발사체 운동초기 속도가 부여되었지만 중력 외에는 아무런 힘도받지 않는 입자의 운동을 말합니다.
여기에는 입자가 수평에 대해 0도에서 90도 사이의 각도로 던져지는 문제가 포함되며, 수평은 일반적으로지면이됩니다. 편의상이 발사체는 (x, y) 비행기,엑스수평 변위를 나타내고와이수직 변위.
발사체가 이동하는 경로를사선. ( "projectile"과 "trajectory"의 공통 링크는 "throw"를 뜻하는 라틴어 인 "-ject"음절입니다. 누군가를 쫓아 낸다는 것은 말 그대로 그를 쫓아내는 것입니다.) 궤적을 계산해야하는 문제에서 발사체의 원점은 일반적으로 달리하지 않는 한 단순화를 위해 (0, 0)으로 간주됩니다. 정해진.
입자가 발사되는 경우 발사체의 궤적은 포물선 (또는 적어도 포물선의 일부를 추적)입니다. 수평 운동 성분이 0이 아니고 공기 저항이 없습니다. 입자.
운동학 방정식
입자의 운동에서 관심있는 변수는 위치 좌표입니다.엑스과와이, 속도V및 그 가속도ㅏ, 모두 주어진 경과 시간과 관련하여티문제가 시작된 이후 (입자가 시작되거나 해제 될 때). 질량 (m)의 생략은 지구상의 중력이이 양과 독립적으로 작용한다는 것을 의미합니다.
또한 이러한 방정식은 실제 지구 상황에서 항력 반대 운동을 생성하는 공기 저항의 역할을 무시합니다. 이 요소는 고급 역학 과정에서 소개됩니다.
아래 첨자 "0"이 지정된 변수는 해당 수량의 값을 나타냅니다.티= 0이고 상수입니다. 종종이 값은 선택된 좌표계 덕분에 0이고 방정식은 훨씬 더 간단 해집니다. 가속도는 이러한 문제에서 일정하게 취급됩니다 (그리고 y 방향이며-지,또는–9.8m / s2, 지구 표면 근처의 중력으로 인한 가속도).
수평 운동:
x = x_0 + v_xt
- 용어
V엑스일정한 x- 속도입니다.
수직 운동 :
y = y_0 + ((v_ {0y} + v_y) / 2) t \\ v_y = v_ {0y} -gt \\ y = y_0 + v_ {0y} t- (1/2) gt ^ 2 \\ v_y ^ 2 = v_ {0y} ^ 2-2g (y-y_0)
발사체 운동의 예
궤적 계산을 포함하는 문제를 해결할 수있는 열쇠는 수평 (x) 및 수직 (y) 구성 요소를 아는 것입니다. 모션은 위에 표시된대로 개별적으로 분석 할 수 있으며 전체 모션에 대한 각각의 기여도는 마지막에 깔끔하게 요약됩니다. 문제.
발사체 운동 문제는 자유 낙하 문제로 간주됩니다.티= 0, 움직이는 물체에 작용하는 유일한 힘은 중력입니다.
- 중력이 아래쪽으로 작용하고 이것은 음의 y 방향으로 간주되기 때문에 이러한 방정식과 문제에서 가속도 값은 -g입니다.
궤적 계산
1. 야구에서 가장 빠른 투수는 시속 100 마일 (45m / s) 이상으로 공을 던질 수 있습니다. 공이이 속도로 수직으로 위쪽으로 던지면 공이 얼마나 높이 올라가고 공이 놓인 지점으로 돌아가는 데 얼마나 걸립니까?
여기Vy0= 45m / s,-지= –9.8 m / s, 관심 수량이 최종 높이 또는와이,지구로 돌아가는 총 시간. 총 시간은 두 부분으로 나뉩니다. 시간은 y까지, 시간은 y로 되돌아갑니다.0 = 0. 문제의 첫 번째 부분은V와이,공이 최고 높이에 도달하면 0입니다.
방정식을 사용하여 시작하십시오.V와이2= v0 년2 – 2g (y – y0)가지고있는 값을 연결합니다.
0 = (45) ^ 2 – (2) (9.8) (y – 0) = 2,025 – 19.6y \는 y = 103.3 \ text {m}를 의미합니다.
방정식V와이 = v0 년 – gt시간 t가 (45 / 9.8) = 4.6 초임을 보여줍니다. 총 시간을 얻으려면이 값을 공이 시작점까지 자유롭게 떨어지는 데 걸리는 시간에 더합니다. 이것은y = y0 + v0 년t – (1/2) gt2, 지금 공이 떨어지기 시작하기 전의 순간에 아직 있기 때문에V0 년 = 0.
해결 :
103.3 = (1/2) gt ^ 2 \는 t = 4.59 \ text {s}를 의미합니다.
따라서 총 시간은 4.59 + 4.59 = 9.18 초입니다. 여행의 각 "다리"가 위아래로 동시에 걸렸다는 놀라운 결과는 중력이 여기서 작용하는 유일한 힘이라는 사실을 강조합니다.
2. 범위 방정식 :발사체가 속도로 발사 될 때V0수평으로부터의 각도 θ, 그것은 속도의 초기 수평 및 수직 구성 요소를가집니다V0x = V0(cos θ) 및V0 년 = V0(sin θ).
때문에V와이 = v0 년 – gt, 및V와이 = 0 발사체가 최대 높이에 도달하면 최대 높이까지의 시간은 t =V0 년/g. 대칭으로 인해지면으로 돌아가는 데 걸리는 시간 (또는 y = y0)는 단순히 2t = 2입니다.V0 년/지.
마지막으로, 관계 x =V0xt, 발사각 θ가 주어진 수평 거리는 다음과 같습니다.
R = 2 \ frac {v_0 ^ 2 \ sin {\ theta} \ cos {\ theta}} {g} = \ frac {v_0 ^ 2 \ sin {2 \ theta}} {g}
(마지막 단계는 삼각 항등식 2 sinθ ⋅ cosθ = sin 2θ에서 나옵니다.)
sin2θ는 θ = 45 도일 때 최대 값 1이기 때문에이 각도를 사용하면 주어진 속도에 대해 수평 거리가 최대화됩니다.
R = \ frac {v_0 ^ 2} {g}