대수는 종종 표현을 단순화하는 것을 포함하지만 일부 표현은 다른 표현보다 다루기가 더 복잡합니다. 복소수는 다음과 같이 알려진 양을 포함합니다.나는, 속성이있는 "허수"숫자나는= √−1. 단순히 복소수를 포함하는 표현을해야한다면 어렵게 느껴질 수도 있지만 기본 규칙을 배우면 상당히 간단한 과정입니다.
TL; DR (너무 김; 읽지 않음)
복소수로 대수 규칙을 따라 복소수를 단순화하십시오.
복소수는 무엇입니까?
복소수는 다음을 포함하여 정의됩니다.나는마이너스 1의 제곱근입니다. 기본 수준의 수학에서 음수의 제곱근은 실제로 존재하지 않지만 때때로 대수 문제에 나타납니다. 복소수의 일반적인 형식은 구조를 보여줍니다.
z = a + bi
어디지복소수에 라벨을 붙이고,ㅏ임의의 숫자 ( "실제"부분이라고 함)를 나타내고비다른 숫자 ( "가상"부분이라고 함)를 나타내며 둘 다 양수 또는 음수 일 수 있습니다. 따라서 복소수의 예는 다음과 같습니다.
z = 2-4i
음수의 모든 제곱근은나는, 이것은 모든 복소수의 형식입니다. 기술적으로 일반 숫자는 복잡한 숫자의 특별한 경우를 설명합니다.비= 0이므로 모든 숫자는 복잡한 것으로 간주 될 수 있습니다.
복소수가있는 대수에 대한 기본 규칙
복소수를 더하고 빼려면 실수 부와 허수 부를 따로 더하거나 빼면됩니다. 따라서 복소수의 경우지 = 2 – 4나는과w = 3 + 5나는, 합계는 다음과 같습니다.
\ begin {정렬} z + w & = (2-4i) + (3 + 5i) \\ & = (2 + 3) + (-4 + 5) i \\ & = 5 + 1i \\ & = 5 + 나는 \ end {정렬}
숫자 빼기는 동일한 방식으로 작동합니다.
\ begin {정렬} z- w & = (2-4i)-(3 + 5i) \\ & = (2-3) + (-4-5) i \\ & = -1 -9i \ end {정렬 됨 }
곱셈은 복소수를 사용하는 또 다른 간단한 작업입니다.나는2 = −1. 따라서 3을 계산하려면나는 × −4나는:
3i × -4i = -12i ^ 2
하지만 그때부터나는2= −1이면 :
-12i ^ 2 = -12 × -1 = 12
완전한 복소수 사용 (사용지 = 2 – 4나는과w = 3 + 5나는다시), () 같은 일반 숫자와 같은 방식으로 곱합니다.ㅏ + 비) (씨 + 디), "first, inner, outer, last"(FOIL) 방법을 사용하여 (ㅏ + 비) (씨 + 디) = ac + 기원전 + 기원 후 + bd. 기억해야 할 것은 모든 인스턴스를 단순화하는 것입니다.나는2. 예를 들면 :
\ begin {정렬} z × w & = (2-4i) (3 + 5i) \\ & = (2 × 3) + (-4i × 3) + (2 × 5i) + (−4i × 5i) \ \ & = 6 -12i + 10i-20i ^ 2 \\ & = 6 -2i + 20 \\ & = 26 + 2i \ end {aligned}
복소수 나누기
복소수를 나누는 것은 분모의 켤레 복소수로 분수의 분자와 분모를 곱하는 것을 포함합니다. 켤레 복소수는 허수 부가 부호가 반전 된 복소수의 버전을 의미합니다. 그래서지 = 2 – 4나는, 복합 켤레지 = 2 + 4나는, 그리고w = 3 + 5나는, w = 3 −5나는. 문제 :
\ frac {z} {w} = \ frac {2 -4i} {3 + 5i}
필요한 접합체는w*. 분자와 분모를 다음과 같이 나누십시오.
\ frac {z} {w} = \ frac {(2 -4i) (3 -5i)} {(3 + 5i) (3-5i)}
그런 다음 이전 섹션에서와 같이 작업합니다. 분자는 다음을 제공합니다.
\ begin {aligned} (2 -4i) (3 -5i) & = 6 -12i- 10i + 20i ^ 2 \\ & = -14-22i \ end {aligned}
그리고 분모는 다음을 제공합니다.
\ begin {aligned} (3 + 5i) (3-5i) & = 9 + 15i-15i -25i ^ 2 \\ & = 9 + 25 \\ & = 34 \ end {aligned}
이것은 다음을 의미합니다.
\ begin {aligned} \ frac {z} {w} & = \ frac {-14-22i} {34} \\ \, \\ & = \ frac {-14} {34}-\ frac {22i} { 34} \\ \, \\ & = \ frac {-7} {17}-\ frac {11i} {17} \ end {aligned}
복소수 단순화
복잡한 표현식을 단순화하려면 필요에 따라 위의 규칙을 사용하십시오. 예를 들면 :
z = \ frac {(4 + 2i) + (2 -i)} {(2 + 2i) (2+ i)}
이것은 분자의 덧셈 규칙, 분모의 곱셈 규칙, 그리고 나눗셈을 완료함으로써 단순화 할 수 있습니다. 분자의 경우 :
(4 + 2i) + (2-i) = 6 + i
분모 :
\ begin {aligned} (2 + 2i) (2+ i) & = 4 + 4i + 2i + 2i ^ 2 \\ & = (4 -2) + 6i \\ & = 2 + 6i \ end {aligned}
이를 제자리에 다시 넣으면 다음과 같은 이점이 있습니다.
z = \ frac {6 + i} {2 + 6i}
두 부분에 분모의 켤레를 곱하면 다음과 같이됩니다.
\ begin {aligned} z & = \ frac {(6 + i) (2-6i)} {(2 + 6i) (2 -6i)} \\ \, \\ & = \ frac {12 + 2i -36i -6i ^ 2} {4 + 12i -12i -36i ^ 2} \\ \, \\ & = \ frac {18-34i} {40} \\ \, \\ & = \ frac {9-17i} {20} \\ \, \\ & = \ frac {9} {20}-\ frac {17i} {20} \\ \ end {정렬}
그래서 이것은지다음과 같이 단순화합니다.
\ begin {정렬} z & = \ frac {(4 + 2i) + (2-i)} {(2 + 2i) (2+ i)} \\ & = \ frac {9} {20}-\ frac {17i} {20} \\ \ end {aligned}