Įsivaizduokite, kad jūs dirbate patrankomis, siekdami sudaužyti priešo pilies sienas, kad jūsų armija galėtų įsiveržti ir reikalauti pergalės. Jei žinote, kaip greitai kamuolys skrieja, kai palieka patranką, ir žinote, kaip toli yra sienos, kokio paleidimo kampo jums reikia šaudyti iš patrankos, kad sėkmingai atsitrenktumėte į sienas?
Tai yra sviedinio judesio problemos pavyzdys, ir jūs galite išspręsti šią ir daugelį panašių problemų naudodamiesi kinematikos pastovaus pagreičio lygtimis ir kai kuriomis pagrindinėmis algebra.
Sviedinio judėjimastaip fizikai apibūdina dvimatį judėjimą, kai vienintelis pagreitis, kurį patiria aptariamas objektas, yra nuolatinis pagreitis žemyn dėl sunkio jėgos.
Žemės paviršiuje nuolatinis pagreitisayra lygusg= 9,8 m / s2, o objekte, kuriame vyksta sviedinio judėjimas, yralaisvas kritimastai vienintelis pagreičio šaltinis. Daugeliu atvejų jis eis parabolės keliu, todėl judesyje bus horizontalus ir vertikalus komponentas. Nors realiame gyvenime tai turėtų (ribotą) poveikį, laimei, dauguma vidurinės mokyklos fizikos sviedinių judėjimo problemų nepaiso oro pasipriešinimo.
Galite išspręsti sviedinio judėjimo problemas naudodami reikšmęgir kita pagrindinė informacija apie susidariusią situaciją, pavyzdžiui, apie pradinį sviedinio greitį ir jo judėjimo kryptį. Išmokti spręsti šias problemas yra būtina norint išlaikyti daugumą įvadinių fizikos pamokų, o tai supažindina su svarbiausiomis sąvokomis ir metodais, kurių jums prireiks ir vėlesniuose kursuose.
Sviedinio judesio lygtys
Sviedinio judėjimo lygtys yra kinematikos pastovaus pagreičio lygtys, nes sunkio pagreitis yra vienintelis pagreičio šaltinis, į kurį reikia atsižvelgti. Keturios pagrindinės lygtys, kurių jums reikės norint išspręsti bet kokią sviedinio judėjimo problemą, yra šios:
v = v_0 + prie \\ s = \ bigg (\ frac {v + v_0} {2} \ bigg) t \\ s = v_0t + \ frac {1} {2} prie ^ 2 \\ v ^ 2 = v_0 ^ 2 + 2as
Čiavreiškia greitį,v0 yra pradinis greitis,ayra pagreitis (kuris yra lygus pagreičiui žemyngvisose sviedinio judėjimo problemose),syra poslinkis (iš pradinės padėties) ir kaip visada turite laiko,t.
Šios lygtys techniškai yra skirtos tik vienai dimensijai ir iš tikrųjų jas būtų galima pateikti vektoriniais dydžiais (įskaitant greitį)v, pradinis greitisv0 ir pan.), tačiau praktiškai šias versijas galite naudoti atskirai, vieną kartąxkryptis ir vieną kartąyKryptis (ir jei kada nors kilo trimatė problema,z-kryptis taip pat).
Svarbu prisiminti, kad tai yranaudojamas tik nuolatiniam greitėjimui, todėl jie puikiai tinka apibūdinti situacijas, kai gravitacijos įtaka yra vienintelė pagreitis, tačiau netinka daugeliui realių situacijų, kai reikia papildomų jėgų laikomas.
Esminėms situacijoms jums tereikia apibūdinti objekto judėjimą, tačiau, jei reikia, galite įtraukti ir kitą veiksniai, pavyzdžiui, aukštis, nuo kurio buvo paleistas sviedinys, arba netgi išspręskite juos aukščiausiam sviedinio taškui kelias.
