실수는 음의 무한대에서 0, 양의 무한대까지 확장되는 수직선의 모든 숫자입니다. 실수 집합의 이러한 구성은 임의적이지 않고 계산에 사용 된 자연수에서 진화 한 결과입니다. 자연수의 체계에는 몇 가지 불일치가 있으며 계산이 더 복잡 해짐에 따라 숫자 체계는 한계를 해결하기 위해 확장되었습니다. 실수의 경우 계산은 일관된 결과를 제공하며, 더 원시적 인 버전의 숫자 체계에 존재하는 것과 같은 예외 나 제한 사항이 거의 없습니다.
TL; DR (너무 김; 읽지 않음)
실수 세트는 수직선의 모든 숫자로 구성됩니다. 여기에는 자연수, 정수, 정수, 유리수 및 무리수가 포함됩니다. 허수 나 복소수는 포함되지 않습니다.
자연수와 폐쇄
클로저는 숫자 집합의 속성입니다. 즉, 집합의 구성원 인 숫자에 대해 허용 된 계산이 수행되면 응답도 집합의 구성원 인 숫자가됩니다. 세트가 닫혀 있다고합니다.
자연수는 숫자 1, 2, 3 ...이고 자연수 집합은 닫히지 않습니다. 상거래에서 자연수가 사용됨에 따라 두 가지 문제가 즉시 발생했습니다. 자연수는 실제 물체 (예: 소)를 세지 만 농부가 5 마리의 소를 가지고 5 마리의 소를 팔았다면 결과에 대한 자연수는 없었습니다. 초기 숫자 체계는이 문제를 해결하기 위해 0이라는 용어를 매우 빠르게 개발했습니다. 결과는 자연수에 0을 더한 정수 시스템이었습니다.
두 번째 문제는 뺄셈과도 관련이 있습니다. 숫자가 소와 같은 실제 물건을 세는 한 농부는 자신이 가진 것보다 더 많은 소를 팔 수 없었습니다. 그러나 숫자가 추상적이되었을 때 작은 숫자에서 큰 숫자를 빼면 정수 체계 밖에서 답을 얻을 수있었습니다. 그 결과 정수에 자연수를 더한 정수가 도입되었습니다. 숫자 체계는 이제 완전한 숫자 라인을 포함하지만 정수만 포함합니다.
유리수
폐쇄 숫자 체계의 계산은 숫자 체계 내에서 답을 제공해야합니다. 덧셈 및 곱셈과 같은 연산뿐만 아니라 역 연산, 뺄셈 및 분할. 정수 시스템은 더하기, 빼기 및 곱하기를 위해 닫히지 만 나누기는 닫지 않습니다. 정수를 다른 정수로 나눈 경우 결과가 항상 정수는 아닙니다.
작은 정수를 큰 정수로 나누면 분수가됩니다. 이러한 분수는 유리수로 숫자 체계에 추가되었습니다. 유리수는 두 정수의 비율로 표현할 수있는 임의의 숫자로 정의됩니다. 임의의 10 진수는 유리수로 표현할 수 있습니다. 예를 들어 2.864는 2864/1000이고 0.89632는 89632 / 100,000입니다. 이제 수직선이 완성 된 것처럼 보였습니다.
비합리적인 숫자
정수의 분수로 표현할 수없는 숫자가 수직선에 있습니다. 하나는 직각 삼각형의 변과 빗변의 비율입니다. 직각 삼각형의 변 중 두 변이 1과 1이면 빗변은 2의 제곱근입니다. 2의 제곱근은 반복되지 않는 무한 소수입니다. 이러한 숫자를 비합리적이라고하며 합리적이지 않은 모든 실수를 포함합니다. 이 정의를 사용하면 비합리적 정의에 합리적이지 않은 다른 실수가 포함되기 때문에 모든 실수의 수선이 완성됩니다.
무한대
실수 선이 음수에서 양의 무한대로 확장된다고하지만 무한대 자체는 실수보다 더 큰 양으로 정의하는 숫자 체계의 개념 번호. 수학적으로 무한대는 x가 0에 도달 할 때 1 / x에 대한 답이지만 0으로 나누는 것은 정의되지 않습니다. 무한대가 숫자라면, 무한대는 산술의 법칙을 따르지 않기 때문에 모순이 될 것입니다. 예를 들어, 무한 + 1은 여전히 무한대입니다.
상상의 숫자
실수 세트는 정의되지 않은 0으로 나누기를 제외하고 더하기, 빼기, 곱하기 및 나누기를 위해 닫힙니다. 세트가 하나 이상의 다른 작업에 대해 닫히지 않았습니다.
실수 세트의 곱셈 규칙은 음수와 a의 곱셈을 지정합니다. 양수는 음수를 제공하고 양수 또는 음수를 곱하면 양수를 제공합니다. 대답. 이것은 숫자를 곱하는 특별한 경우가 양수와 음수 모두에 대해 양수를 산출한다는 것을 의미합니다. 이 특별한 경우의 역은 양수의 제곱근이며 양수와 음수 모두를 제공합니다. 음수의 제곱근의 경우 실수 집합에 답이 없습니다.
허수 집합의 개념은 실수의 음의 제곱근 문제를 해결합니다. 마이너스 1의 제곱근은 i로 정의되며 모든 허수는 i의 배수입니다. 수 이론을 완성하기 위해 복소수의 집합은 모든 실수와 모든 허수를 포함하는 것으로 정의됩니다. 실수는 수평 수선에 계속 시각화 할 수있는 반면 허수는 수직 수선이며 두 개가 0에서 교차합니다. 복소수는 각각 실수와 허수 성분이있는 두 개의 수직선 평면에있는 점입니다.