Kaip rasti eksponentinę lygtį dviem taškais

Jei žinote du taškus, kurie patenka į tam tikrą eksponentinę kreivę, kreivę galite apibrėžti spręsdami bendrą eksponentinę funkciją naudodami tuos taškus. Praktiškai tai reiškia, kad y = ab taškuose y ir x pakeičiami taškai^x. Procedūra yra lengvesnė, jei vieno iš taškų x reikšmė yra 0, o tai reiškia, kad taškas yra ant ašies. Jei nė vienas taškas neturi nulinės x vertės, x ir y sprendimo procesas yra daug sudėtingesnis.

Daugelis svarbių sistemų atitinka eksponentinius augimo ir irimo modelius. Pavyzdžiui, bakterijų skaičius kolonijoje paprastai padidėja eksponentiškai, o aplinkos spinduliavimas atmosferoje po branduolinio įvykio paprastai sumažėja eksponentiškai. Atsižvelgdami į duomenis ir nubrėždami kreivę, mokslininkai gali geriau prognozuoti.

Bet kurį dvimatio grafiko tašką galima pavaizduoti dviem skaičiais, kurie paprastai įrašomi į forma (x, y), kur x apibrėžia horizontalų atstumą nuo pradžios, o y reiškia vertikalę atstumas. Pvz., Taškas (2, 3) yra du vienetai dešinėje nuo y ašies ir trys vienetai virš x ašies. Kita vertus, taškas (-2, -3) yra du vienetai kairėje nuo y ašies. ir trys vienetai žemiau x ašies.

Jei turite du taškus, (x₁, y₁) ir (x₂, y₂), galite apibrėžti eksponentinę funkciją, einančią per šiuos taškus, pakeisdami juos y = ab lygtimi^x ir sprendžiant a ir b. Apskritai turite išspręsti šią lygčių porą:

y₁ = ab^x1 ir y₂ = ab^x2, .

Šioje formoje matematika atrodo šiek tiek sudėtinga, bet atrodo mažiau, kai atliksite keletą pavyzdžių.

Jei viena iš x reikšmių - pasakykite x₁ - yra 0, operacija tampa labai paprasta. Pvz., Išsprendus taškų (0, 2) ir (2, 4) lygtį, gaunama:

2 = ab⁰ ir 4 = ab². Kadangi mes žinome, kad b⁰ = 1, pirmoji lygtis tampa 2 = a. Pakeitus a antrojoje lygtyje, gaunamas 4 = 2b², kurį supaprastiname iki b² = 2 arba b = 2 kvadratinė šaknis, kuri lygi maždaug 1,41. Apibrėžianti funkcija yra tada y = 2 (1,41)^x.

Jei nė viena x reikšmė nėra lygi nuliui, lygčių porą išspręsti yra šiek tiek sudėtingiau. Henochmatas pateikia mums paprastą pavyzdį, kaip paaiškinti šią procedūrą. Savo pavyzdžiu jis pasirinko taškų porą (2, 3) ir (4, 27). Tai duoda šias poras lygčių:

27 = ab⁴

3 = ab²

Jei padalysite pirmąją lygtį iš antrosios, gausite

9 = b²

taigi b = 3. Galima, kad b taip pat bus lygus -3, bet šiuo atveju tarkime, kad jis yra teigiamas.

Galite pakeisti šią b reikšmę bet kurioje lygtyje, kad gautumėte a. Antrąją lygtį lengviau naudoti, taigi:

3 = a (3)² kurį galima supaprastinti iki 3 = a9, a = 3/9 arba 1/3.

Lygtis, einanti per šiuos taškus, gali būti parašyta kaip y = 1/3 (3)^x.

Nuo 1910 m. Žmonių populiacijos augimas buvo eksponentiškas, ir, nubrėždami augimo kreivę, mokslininkai gali geriau prognozuoti ir planuoti ateitį. 1910 m. Pasaulyje gyveno 1,75 mlrd., O 2010 m. - 6,87 mlrd. Atsižvelgiant į 1910 m. Kaip pradinį tašką, gaunama taškų pora (0, 1,75) ir (100, 6,87). Kadangi pirmojo taško x reikšmė lygi nuliui, galime lengvai rasti a.

1,75 = ab⁰ arba a = 1,75. Prijungus šią vertę kartu su antrojo taško vertėmis į bendrą eksponentinę lygtį gaunama 6,87 = 1,75b¹⁰⁰, kuris suteikia b reikšmę kaip šimtąją 6,87 / 1,75 arba 3,93 šaknį. Taigi lygtis tampa y = 1,75 (šimtoji 3,93 šaknis)^x. Nors norint tai padaryti reikia daugiau nei skaidrės, mokslininkai gali naudoti šią lygtį, norėdami numatyti būsimą gyventojų skaičių, kad padėtų dabarties politikams sukurti tinkamą politiką.