Funkcijų integravimas yra viena iš pagrindinių skaičiavimo programų. Kartais tai yra paprasta, kaip:
F (x) = \ int (x ^ 3 + 8) dx
Palyginti sudėtingame šio tipo pavyzdyje galite naudoti neapibrėžtų integralų integravimo pagrindinės formulės versiją:
\ int (x ^ n + A) dx = \ frac {x ^ {(n + 1)}} {n + 1} + Ax + C
kurAirCyra konstantos.
Taigi šiame pavyzdyje
\ int x ^ 3 + 8 = \ frac {x ^ 4} {4} + 8x + C
Pagrindinių kvadratinių šaknų funkcijų integravimas
Išvaizda yra nepatogu integruoti kvadratinės šaknies funkciją. Pavyzdžiui, jus gali varginti:
F (x) = \ int \ sqrt {(x ^ 3) + 2x - 7} dx
Tačiau kvadratinę šaknį galite išreikšti kaip rodiklį 1/2:
\ sqrt {x ^ 3} = x ^ {3 (1/2)} = x ^ {(3/2)}
Todėl integralas tampa:
\ int (x ^ {3/2} + 2x - 7) dx
kuriai galite pritaikyti įprastą formulę iš viršaus:
\ begin {aligned} \ int (x ^ {3/2} + 2x - 7) dx & = \ frac {x ^ {(5/2)}} {5/2} + 2 \ bigg (\ frac {x ^ 2} {2} \ bigg) - 7x \\ & = \ frac {2} {5} x ^ {(5/2)} + x ^ 2 - 7x \ end {aligned}
Sudėtingesnių kvadratinių šaknų funkcijų integravimas
Kartais radikaliu ženklu galite turėti daugiau nei vieną terminą, kaip šiame pavyzdyje:
F (x) = \ int \ frac {x + 1} {\ sqrt {x - 3}} dx
Tu gali naudotiu-pakeitimas tęsti. Čia jūs nustatėteulygus vardiklio kiekiui:
u = \ sqrt {x - 3}
Išspręskite taixsulyginant abi puses ir atimant:
u ^ 2 = x - 3 \\ x = u ^ 2 + 3
Tai leidžia jums gauti dx kalbant apieuimant darinįx:
dx = (2u) du
Pakeitus atgal į pradinį integralą, gaunama
\ begin {aligned} F (x) & = \ int \ frac {u ^ 2 + 3 + 1} {u} (2u) du \\ & = \ int \ frac {2u ^ 3 + 6u + 2u} {u } du \\ & = \ int (2u ^ 2 + 8) du \ end {lygiuoti}
Dabar galite tai integruoti naudodami pagrindinę formulę ir išreikšdamiukalbant apiex:
\ begin {aligned} \ int (2u ^ 2 + 8) du & = \ frac {2} {3} u ^ 3 + 8u + C \\ & = \ frac {2} {3} (\ sqrt {x - 3}) ^ 3 + 8 (\ sqrt {x - 3}) + C \\ & = \ frac {2} {3} (x - 3) ^ {(3/2)} + 8 (x - 3) ^ {(1/2)} + C \ pabaiga {lygiuota}