Elementarioji algebra yra viena iš pagrindinių matematikos šakų. „Algebra“ pristato kintamųjų naudojimo skaičiams vaizduoti koncepciją ir apibrėžia taisykles, kaip manipuliuoti lygtimis, kuriose yra šie kintamieji. Kintamieji yra svarbūs, nes jie leidžia suformuluoti apibendrintus matematinius dėsnius ir leidžia į lygtis įvesti nežinomus skaičius. Būtent šie nežinomi skaičiai yra svarbiausi algebros uždaviniai, kurie dažniausiai paskatina išspręsti nurodytą kintamąjį. "Standartiniai" kintamieji algebroje dažnai vaizduojami kaip x ir y.
Tiesinių ir parabolinių lygčių sprendimas
Perkelkite visas pastovias vertes iš lygties pusės su kintamuoju į kitą lygybės ženklo pusę. Pavyzdžiui, dėl lygties
4x ^ 2 + 9 = 16
atimkite 9 iš abiejų lygties pusių, kad pašalintumėte 9 iš kintamos pusės:
4x ^ 2 + 9 - 9 = 16 - 9
kuris supaprastina
4x ^ 2 = 7
Padalinkite lygtį iš kintamojo termino koeficiento. Pavyzdžiui,
\ text {if} 4x ^ 2 = 7 \ text {then} \ frac {4x ^ 2} {4} = \ frac {7} {4}
kurio rezultatas
x ^ 2 = 1,75
Imkitės tinkamos lygties šaknies, kad pašalintumėte kintamojo rodiklį. Pavyzdžiui,
\ text {if} x ^ 2 = 1.75 \ text {then} \ sqrt {x ^ 2} = \ sqrt {1.75}
kurio rezultatas
x = 1,32
Išspręskite nurodytą kintamąjį su radikalais
Išskirkite kintamojo išraišką naudodami tinkamą aritmetinį metodą, kad pašalintumėte kintamojo pusėje esančią konstantą. Pavyzdžiui, jei
\ sqrt {x + 27} + 11 = 15
norėtumėte išskirti kintamąjį naudodami atimimą:
\ sqrt {x + 27} + 11 - 11 = 15 - 11 = 4
Pakelkite abi lygties puses iki kintamojo šaknies galios, kad kintamasis būtų pašalintas iš šaknies. Pavyzdžiui,
\ sqrt {x + 27} = 4 \ text {then} (\ sqrt {x + 27}) ^ 2 = 4 ^ 2
kuris tau duoda
x + 27 = 16
Norint panaikinti kintamojo pusėje esančią konstantą, kintamasis išskiriamas naudojant tinkamą aritmetinį metodą. Pavyzdžiui, jei
x + 27 = 16
naudojant atimtis:
x = 16 - 27 = -11
Kvadratinių lygčių sprendimas
Nustatykite lygtį lygią nuliui. Pavyzdžiui, dėl lygties
2x ^ 2 - x = 1
iš abiejų pusių atimkite 1, kad lygtis būtų nulis
2x ^ 2 - x - 1 = 0
Faktorius arba užpildykite kvadrato kvadratą, atsižvelgiant į tai, kas yra lengviau. Pavyzdžiui, dėl lygties
2x ^ 2 - x - 1 = 0
lengviausia atsižvelgti į tai:
2x ^ 2 - x - 1 = 0 \ text {tampa} (2x + 1) (x - 1) = 0
Išspręskite kintamojo lygtį. Pavyzdžiui, jei
(2x + 1) (x - 1) = 0
tada lygtis lygi nuliui, kai:
2x + 1 = 0
Tai reiškia
2x = -1 \ text {, so} x = - \ frac {1} {2}
ar kada
\ text {kai} x - 1 = 0 \ text {, gausite} x = 1
Tai yra kvadratinės lygties sprendiniai.
