Įsivaizduokite, kad jūs stovite tobulai apvalios arenos viduryje. Pažvelgiate į minias palei arenos šonus ir pastebite savo geriausią draugą vienoje vietoje, o vidurinės mokyklos matematikos mokytoją - per porą skyrių. Koks atstumas tarp jų ir jūsų? Kiek tektų nueiti, kad galėtum keliauti nuo savo draugo iki mokytojo vietos? Kokie yra kampų tarp jūsų matai? Tai visi klausimai, susiję su centriniais kampais.
A centrinis kampas yra kampas, kuris susidaro, kai nuo apskritimo centro iki jo kraštų nubrėžiami du spinduliai. Šiame pavyzdyje du spinduliai yra dvi jūsų regėjimo linijos nuo jūsų, arenos centre, iki jūsų draugo, o jūsų matymo linija - iki jūsų mokytojo. Kampas, kuris susidaro tarp šių dviejų linijų, yra centrinis kampas. Tai kampas, esantis arčiausiai apskritimo centro.
Jūsų draugas ir jūsų mokytojas sėdi palei apimtis arba apskritimo kraštai. Juos jungiantis kelias palei areną yra lankas.
Suraskite centrinį kampą pagal lanko ilgį ir apimtį
Norėdami rasti centrinį kampą, galite naudoti keletą lygčių. Kartais gausite
arkos ilgis, atstumas išilgai apskritimo tarp dviejų taškų. (Pavyzdyje tai yra atstumas, kurį turėtumėte nueiti aplink areną, kad patektumėte iš savo draugo į savo mokytoją.) Centrinio kampo ir lanko ilgio santykis yra:(lanko ilgis) ÷ perimetras = (centrinis kampas) ÷ 360 °
Centrinis kampas bus laipsniais.
Ši formulė turi prasmę, jei gerai pagalvoji. Lanko ilgis iš viso apskritimo ilgio (apskritimo) yra tokia pati proporcija, kaip ir lanko kampas iš viso apskritimo kampo (360 laipsnių).
Norėdami efektyviai naudoti šią lygtį, turite žinoti apskritimo apskritimą. Bet jūs taip pat galite naudoti šią formulę, norėdami sužinoti lanko ilgį, jei žinote centrinį kampą ir apskritimą. Arba, jei turite lanko ilgį ir centrinį kampą, galite rasti perimetrą!
Suraskite centrinį kampą iš lanko ilgio ir spindulio
Norėdami rasti centrinį kampą, taip pat galite naudoti apskritimo spindulį ir lanko ilgį. Iškvieskite centrinio kampo θ matą. Tada:
θ = s÷ r, kur s yra lanko ilgis, o r - spindulys. θ matuojamas radianais.
Vėlgi, jūs galite pertvarkyti šią lygtį, atsižvelgdami į turimą informaciją. Lanko ilgį galite rasti iš spindulio ir centrinio kampo. Arba galite rasti spindulį, jei turite centrinį kampą ir lanko ilgį.
Jei norite lanko ilgio, lygtis atrodo taip:
s =θ * r, kur s yra lanko ilgis, r yra spindulys ir θ yra centrinis kampas radianais.
Centrinio kampo teorema
Pridėkime prie jūsų pavyzdžio, kur esate arenoje su savo kaimynu ir savo mokytoju. Dabar arenoje yra trečias asmuo, kurį pažįstate: jūsų kaimynas. Ir dar vienas dalykas: jie už tavęs. Norėdami juos pamatyti, turite atsisukti.
Jūsų kaimynas yra maždaug kitoje arenoje nuo jūsų draugo ir mokytojo. Jūsų kaimyno požiūriu yra kampas, kurį sudaro jų matymo linija draugui ir matymo linija mokytojui. Tai vadinama užrašytu kampu. An užrašytas kampas yra kampas, suformuotas trimis taškais apskritimo apskritime.
Centrinio kampo teorema paaiškina santykį tarp jūsų suformuoto centrinio kampo dydžio ir jūsų užrašyto kampo, kurį suformuoja jūsų kaimynas. The Centrinio kampo teorema teigia, kad centrinis kampas yra dvigubai didesnis už užrašytą kampą. (Tai daro prielaidą, kad naudojate tuos pačius galinius taškus. Jūs žiūrite į mokytoją ir draugą, o ne į kitus).
Štai dar vienas būdas tai parašyti. Pasikvieskime tavo draugo vietą A, mokytojo vietą B ir kaimynės vietą C. Jūs, centre, galite būti O.
Taigi trims taškams A, B ir C apskritimo apskritime ir taškui O centre centre centrinis kampas ∠AOC yra dvigubai didesnis už įbrėžtą kampą ∠ABC.
Tai yra, OCAOC = 2∠ABC.
Tai turi tam tikrą prasmę. Jūs esate arčiau draugo ir mokytojo, todėl jums jie atrodo toliau (didesnis kampas). Savo kaimynui kitoje stadiono pusėje jie atrodo daug arčiau vienas kito (mažesnis kampas).
Centrinio kampo teoremos išimtis
Dabar pakeiskime dalykus. Jūsų kaimynas tolimoje arenos pusėje pradeda judėti! Jie vis dar turi matomumą draugui ir mokytojui, tačiau kaimynui judant linijos ir kampai vis keičiasi. Spėk ką: kol kaimynas lieka už lanko tarp draugo ir kaimyno, Centrinio kampo teorema vis dar galioja!
Bet kas atsitinka, kai kaimynas juda tarp draugas ir mokytojas? Dabar jūsų kaimynas yra nepilnametis lankas, santykinai mažas atstumas tarp draugo ir mokytojo, palyginti su didesniu atstumu aplink likusią arenos dalį. Tada pasieksite Centrinio kampo teoremos išimtį.
The Centrinio kampo teoremos išimtis teigia, kad kai taškas C, kaimynas, yra mažojo lanko viduje, įbrėžtas kampas yra pusės centrinio kampo priedas. (Atminkite, kad kampas ir jo papildyti pridėti iki 180 laipsnių.)
Taigi: užrašytas kampas = 180 - (centrinis kampas ÷ 2)
Arba: ∠ABC = 180 - (∠AOC ÷ 2)
Vizualizuokite
„Math Open Reference“ yra įrankis, skirtas vizualizuoti centrinio kampo teoremą ir jos išimtį. Jūs turite nuvilkti „kaimyną“ į visas skirtingas apskritimo dalis ir stebėti, kaip keičiasi kampai. Išbandykite, jei norite vizualinės ar papildomos praktikos!