Avektoriusyra dydis, su kuriuo susijęs ir dydis, ir kryptis. Tai skiriasi nuo askaliariniskiekis, kuris atitinka tik dydį. Greitis yra vektorinio dydžio pavyzdys. Jis turi ir dydį (kaip greitai kažkas vyksta), ir kryptį (kryptį, kuria jis važiuoja.)
Vektoriai dažnai piešiami kaip rodyklės. Rodyklės ilgis atitinka vektoriaus dydį, o rodyklės taškas nurodo kryptį.
Yra du būdai, kaip dirbti su vektorių pridėjimu ir atimimu. Pirmasis yra grafiškai, manipuliuojant pačių vektorių rodyklių diagramomis. Antrasis yra matematiškai, o tai duoda tikslius rezultatus.
Grafinio vektoriaus pridėjimas ir atimimas viename matmenyje
Pridedant du vektorius, antrojo vektoriaus uodegą uždedate prie pirmojo vektoriaus galo, išlaikydami vektoriaus orientaciją. Thegautas vektoriusyra vektorius, prasidedantis pirmojo vektoriaus uodegoje ir nukreiptas tiesia linija į antrojo vektoriaus galiuką.
Pavyzdžiui, apsvarstykite galimybę pridėti vektoriusAirBkurie nukreipti ta pačia kryptimi išilgai linijos. Mes dedame juos "nuo galo iki uodegos" ir gautą vektorių,
Vieno matmens vektorių atėmimas iš esmės yra tas pats, kas pridėti, išskyrus tai, kad jūs „apversite“ antrąjį vektorių. Tai tiesiogiai lemia tai, kad atimtis yra tas pats, kas pridėti neiginį.
Matematinis vektoriaus sudėjimas ir atimimas vienoje dimensijoje
Dirbant vienoje dimensijoje, vektoriaus kryptį galima nurodyti ženklu. Mes pasirenkame vieną teigiamos krypties kryptį (paprastai teigiama yra „į viršų“ arba „į dešinę“) ir priskiriame bet kurį vektorių, nukreiptą į tą pusę, kaip teigiamą dydį. Bet koks vektorius, nukreiptas neigiama kryptimi, yra neigiamas dydis. Pridėdami ar atimdami vektorius, pridėkite arba atimkite jų dydžius su pritvirtintais atitinkamais ženklais.
Tarkime, kad ankstesniame skyriuje vektoriusAturėjo 3 dydį ir vektoriųBturėjo 5 balus. Tada gaunamas vektoriusC = A + B =8, 8 dydžio vektorius, nukreiptas teigiama kryptimi, ir gautas vektoriusD = A - B =-2, 2 dydžio vektorius, nukreiptas neigiama kryptimi. Atkreipkite dėmesį, kad tai atitinka anksčiau pateiktus grafinius rezultatus.
Patarimas: atsargiai pridėkite tik to paties tipo vektorius: greitis + greitis, jėga + jėga ir pan. Kaip ir visos fizikos matematikos atveju, vienetai turi sutapti!
Grafinio vektoriaus sudėjimas ir atimimas dviem matmenimis
Jei pirmasis ir antrasis vektoriai Dekarto erdvėje nėra ta pačia linija, galite juos pridėti arba atimti naudodami tą patį metodą „nuo galo iki uodegos“. Norėdami pridėti du vektorius, paprasčiausiai įsivaizduokite, kaip pakelti antrąjį ir uždėti jo uodegą prie pirmojo galo, išlaikant jo orientaciją, kaip parodyta. Gautas vektorius yra rodyklė, prasidedanti pirmojo vektoriaus uodegoje ir baigianti antrojo vektoriaus galu:
Kaip ir vienoje dimensijoje, vieno vektoriaus atėmimas iš kito yra tolygus vartymui ir pridėjimui. Grafiškai tai atrodo taip:
•••Dana Chen | Mokslo
Pastaba: Kartais vektoriaus pridėjimas parodomas grafiškai, sujungiant dviejų pridėtinių vektorių uodegas ir sukuriant lygiagretainį. Tada gautas vektorius yra šio lygiagretainio įstrižainė.
Matematinis vektoriaus sudėjimas ir atimtis dviem matmenimis
Matematiškai pridėdami ir atimdami vektorius dviem matmenimis, atlikite šiuos veiksmus:
Kiekvieną vektorių suskaidykite įx-komponentas, kartais vadinamas horizontaliuoju komponentu, ir ay-komponentas, kartais vadinamas vertikaliuoju komponentu, naudojant trigonometriją. (Atkreipkite dėmesį, kad komponentai gali būti neigiami arba teigiami, atsižvelgiant į vektoriaus nukreipimo kryptį)
Pridėtix- abiejų vektorių komponentai kartu ir pridėkitey- abiejų vektorių komponentai kartu. Šis rezultatas suteikia jumsxirygauto vektoriaus komponentai.
