viegli pārveidotu starp abām mērvienībām.
Var būt problēmas, kas ietver apgriezienu skaitu laika vienībā (apgr./min vai apgr.). Atcerieties, ka katrs apgrieziens ir 2π radiāns vai 360 grādi.
Rotācijas kinemātika vs. Tulkojuma kinemātikas mērījumi
Visiem translācijas kinemātikas mērījumiem vai vienībām ir rotācijas analogi. Piemēram, lineārā ātruma vietā, kas apraksta, piemēram, cik tālu bumba ripo taisnā līnijā noteiktā laika intervālā,rotācijasvaileņķiskais ātrumsapraksta šīs bumbas rotācijas ātrumu (cik daudz tas rotē radiānos vai grādos sekundē).
Galvenais, kas šeit jāpatur prātā, ir tas, ka katrai tulkošanas vienībai ir rotācijas analogs. Mācīšanās matemātiski un konceptuāli saistīt “partnerus” prasa nelielu praksi, taču lielākoties tas ir vienkārši aizstājams.
Lineārais ātrumsvnorāda gan daļiņas tulkojuma lielumu, gan virzienu; leņķiskais ātrumsω(grieķu burts omega) attēlo tā vienskaitļa ātrumu, kas ir tieši tas, cik ātri objekts rotē radiānos sekundē. Līdzīgi mainās arīω, leņķisko paātrinājumu dodα(alfa) rad / s2.
Vērtībasωunαir vienādi jebkuram cieta priekšmeta punktam neatkarīgi no tā, vai tie ir mērīti 0,1 m no rotācijas ass vai 1000 metru attālumā, jo tikai leņķisθsvarīgas izmaiņas.
Tomēr lielākajā daļā gadījumu, kad ir redzami rotācijas lielumi, ir tangenciālie (un līdz ar to lineārie) ātrumi un paātrinājumi. Tangenciālos lielumus aprēķina, reizinot leņķiskos lielumus arr, attālums no rotācijas ass:vt = ωrunαt = αr.
Rotācijas kinemātika vs. Tulkojuma kinemātikas vienādojumi
Tagad, kad mērījumu analoģijas starp rotācijas un lineāro kustību ir kvadrātā, izmantojot jaunu leņķisko terminu ieviešanu, tos var izmantot, lai pārrakstītu četri klasiskās translācijas kinemātikas vienādojumi rotācijas kinemātikas ziņā, tikai ar nedaudz atšķirīgiem mainīgajiem (burti vienādojumos, kas apzīmē nezināmus daudzumi).
Kinemātikā spēlē četri pamatvienādojumi, kā arī četri pamata mainīgie: pozīcija (x, yvaiθ), ātrums (vvaiω), paātrinājums (avaiα) un laikut. Kuru vienādojumu izvēlaties, ir atkarīgs no tā, kurus lielumus sākt nezināt.
- [ievietot lineāro / translācijas kinemātisko vienādojumu tabulu, kas saskaņota ar to rotācijas analogiem]
Piemēram, teiksim, ka jums ir teikts, ka mašīnas roka ar sākotnējo leņķa ātrumu izlaida 3π / 4 radianu leņķisko nobīdiω0no 0 rad / s un galīgais leņķa ātrumsωno π rad / s. Cik ilgi šī kustība ilga?
\ theta = \ theta_0 + \ frac {1} {2} (\ omega_0 + \ omega) t \ nozīmē \ frac {3 \ pi} {4} = 0 + \ frac {\ pi} {2} t \ nozīmē t = 1,5 \ teksts {s}
Lai gan katram translācijas vienādojumam ir rotācijas analogs, otrādi nav taisnība centrripetālā paātrinājuma dēļ, kas ir tangenciālā ātruma sekasvtun norāda uz rotācijas asi. Pat ja masas centrā riņķojošās daļiņas ātrums nemainās, tas nozīmē paātrinājumu, jo ātruma vektora virziens vienmēr mainās.
Rotācijas kinemātikas matemātikas piemēri
1. Plāns stienis, kas klasificēts kā stingrs korpuss ar 3 m garumu, rotē ap asi ap vienu galu. Tas vienmērīgi paātrinās no atpūtas līdz 3π rad / s2 10 sekunžu laikā.
a) Kāds ir vidējais leņķiskais ātrums un leņķiskais paātrinājums šajā laikā?
Tāpat kā ar lineāro ātrumu, vienkārši daliet (ω0+ ω) par 2, lai iegūtu vidējo leņķisko ātrumu: (0 + 3π s-1)/2 = 1.5π s-1.
- Radiāni ir bezizmēra vienība, tāpēc kinemātiskajos vienādojumos leņķa ātrumu izsaka kā s-1.
Vidējo paātrinājumu izsakaω=ω0+ αtvaiα= (3π s-1/ 10 s) =0,3π s-2.
b) Cik pilnus apgriezienus veic stienis?
Tā kā vidējais ātrums ir 1,5π s-1 un stienis griežas 10 sekundes, tas pārvietojas pa 15π radiāniem. Tā kā viens apgrieziens ir 2π radiāns, tas nozīmē (15π / 2π) = 7,5 apgriezienus (septiņas pilnīgas revolūcijas) šajā problēmā.
c) Kāds ir stieņa gala tangenciālais ātrums laikā t = 10 s?
Kopšvt = ωr, unωlaikā t = 10 ir 3π s-1, vt= (3π s-1) (3 m) =9π m / s.
Inerces moments
Estiek definēts kā inerces moments (saukts arī parotrais apgabala moments) rotācijas kustībā, un skaitļošanas vajadzībām tā ir analoga masai. Tādējādi tas parādās vietā, kur lineārās kustības pasaulē parādīsies masa, iespējams, vissvarīgāk, aprēķinot leņķisko impulsuL. Tas ir produktsEsunω,un ir vektors, kura virziens ir tāds pats kāω.
Es = kungs2 punktu daļiņai, bet citādi tas ir atkarīgs no rotējošā objekta formas, kā arī no rotācijas ass. Skatiet Resursi par ērtu vērtību vērtību sarakstuEsparastajām formām.
Masa ir atšķirīga, jo pats rotācijas kinemātikā esošais lielums, inerces moments, pats par sevisaturmasa kā sastāvdaļa.