Trigonometrija gali pasijusti gana abstrakčia tema. Atrodo, kad tokie slapti terminai kaip „nuodėmė“ ir „cos“ iš tikrųjų nieko neatitinka, ir sunku juos suprasti kaip sąvokas. Iš esmės tai padeda vienetinis apskritimas, pateikiantis tiesų paaiškinimą, kokie yra skaičiai, kuriuos gaunate, kai imate sinusą, kosinusą ar kampo liestinę. Bet kurio gamtos ar matematikos studento supratimas apie vieneto ratą gali iš tikrųjų sustiprinti jūsų supratimą apie trigonometriją ir tai, kaip naudotis funkcijomis.
TL; DR (per ilgai; Neskaiciau)
Vieneto apskritimo spindulys yra vienas. Įsivaizduokitexykoordinačių sistema pradedama nuo šio apskritimo centro. Taškiniai kampai matuojami iš kurx= 1 iry= 0, dešinėje apskritimo pusėje. Kampai didėja judant prieš laikrodžio rodyklę.
Naudodamiesi šia sistema, iryužy-koordinuoti irxužx- apskritimo taško koordinatė:
nuodėmėθ = y
cosθ = x
Taigi:
įdegisθ = y / x
Kas yra vieneto ratas?
„Vieneto“ apskritimo spindulys yra 1. Kitaip tariant, atstumas nuo apskritimo centro iki bet kurios krašto dalies visada yra 1. Matavimo vienetas iš tikrųjų neturi reikšmės, nes vieneto apskritime svarbiausia yra tai, kad jis daugelį lygčių ir skaičiavimų daro daug paprastesnius.
Tai taip pat yra naudingas pagrindas žiūrint į kampų apibrėžimus. Įsivaizduokite, kad apskritimo centras yra koordinačių sistemos centre sux- ašys, einančios horizontaliai, ir ay- ašys, einančios vertikaliai. Apskritimas kertax- ašis priex = 1, y= 0. Mokslininkai ir matematikai apibrėžia kampą nuo to taško judėdami prieš laikrodžio rodyklę. Taigi esmėx =1, y= 0 apskritime yra 0 ° kampu.
Nuodėmės ir kos apibrėžimai vieneto ratu
Studentams pateikti įprasti nuodėmės, cos ir įdegio apibrėžimai yra susiję su trikampiais. Jie teigia:
\ sin θ = \ frac {\ text {priešinga}} {\ text {hipotenuzė}} \\ \, \\ \ cos θ = \ frac {\ tekstas {gretimas}} {\ text {hipotenuzė}} \\ \, \\ \ tan θ = \ frac {\ sin θ} {\ cos θ}
„Priešingybė“ reiškia trikampio kraštinės, esančios priešais kampą, ilgį, „gretima“ reiškia kraštinės ilgis šalia kampo ir „hipotenuzė“ reiškia įstrižinės kraštinės ilgį trikampis.
Įsivaizduokite, kad sukuriate trikampį taip, kad hipotenuzė visada būtų vieneto apskritimo spindulys, o vienas kampas yra apskritimo krašte, o kitas - jo centre. Tai reiškia, kad aukščiau pateiktose lygtyse hipotenuzė = 1, taigi pirmieji du tampa:
\ sin θ = \ frac {\ text {priešingas}} {1} = \ text {priešingas} \\ \, \\ \ cos θ = \ frac {\ text {gretimas}} {1} = \ text {gretimas} \\
Jei atitinkamą kampą padarysite apskritimo centre, atvirkščiai yra tiky-koordinatė ir gretima yra tikx- apskritimo, paliečiančio trikampį, taško koordinatė. Kitaip tariant, nuodėmė grąžinaykoordinatės vieneto apskritime (naudojant koordinates, kurios prasideda nuo centro) tam tikram kampui, o cos grąžinax-koordinuoti. Štai kodėl cos (0) = 1 ir sin (0) = 0, nes šiuo metu tai yra koordinatės. Taip pat cos (90) = 0 ir sin (90) = 1, nes tai yra taškas sux= 0 iry= 1. Lygties pavidalu:
\ sin θ = y \\ \ cos θ = x
Tuo remiantis taip pat lengva suprasti neigiamus kampus. Neigiami kampai (matuojami pagal pradžios tašką pagal laikrodžio rodyklę) turi tą patįxkoordinatė kaip atitinkamas teigiamas kampas, taigi:
\ cos -θ = \ cos θ
Tačiauy-koordinatiniai jungikliai, o tai reiškia
\ nuodėmė -θ = - \ nuodėmė
Įdegio su vieneto ratu apibrėžimas
Aukščiau pateiktas įdegio apibrėžimas yra toks:
\ tan θ = \ frac {\ sin "θ} {\ cos θ}
Bet naudodami nuodėmės ir cos apibrėžimus vieneto apskritime, galite pamatyti, kad tai prilygsta:
\ tan θ = \ frac {\ text {priešingas}} {\ text {gretimas}}
Arba galvodami apie koordinates:
\ tan θ = \ frac {y} {x}
Tai paaiškina, kodėl įdegis neapibrėžtas 90 ° arba –270 ° ir 270 ° arba –90 ° (kurx= 0), nes negalima padalyti iš nulio.
Trigonometrinių funkcijų diagrama
Grafikuojant sin ar cos, lengviau pagalvoti apie vieneto ratą. ThexKoordinatė sklandžiai kinta judant ratu, pradedant nuo 1 ir mažėjant iki mažiausiai –1 180 ° kampu, o tuo pačiu didėjant. Nuodėmės funkcija daro tą patį, bet pirmiausia padidėja iki didžiausios 1 vertės 90 ° kampu, prieš tai sekant tuo pačiu modeliu. Sakoma, kad šios dvi funkcijos yra 90 ° kampu viena nuo kitos.
Grafinis įdegis reikalauja dalijimosiypateikėxir todėl yra sudėtingiau grafikas, taip pat yra taškų, kur jis nėra apibrėžtas.