Lygčių sprendėjas trupmenoms
Kiekvieno vardiklio faktorius. Pavyzdžiui,
\ frac {1} {x - 3} + \ frac {1} {x + 3} = \ frac {10} {x ^ 2 - 9}
galima atsižvelgti į:
\ frac {1} {x - 3} + \ frac {1} {x + 3} = \ frac {10} {(x - 3) (x + 3)}
Padauginkite kiekvieną lygties kraštą iš mažiausio vardiklio daugiklio. Mažiausiai paplitęs kartotinis yra išraiška, į kurią kiekvienas vardiklis gali tolygiai padalyti. Dėl lygties
\ frac {1} {x - 3} + \ frac {1} {x + 3} = \ frac {10} {(x - 3) (x + 3)}
mažiausiai bendras kartotinis yra (x − 3)(x+ 3). Taigi,
(x - 3) (x + 3) \ bigg (\ frac {1} {x - 3} + \ frac {1} {x + 3} \ bigg) = (x - 3) (x + 3) \ bigg (\ frac {10} {(x - 3) (x + 3)} \ bigg)
tampa
\ frac {(x - 3) (x + 3)} {x - 3} + \ frac {(x - 3) (x + 3)} {x + 3} = (x - 3) (x + 3) \ bigg (\ frac {10} {(x - 3) (x + 3)} \ bigg)
Atšaukti sąlygas ir išspręstix. Pavyzdžiui, lygties sąlygų atšaukimas
\ frac {(x - 3) (x + 3)} {x - 3} + \ frac {(x - 3) (x + 3)} {x + 3} = (x - 3) (x + 3) \ bigg (\ frac {10} {(x - 3) (x + 3)} \ bigg)
suteikia:
(x + 3) + (x - 3) = 10
Veda prie
2x = 10 \ text {ir} x = 5
Spręsti eksponentines lygtis
Atskirkite eksponentinę išraišką, panaikindami bet kokius pastovius terminus. Pavyzdžiui,
100 × (14 ^ x) + 6 = 10
tampa
\ pradžia {lygiuota} 100 × (14 ^ x) + 6 - 6 & = 10 - 6 \\ & = 4 \ pabaiga {lygiuota}
Panaikinkite kintamojo koeficientą, padalydami abi puses iš koeficiento. Pavyzdžiui,
100 × (14 ^ x) = 4
tampa
\ frac {100 × (14 ^ x)} {100} = \ frac {4} {100} \\ \, 14 ^ x = 0,04
Paimkite natūralų lygties žurnalą, kad sumažintumėte rodiklį, kuriame yra kintamasis. Pavyzdžiui,
14 ^ x = 0,04
galima parašyti kaip (naudojant kai kurias logaritmų savybes):
\ ln (14 ^ x) = \ ln (0.04) \\ x × \ ln (14) = \ ln \ bigg (\ frac {1} {25} \ bigg) \\ x × \ ln (14) = \ ln (1) - \ ln (25) \\ x × \ ln (14) = 0 - \ ln (25)
Išspręskite kintamojo lygtį. Pavyzdžiui,
x × \ ln (14) = 0 - \ ln (25) \ text {tampa} x = \ frac {- \ ln (25)} {\ ln (14)} = -1,22
Logaritminių lygčių sprendimas
Izoliuoti natūralų kintamojo žurnalą. Pavyzdžiui, lygtis
2 \ ln (3x) = 4 \ text {tampa} \ ln (3x) = \ frac {4} {2} = 2
Konvertuokite žurnalo lygtį į eksponentinę lygtį, pakeldami žurnalą į atitinkamos bazės rodiklį. Pavyzdžiui,
\ ln (3x) = 2
tampa:
e ^ {\ ln (3x)} = e ^ 2
Išspręskite kintamojo lygtį. Pavyzdžiui,
e ^ {\ ln (3x)} = e ^ 2
tampa
\ frac {3x} {3} = \ frac {e ^ 2} {3} \ text {so} x = 2,46