Schrodingerio lygtis yra pagrindinė kvantinės mechanikos lygtis, todėl išmokti ją naudoti ir ką ji reiškia, yra būtina bet kuriam pradedančiam fizikui. Lygtis pavadinta Erwino Schrödingerio vardu, kuris 1933 m. Kartu su Paulu Diracu laimėjo Nobelio premiją už indėlį į kvantinę fiziką.
Schrodingerio lygtis apibūdina kvantinės mechaninės sistemos bangos funkciją, kuri suteikia tikimybinė informacija apie dalelės vietą ir kitus pastebimus dydžius, pavyzdžiui, jos pagreitį. Svarbiausia, ką suprasite apie kvantinę mechaniką sužinoję apie lygtį, yra tai, kad dėsniai kvantinėje srityje yralabai skirtingasnuo klasikinės mechanikos.
Bangos funkcija
Bangos funkcija yra viena iš svarbiausių kvantinės mechanikos sąvokų, nes kiekvieną dalelę vaizduoja bangos funkcija. Paprastai ji pateikiama graikiškos raidės psi (Ψ), ir tai priklauso nuo padėties ir laiko. Kai turite dalelės bangų funkcijos išraišką, ji pasako viską, apie ką galima žinoti fizinę sistemą ir skirtingas stebimų dydžių vertes galima gauti taikant operatorių tai.
Bangos funkcijos modulio kvadratas nurodo tikimybę rasti dalelę tam tikroje padėtyjextam tikru laikut. Taip yra tik tuo atveju, jei funkcija yra „normalizuota“, o tai reiškia, kad kvadrato modulio suma visose įmanomose vietose turi būti lygi 1, ty kad dalelė yratam tikrasbūti įsikūrusiamkažkur.
Atkreipkite dėmesį, kad bangos funkcija teikia tikimybinę informaciją, todėl jūs negalite numatyti vieno stebėjimo rezultato, nors ir jūsgalinustatyti daugelio matavimų vidurkį.
Norėdami apskaičiuoti, galite naudoti bangų funkciją„Lūkesčių vertė“dalelės padėčiai tuo metut, o numatoma vertė yra vidutinėxgautumėte, jei matavimą pakartotumėte daug kartų.
Vėlgi, tai nieko nepasako apie konkretų matavimą. Tiesą sakant, bangos funkcija yra labiau tikimybės pasiskirstymas vienai dalelei nei bet kas konkretus ir patikimas. Naudodami atitinkamą operatorių, taip pat galite gauti tikėtinas impulsų, energijos ir kitų pastebimų dydžių vertes.
Schrodingerio lygtis
Schrodingerio lygtis yra tiesinė dalinė diferencialinė lygtis, apibūdinanti a raidą kvantinė būsena panašiai kaip Niutono dėsniai (ypač antrasis dėsnis) klasikinėje mechanika.
Tačiau Schrodingerio lygtis yra nagrinėjamos dalelės bangų funkcijos bangų lygtis, todėl lygties naudojimas būsimai būsenai numatyti sistemos sistema kartais vadinama „bangų mechanika“. Pati lygtis kyla iš energijos taupymo ir yra pastatyta aplink operatorių, vadinamą Hamiltonas.
Paprasčiausia užrašyti Schrodingerio lygties forma yra:
H Ψ = iℏ \ frac {\ partialΨ} {\ dalinis}
Kur ℏ yra sumažinta Plancko konstanta (t. Y. Konstanta, padalyta iš 2π) irHyra Hamiltono operatorius, kuris atitinka kvantinės sistemos potencialios energijos ir kinetinės energijos (bendros energijos) sumą. Vis dėlto „Hamiltonian“ yra gana ilga išraiška, todėl visą lygtį galima parašyti taip:
- \ frac {ℏ ^ 2} {2m} \ frac {\ partisal ^ 2 Ψ} {\ dalinis x ^ 2} + V (x) Ψ == iℏ \ frac {\ dalialas} {\ dalinis t}
Atkreipdamas dėmesį, kad kartais (aiškių trijų dimensijų problemų atveju) pirmasis dalinis darinys rašomas kaip Laplacian operatorius ∇2. Iš esmės Hamiltonas veikia bangų funkciją, kad apibūdintų jos evoliuciją erdvėje ir laike. Bet nuo laiko nepriklausančioje lygties versijoje (t. Y. Kai sistema nepriklauso nuot), Hamiltonas suteikia sistemos energiją.
Schrodingerio lygties sprendimas reiškia rastikvantinės mechaninės bangos funkcijakad tai tenkina tam tikroje situacijoje.
Nuo laiko priklausanti Schrodingerio lygtis
Nuo laiko priklausanti Schrodingerio lygtis yra ankstesnio skyriaus versija, ir ji apibūdina dalelės bangų funkcijos raidą laike ir erdvėje. Paprastas svarstytinas atvejis yra laisva dalelė, nes potenciali energijaV= 0, o sprendimas įgauna plokštumos bangą. Šie sprendimai yra tokios formos:
Ψ = Ae ^ {kx −ωt}
Kurk = 2π / λ, λyra bangos ilgis irω = E / ℏ.