Sviedinio judesio problemų sprendimas
Dabar, kai pamatėte keturias sviedinio judėjimo formulės versijas, kurias turėsite naudoti išspręsti problemas, galite pradėti galvoti apie strategiją, kurią naudojate sprogimo judesiui išspręsti problema.
Pagrindinis požiūris yra padalinti problemą į dvi dalis: vieną horizontaliam judesiui ir vertikaliam judesiui. Techniškai tai vadinama horizontaliuoju ir vertikaliuoju komponentu, ir kiekvienas jų turi atitinkamą rinkinį dydžiai, tokie kaip horizontalus greitis, vertikalus greitis, horizontalus poslinkis, vertikalus poslinkis ir taip toliau.
Taikydami šį metodą, galite naudoti kinematikos lygtis, atkreipdami dėmesį į tą laikątyra tas pats tiek horizontaliems, tiek vertikaliems komponentams, tačiau tokie dalykai kaip pradinis greitis turės skirtingus pradinio vertikalaus greičio ir pradinio horizontalaus greičio komponentus.
Svarbiausia suprasti tai, kad dvimatis judėjimasbet koksjudesio kampą galima suskirstyti į horizontalųjį ir vertikalųjį komponentą, bet kada tai padarysite, bus viena horizontali nagrinėjamos lygties versija ir viena vertikali versija.
Nepaisant oro pasipriešinimo poveikio, masiškai supaprastinamos sviedinio judėjimo problemos, nes horizontalios krypties niekada nėra pagreitis sviedinio judėjimo (laisvo kritimo) problemoje, nes gravitacijos įtaka veikia tik vertikaliai (t. y. link paviršiaus Žemė).
Tai reiškia, kad horizontalaus greičio komponentas yra tik pastovus greitis, o judėjimas sustoja tik tada, kai gravitacija nukreipia sviedinį į žemės lygį. Tai gali būti naudojama skrydžio laikui nustatyti, nes jis visiškai priklauso nuoykrypties judesį ir gali būti parengtas visiškai atsižvelgiant į vertikalų poslinkį (t. y. laikątkai vertikalus poslinkis yra lygus nuliui, nurodomas skrydžio laikas).
Trigonometrija sviedinio judesio problemose
Jei nagrinėjama problema suteikia paleidimo kampą ir pradinį greitį, turėsite naudoti trigonometriją, kad surastumėte horizontalaus ir vertikalaus greičio komponentus. Tai atlikę, galite naudoti ankstesniame skyriuje aprašytus metodus, kad iš tikrųjų išspręstumėte problemą.
Iš esmės, jūs sukuriate stačiakampį trikampį, kurio hipotenuzė yra pasvirusi paleidimo kampu (θ), o greičio dydis kaip ilgis, o tada gretima pusė yra horizontali greičio dedamoji, o priešinga - vertikalus greitis.
Nubraukite stačiakampį trikampį, kaip nurodyta, ir pamatysite, kad horizontalius ir vertikalius komponentus rasite naudodami trigonometrines tapatybes:
\ text {cos} \; θ = \ frac {\ text {gretimas}} {\ text {hipotenuzė}}
\ text {sin} \; θ = \ frac {\ text {priešinga}} {\ text {hipotenuzė}}
Taigi juos galima pertvarkyti (ir priešingai =vy ir gretimas =vx, t. y. vertikalaus greičio komponentas ir horizontalaus greičio komponentai, o hipotenuzė =v0, pradinis greitis), kad:
v_x = v_0 cos (θ) \\ v_y = v_0 sin (θ)
Tai visa trigonometrija, kurią turėsite atlikti, kad išspręstumėte sviedinio judėjimo problemas: įkišdami paleidimo kampą į lygtis, naudojant sinuso ir kosinuso funkcijas skaičiuoklėje ir padauginus rezultatą iš pradinio sviedinys.
