Ar kada susimąstėte, kiek vandens ar kavos telpa į vieną iš tų, atrodytų, nesuskaičiuojamų plastikinių vienkartinių vandens puodelių, tokio tipo, kuris yra siauresnis prie pagrindo nei viršuje? Kitaip tariant, beveik kiekvienas popierinis, plastikinis ar kitas vienkartinis puodelis, kurį kada nors matėte ar naudojote? (Teisybės dėlei reikia pasakyti, kad kai kurie puodeliai neturi nuožulnių šonų ir yra cilindriniai, tačiau atrodo, kad tai taikoma tik nuolatinis puodeliai.)
Aukščiau aprašytas formos tipas pagrįstas a kūgis, kuris yra linijos, peršluojančios erdvę, ir išlenkto kelio, pavyzdžiui, apskritimo (paprasčiausiu atveju) ar elipsės, rezultatas. Puodelis paprastai nėra smailus (kai kuriuose yra šaldytų skanėstų), tačiau geometriniu požiūriu jis vis tiek yra kūgio „gabalas“. Tai leidžia lengvai ir kantriai rasti garsumą.
Kūgio tūris
Taisyklingojo arba dešiniojo kūgio (tai yra su apvaliu pagrindu) tūrio formulė yra
V = \ frac {1} {3} πr ^ 2h
Kur r yra pagrindo spindulys ir h yra kūgio aukštis. Be to, kadangi iš šono dešinysis kūgis atrodo kaip du stačiakampiai trikampiai, išdėstyti kartu, ilgis
s nuožulnios kūgio pusės vertė yra tokia pati kaip ir vieno iš šių trikampių hipotenūzų. Taigi ji pateikiama taikant Pitagoro teoremą: r2 + h2 = s2, taigis = \ sqrt {r ^ 2 + h ^ 2}
Smailėjančios taurės tūris: pirmoji dalis
Tarkime, kad turite puodelį, kurio pagrindas yra 8 cm (cm) pločio, 10 cm skersmens viršuje ir 15 cm aukščio. Kiek skysčio telpa cm3, dar vadinamas mililitrais (ml)?
Vienas iš būdų spręsti šią problemą yra nupiešti taurės skerspjūvį, tai yra tai, kas atrodo iš šono, kai jis perpjaunamas tiksliai per pusę statmenai jūsų regėjimo laukui. Jei iš dviejų taškų, kur pagrindas susitinka su šonais, iki viršaus, nubrėžkite vertikalias linijas taurę, jūs dabar padalijote skerspjūvį į du vienodus, atspindėtus stačiuosius trikampius ir a stačiakampis. Trikampiai turi ilgas 15 cm „kojas“ ir 1 cm trumpas „kojas“ (padalijant skirtumą tarp pagrindo ir viršutinio pločio).
Smailėjančios taurės tūris: antroji dalis
Atkreipkite dėmesį, kas atsitiks, jei jūsų schemoje esančius puodelio kraštus ištiesite iki taško, esančio žemiau pagrindo. Taip pat pratęskite liniją nuo viršaus centro link taško, į kurį šios linijos susilieja. (Gali būti, kad neturėsite vietos, kad šonai susitiktų ir suformuotų uždarą trikampį, bet eikite kuo arčiau,)
Dėl panašių trikampių principo jūs žinote, kad trikampių ilgosios kojos iš viršaus (15 cm) ir mažosios kojos (1) santykis cm) arba nuo 15 iki 1, turi būti toks pats kaip naujai sukurtų trikampių tarp „puodelio“ pagrindo ir taškas. Kadangi mažosios kojos vertė yra 4 cm, ilgoji koja turi būti 15 kartų didesnė arba 60 cm.
Taigi dabar jūs susiduriate su kūgio skerspjūviu, kurio bendras aukštis yra 15 + 60 = 75 cm ir plotis 10 cm, ty 5 cm spindulys. Šio kūgio tūris, atėmus iki puodelio pagrindo besitęsiančio kūgio tūrį, kurio aukštis yra 60 cm, o plotis - 8 cm (r = 4 cm), suteikia norimą rezultatą:
\ begin {aligned} \ frac {1} {3} × π × 5 ^ 2 × 75 = 1963,5 \ text {mL} \\ \ frac {1} {3} × π × 4 ^ 2 × 60 = 1005,3 \ text {mL} \\ 1963.5 - 1005.3 = 958.2 \ text {mL} \ end {aligned}
Taigi jūsų puodelyje telpa labai arti 1 L (1 000 ml) skysčio.
Kūgio ir puodelio tūrio skaičiuoklė
Žr. Šaltinius, jei norite rasti skaičiuoklių, kuriose yra kūgių, pateiktų skirtingus pradinius informacijos derinius, sąrašą. Arba galite naudoti tokį metodą, kaip aukščiau, ir padalinti puodelį į skirtingas formas, tada naudoti paprastesnės formulės (pvz., kubo tūrio formulė) tinkamomis kombinacijomis, kad būtų galima rasti sumą apimtis.