Jei matote posakius 32 ir 53, galite pranešti suklestėjus, kad tai reiškia „trys kvadratas“ ir „penki kubeliai“, ir galėsite rasti lygiaverčių skaičių be eksponentai, viršutiniame dešiniajame viršuje skaičiai, kuriuos žymi viršutiniai indeksai. Šie skaičiai šiuo atveju yra 9 ir 125.
Bet kas, jei vietoj, tarkim, paprastos eksponentinės funkcijos, tokios kaip y = x 3, jūs turite išspręsti lygtį, pvz., y = 3x. Čia x, priklausomas kintamasis, rodomas kaip rodiklis. Ar yra būdas ištraukti tą kintamąjį iš ešerio, kad būtų lengviau su juo susidoroti matematiškai?
Iš tikrųjų yra, ir atsakymas slypi natūraliame eksponentų papildyme, kuris yra įdomus ir naudingas kiekis, žinomas kaip logaritmai.
Kas yra eksponentai?
An rodiklis, dar vadinamas a galia, yra suspaustas būdas išreikšti pakartotinį skaičiaus dauginimą savaime. 45 = 4 × 4 × 4 × 4 × 4 = 1,024.
- Bet koks skaičius, pakeltas iki 1 galios, išlaiko tą pačią vertę; bet kuris skaičius, kurio rodiklis 0, yra lygus 1. Pavyzdžiui, 721 = 72; 720 = 1.
Eksponentai gali būti neigiami, sukurti santykius
x−n= 1 / (xn). Jie taip pat gali būti išreikšti trupmenomis, pvz., 2(5/3). Jei išreiškiama trupmenomis, skaitiklis ir vardiklis turi būti sveiki skaičiai.Kas yra logaritmai?
Logaritmus arba „rąstus“ galima laikyti rodikliais, išreikštais kažkuo, išskyrus galią. Tai tikriausiai nedaug padeda, todėl galbūt padės ar du pavyzdžiai.
Išraiška 103 = 1,000, skaičius 10 yra bazė, ir jis keliamas į trečiąją valdžią (arba isjungti trys). Tai galite išreikšti taip: „10-ies bazė, pakelta iki trečiosios galios, lygi 1 000“.
Logaritmo pavyzdys yra žurnalas10(1,000) = 3. Atkreipkite dėmesį, kad skaičiai ir jų tarpusavio ryšiai yra tokie patys kaip ankstesniame pavyzdyje, tačiau jie buvo perkelti. Žodžiu, tai reiškia, kad „rąsto pagrindas 10 iš 1000 yra lygus 3“.
Dešinėje esantis skaičius yra galia, į kurią reikia pakelti 10 pagrindą, kad jis būtų lygus argumentas, arba žurnalo įvestis, skliaustuose esanti vertė (šiuo atveju 1 000). Ši reikšmė turi būti teigiama, nes bazė, kuri gali būti ne 10, o bet praleista, pvz., „Log 4“, skaičiumi, išskyrus 10, yra ir teigiama.
Naudingos logaritmo taisyklės
Taigi, kaip jūs galite lengvai dirbti tarp žurnalų ir rodiklių? Kelios taisyklės apie žurnalų elgesį gali padėti pradėti spręsti eksponentų problemas.
log_ {b} (xy) = log_ {b} {x} + log_ {b} y log_ {b} (\ dfrac {x} {y}) = log_ {b} {x} \ text {-} log_ { b} y log_ {b} (x ^ A) = A⋅log_ {b} (x) log_ {b} (\ dfrac {1} {y}) = −log_ {b} (y)
Sprendimas eksponentui
Turėdami aukščiau pateiktą informaciją, esate pasirengę pabandyti išspręsti lygtyje esantį rodiklį.
Pavyzdys: jei 50 = 4x, kas yra x?
Jei paimsite žurnalą į kiekvienos pusės 10 pagrindą ir nepateiksite aiškaus pagrindo identifikavimo, tai taps log 50 = log 4x. Iš aukščiau esančio langelio žinote tą žurnalą 4x = x log 4. Tai jums palieka
log 50 = x log 4 arba x = (log 50) / (4 log).
Naudodamiesi savo skaičiuokle ar pasirinktu elektroniniu prietaisu pastebėsite, kad sprendimas yra (1,689 / 0,602) = 2.82.
Eksponentinių lygčių sprendimas su e
Tos pačios taisyklės galioja, kai yra bazė e, taip vadinamas natūralus logaritmas, kurio vertė yra apie 2,7183. Taip pat turėtumėte turėti mygtuką savo skaičiuoklėje. Ši vertė taip pat gauna savo žymėjimą: žurnalasex parašyta tiesiog „ln x“.
- Funkcija y = ex i, kurio e reikšmė yra ne kintamasis, o konstanta, yra vienintelė funkcija, kurios nuolydis yra lygus jo paties aukščiui visiems x ir y.
- Tiesiog kaip žurnalas1010x = x, ex = x visiems x.
Pavyzdys: Išspręskite 16 = e lygtį2,7x.
Kaip aukščiau, ln 16 = ln e2,7x = 2,7x.
ln 16 = 2,77 = 2,7x, taigi x = 2/77 / 2,7 = 1.03.