Kitose situacijose pradinės lygties potencialios energijos dalis apibūdina ribines sąlygas erdvinė bangos funkcijos dalis, ir ji dažnai yra padalijama į laiko evoliucijos funkciją ir nuo laiko nepriklausomą lygtis.
Nepriklausoma nuo laiko Schrodingerio lygtis
Esant statinėms situacijoms ar sprendimams, kurie formuoja stovinčias bangas (pvz., Potencialus šulinys, „dalelės dėžutėje“ stiliaus sprendimai), galite atskirti bangų funkciją į laiko ir erdvės dalis:
Ψ (x, t) = Ψ (x) f (t)
Kai tai atliksite visiškai, laiko dalį galima atšaukti, paliekant tai Schrodingerio lygties formątikpriklauso nuo dalelės padėties. Tada laiko nepriklausomos bangos funkciją pateikia:
H Ψ (x) = E Ψ (x)
ČiaEyra kvantinės mechaninės sistemos energija irHyra Hamiltono operatorius. Ši lygties forma yra tiksli savosios vertės lygties forma su bangos funkcija yra savoji funkcija, o energija - savoji vertė, kai naudojamas Hamiltono operatorius prie jo. Išplečiant Hamiltono kalbą į aiškesnę formą, ją galima parašyti taip:
- \ frac {ℏ ^ 2} {2m} \ frac {\ dalinis ^ 2 Ψ} {\ dalinis x ^ 2} + V (x) Ψ = E Ψ (x)
Lygties laiko dalis yra funkcijoje:
f (t) = e ^ {\ frac {iEt} {ℏ}}
Nepriklausomos nuo laiko Schrodingerio lygties sprendiniai
Nepriklausoma nuo laiko Schrodingerio lygtis tinka gana paprastiems sprendimams, nes ji apkarpo visą lygties formą. Puikus to pavyzdys yra „dalelė dėžutėje“ sprendimų grupė, kai daroma prielaida, kad dalelė yra begalinio kvadratinio potencialo šulinyje vienoje dimensijoje, taigi potencialas yra nulis (t.V= 0), ir nėra jokios tikimybės, kad dalelė rastųsi už šulinio.
Taip pat yra baigtinis kvadratinis šulinys, kuriame potencialas prie šulinio „sienų“ nėra begalinis ir net jei jis yra didesnis už dalelės energiją, yrakai kuriegalimybė rasti dalelę už jos ribų dėl kvantinio tunelio. Dėl begalinio potencialo šulinių sprendimai yra tokie:
Ψ (x) = \ sqrt {\ frac {2} {L}} \ sin \ bigg (\ frac {nπ} {L} x \ bigg)
KurLyra šulinio ilgis.
Delta funkcijos potencialas yra labai panaši į potencialo duobę, išskyrus plotįLeinantis iki nulio (t. y. begalinis mažiausias aplink vieną tašką) ir šulinio gylis einantis į begalybę, o dviejų (U0) išlieka pastovus. Šioje labai idealizuotoje situacijoje yra tik viena susieta būsena, kurią pateikia:
Ψ (x) = \ frac {\ sqrt {mU_0}} {ℏ} e ^ {- \ frac {mU_0} {ℏ ^ 2} \ vert x \ vert}
Su energija:
E = - \ frac {mU_0 ^ 2} {2ℏ ^ 2}
Vandenilio atomo tirpalas prie Schrodingerio lygties
Galiausiai vandenilio atomo tirpalas yra akivaizdžiai pritaikomas realaus pasaulio fizikoje, tačiau praktiškai situacija nes elektronas aplink vandenilio atomo branduolį gali būti vertinamas kaip gana panašus į potencialų šulinį problemų. Tačiau situacija yra trimatė ir geriausiai apibūdinama sferinėmis koordinatėmisr, θ, ϕ. Šiuo atveju sprendimą pateikia:
Ψ (x) = NR_ {n, l} (r) P ^ m_ {l} (\ cos θ) e ^ {imϕ}
KurPyra Legendre polinomai,Ryra specifiniai radialiniai sprendimai irNyra konstanta, kurią nustatote naudodami tai, kad bangos funkcija turėtų būti normalizuota. Iš lygties gaunami energijos lygiai:
E = - \ frac {\ mu Z ^ 2e ^ 4} {8ϵ_0h ^ 2n ^ 2}
KurZčia yra atominis skaičius (taigiZ= 1 - vandenilio atomas),ešiuo atveju yra elektrono krūvis (o ne konstantae = 2.7182818...), ϵ0 yra laisvos vietos pralaidumas irμyra sumažinta masė, pagrįsta protono ir elektrono masėmis vandenilio atome. Ši išraiška tinka bet kuriam vandenilį primenančiam atomui, reiškiančiam bet kokią situaciją (įskaitant jonus), kai aplink centrinį branduolį skrieja vienas elektronas.