Gauto vektoriaus dydį galima rasti naudojant Pitagoro teoremą.
Gaunamo vektoriaus kryptį galima rasti naudojant trigonometriją, naudojant atvirkštinės liestinės funkciją. Ši kryptis paprastai pateikiama kaip kampas teigiamo atžvilgiux- ašis.
Trigonometrija vektoriniame papildyme
Prisiminkime trigonometrijos ryšius tarp stačiojo trikampio kraštinių ir kampų.
\ sin (\ theta) = \ frac {b} {c} \\\ text {} \\ \ cos (\ theta) = \ frac {a} {c} \\\ text {} \\ \ tan (\ teta) = \ frac {b} {a}
Pitagoro teorema:
c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2
Sviedinio judėjimas pateikia klasikinius pavyzdžius, kaip mes galime naudoti šiuos ryšius ir suskaidydami vektorių, ir nustatydami galutinį vektoriaus dydį ir kryptį.
Tarkime, du žmonės žaidžia laimikį. Tarkime, jums sakoma, kad rutulys išmetamas iš 1,3 m aukščio 16 m / s greičiu 50 laipsnių kampu su horizontaliu. Norėdami pradėti analizuoti šią problemą, turėsite suskaidyti šį pradinį greičio vektorių įxirykomponentai, kaip parodyta:
v_ {xi} = v_i \ cos (\ theta) = 16 kartų \ cos (50) = 10,3 \ text {m / s} \\ v_ {yi} = v_i \ sin (\ theta) = 16 \ s \ sin (50) = 12,3 \ tekstas {m / s}
Jei gaudytojas praleido kamuolį ir jis atsitrenkė į žemę, kokiu greičiu jis smogs?
Naudodami kinematines lygtis, galime nustatyti, kad rutulio greičio galutiniai komponentai yra:
v_ {xf} = 10,3 \ text {m / s} \\ v_ {yf} = - 13,3 \ text {m / s}
Pitagoro teorema leidžia mums rasti dydį:
v_ {f} = \ sqrt {(10.3) ^ 2 + (-13.3) ^ 2} = 16.8 \ text {m / s}
Trigonometrija leidžia mums nustatyti kampą:
\ theta = \ tan ^ {- 1} \ Big (\ frac {-13.3} {10.3} \ Big) = - 52,2 \ laipsnis
Vektorių sudėties ir atimties pavyzdys
Apsvarstykite automobilį, apvažiuojantį kampą. Tarkimvines automobilis yrax-kryptis, kurios dydis 10 m / s, irvfyra 45 laipsnių kampu su teigiamax- ašys, kurių dydis 10 m / s. Jei šis judėjimo pokytis įvyksta per 3 sekundes, koks yra automobilio pagreičio dydis ir kryptis, kai jis pasisuka?
Prisimink tą pagreitįayra vektorinis dydis, apibrėžtas kaip:
a = \ frac {(v_f-v_i)} {t}
Kurvfirviyra atitinkamai galutinis ir pradinis greitis (taigi ir vektoriniai dydžiai).
Norint apskaičiuoti vektorių skirtumąvf - vi,pirmiausia turime suskaidyti pradinius ir galutinius greičio vektorius:
v_ {xi} = 10 \ text {m / s} \\ v_ {yi} = 0 \ text {m / s} \\ v_ {xf} = 10 \ cos (45) = 7,07 \ text {m / s} \\ v_ {yf} = 10 \ sin (45) = 7,07 \ text {m / s}
Tada mes atimame finaląxirykomponentai nuo pradinioxirykomponentai gauti komponentusvf - vi:
Tada mes atimamexirykomponentai:
(v_f-v_i) _x = v_ {xf} -v_ {xi} = 7.07-10 = -2.93 \ text {m / s} \\ (v_f-v_i) _y = v_ {yf} -v_ {yi} = 7.07 -0 = 7,07 \ tekstas {m / s}
Tada padalykite kiekvieną iš laiko, kad gautumėte pagreičio vektoriaus komponentus:
a_x = \ frac {-2.93} {3} = - 0.977 \ text {m / s} ^ 2 \\\ text {} \\ a_y = \ frac {7.07} {3} = 2.36 \ text {m / s} ^ 2
Norėdami sužinoti pagreičio vektoriaus dydį, naudokite Pitagoro teoremą:
a = \ sqrt {(- 0,977) ^ 2 + (2,36) ^ 2} = 2,55 \ text {m / s} ^ 2
Galiausiai naudokite trigonometriją, norėdami rasti pagreičio vektoriaus kryptį:
\ theta = \ tan ^ {- 1} \ Big (\ frac {2.36} {- 0.977} \ Big) = 113 \ laipsnis