Taigi norint tai padaryti, kai pradinis greitis yra 20 m / s, o paleidimo kampas yra 60 laipsnių, komponentai yra:
\ prasideda {lygiuoti} v_x & = 20 \; tekstas {m / s} × \ cos (60) \\ & = 10 \; tekstas {m / s} \\ v_y & = 20 \; \ tekstas {m / s} × \ sin (60) \\ & = 17.32 \; \ text {m / s} \ end {aligned}
Sviedinio judėjimo problemos pavyzdys: sprogstantis fejerverkas
Įsivaizduokite, kad fejerverkas turi saugiklį, suprojektuotą taip, kad sprogtų aukščiausioje savo trajektorijos vietoje, ir paleidžiamas pradiniu greičiu 60 m / s 70 laipsnių kampu horizontaliai.
Kaip jūs išsiaiškintumėte kokį aukštįhji sprogsta? O koks būtų laikas nuo paleidimo, kai jis sprogs?
Tai yra viena iš daugelio problemų, susijusių su didžiausiu sviedinio aukščiu, o jų sprendimo gudrybė yra tai, kad maksimaliame aukštyjey- greičio komponentas akimirksniu yra 0 m / s. Prijungus šią reikšmęvy ir pasirinkę tinkamiausią iš kinematinių lygčių, galite lengvai išspręsti šią ir bet kurią panašią problemą.
Pirma, žiūrint į kinematines lygtis, ši iššoka (pridedant abonementus, rodančius, kad mes dirbame vertikalia kryptimi):
v_y ^ 2 = v_ {0y} ^ 2 + 2a_ys_y
Ši lygtis yra ideali, nes jūs jau žinote pagreitį (ay = -g), pradinis greitis ir paleidimo kampas (kad galėtumėte nustatyti vertikalųjį komponentą)vy0). Kadangi mes ieškome vertėssy (t. y. aukštish) kadavy = 0, galutinį vertikalaus greičio komponentą galime pakeisti nuliu ir pertvarkytisy:
0 = v_ {0y} ^ 2 + 2a_ys_y
−2a_ys_y = v_ {0y} ^ 2
s_y = \ frac {−v_ {0y} ^ 2} {2a_y}
Kadangi prasminga vadinti kryptį aukštyny, o nuo pagreičio dėl sunkio jėgosgyra nukreiptas žemyn (t. y.ykryptis), galime pasikeistiay dėl -g. Galiausiai, skambinasy aukštish, mes galime parašyti:
h = \ frac {v_ {0y} ^ 2} {2g}
Taigi vienintelis dalykas, kurį reikia išspręsti problemai išspręsti, yra pradinio greičio vertikalusis komponentas, kurį galite padaryti naudodami ankstesnio skyriaus trigonometrinį metodą. Taigi su klausimo informacija (60 m / s ir 70 laipsnių iki horizontalaus paleidimo) tai suteikia:
\ pradžia {lygiuota} v_ {0y} & = 60 \; \ tekstas {m / s} × \ sin (70) \\ & = 56.38 \; \ tekstas {m / s} \ pabaiga {lygiuota}
Dabar galite išspręsti maksimalų aukštį:
\ begin {aligned} h & = \ frac {v_ {0y} ^ 2} {2g} \\ & = \ frac {(56.38 \; \ text {m / s}) ^ 2} {2 × 9.8 \; \ text {m / s} ^ 2} \\ & = 162.19 \ text {m} \ end {aligned}
Taigi fejerverkas sprogs maždaug 162 metrų atstumu nuo žemės.
Tęsiant pavyzdį: Skrydžio laikas ir nuvažiuotas atstumas
Išsprendus sviedinio judėjimo problemos pagrindus grynai vertikaliu judesiu, likusią problemos dalį galima lengvai išspręsti. Visų pirma, laiką nuo paleidimo, kai sprogsta saugiklis, galima rasti naudojant vieną iš kitų pastovaus pagreičio lygčių. Žvelgiant į šias parinktis, išraiška:
s_y = \ bigg (\ frac {v_y + v_ {0y}} {2} \ bigg) t \\
turi laikot, ką jūs norite žinoti; poslinkis, kurį žinote maksimaliam skrydžio taškui; pradinis vertikalus greitis; ir greitis didžiausio aukščio metu (kuris, kaip žinome, yra nulis). Taigi, remiantis tuo, lygtis gali būti pertvarkyta, kad būtų suteikta skrydžio laiko išraiška:
s_y = \ bigg (\ frac {v_ {0y}} {2} \ bigg) t \\ t = \ frac {2s_y} {v_ {0y}}
Taigi įterpiant reikšmes ir sprendžianttsuteikia:
\ begin {aligned} t & = \ frac {2 × 162.19 \; \ text {m}} {56.38 \; \ text {m / s}} \\ & = 5.75 \; \ text {s} \ end {aligned}
Taigi fejerverkas sprogs 5,75 sekundės po paleidimo.
Galiausiai, jūs galite lengvai nustatyti nuvažiuotą horizontalų atstumą pagal pirmąją lygtį, kuri (horizontalia kryptimi) nurodo:
v_x = v_ {0x} + a_xt
Tačiau atkreipdamas dėmesį į tai, kad programoje nėra pagreičioxkryptis, tai paprasčiausiai:
v_x = v_ {0x}
Reiškia, kad greitisxkryptis yra tokia pati per visą fejerverkų kelionę. Turint omenyjev = d/t, kurdyra nuvažiuotas atstumas, tai lengva pamatytid = vtir taip šiuo atveju (susx = d):
s_x = v_ {0x} t
Taigi galite pakeistiv0x su ankstesne trigonometrine išraiška įveskite reikšmes ir išspręskite:
\ pradėti {sulyginti} s_x & = v_0 \ cos (θ) t \\ & = 60 \; \ text {m / s} × \ cos (70) × 5.75 \; \ text {s} \\ & = 118 \; \ text {m} \ end {aligned}
Taigi iki sprogimo jis nukeliaus apie 118 m.
Papildoma sviedinio judesio problema: „Dud“ fejerverkas
Norėdami išspręsti papildomą problemą, įsivaizduokite fejerverką pagal ankstesnį pavyzdį (pradinis greitis 60 m / s 70 laipsnių kampu iki horizontalės) nesugebėjo sprogti savo parabolės viršūnėje, o nusileido ant žemės nesprogęs. Ar galite apskaičiuoti bendrą skrydžio laiką šiuo atveju? Kaip toli nuo paleidimo vietos horizontalia kryptimi jis nusileis, arba, kitaip tariant, koks yradiapazonassviedinio?
Ši problema veikia iš esmės tuo pačiu būdu, kai yra vertikalūs greičio ir poslinkio komponentai pagrindiniai dalykai, į kuriuos reikia atsižvelgti, norint nustatyti skrydžio laiką, ir iš to galite nustatyti diapazonas. Užuot išsamiai išnagrinėję sprendimą, galite tai išspręsti patys, remdamiesi ankstesniu pavyzdžiu.
Yra sviedinio diapazono formulės, kurias galite ieškoti ar gauti iš pastovaus pagreičio lygčių, tačiau tai nėra labai reikalinga, nes jūs jau žinote maksimalų sviedinio aukštį, o nuo šio momento tai tiesiog laisvas kritimas gravitacija.
Tai reiškia, kad galite nustatyti laiką, per kurį fejerverkas nukrenta atgal, ir tada pridėti prie skrydžio laiko iki didžiausio aukščio, kad nustatytumėte bendrą skrydžio laiką. Nuo tada tai yra tas pats procesas, kai atstumas nustatomas naudojant pastovų greitį horizontalia kryptimi kartu su skrydžio laiku.
Parodykite, kad skrydžio laikas yra 11,5 sekundės, o nuotolis - 236 m, atkreipkite dėmesį, kad jums to reikės apskaičiuokite vertikalią greičio dedamąją taške, kurį jis patenka į žemę kaip tarpinį žingsnis.