두 스칼라 수량의 곱은 스칼라이고 벡터와 스칼라의 곱은 벡터이지만 두 벡터의 곱은 어떻습니까? 스칼라입니까, 아니면 다른 벡터입니까? 대답은 둘 중 하나 일 수 있습니다!
벡터 제품을 가져 오는 방법에는 두 가지가 있습니다. 하나는 내적을 취하여 스칼라를 생성하고 다른 하나는 외적을 취하여 다른 벡터를 생성하는 것입니다. 사용되는 제품은 특정 시나리오와 찾으려는 수량에 따라 다릅니다.
두 벡터의 외적은에 수직 인 방향을 가리키는 세 번째 벡터를 생성합니다. 두 벡터에 걸쳐 있고 그 크기가 두 벡터의 상대적 수직성에 따라 달라지는 평면 벡터.
벡터의 외적 정의
먼저 단위 벡터의 외적을 정의합니다.나는, 제이과케이(크기 1의 벡터는x-, y-과지-표준 데카르트 좌표계의 구성 요소 방향) 다음과 같습니다.
\ bold {i \ times j} = \ bold {k} \\ \ bold {j \ times k} = \ bold {i} \\ \ bold {k \ times i} = \ bold {j} \\ \ bold {i \ times i} = \ bold {j \ times j} = \ bold {k \ times k} = 0
이러한 관계는 반 교환 적입니다. 즉, 곱을 취하는 벡터의 순서를 바꾸면 곱의 부호가 뒤집 힙니다.
\ bold {j \ times i} =-\ bold {k} \\ \ bold {k \ times j} =-\ bold {i} \\ \ bold {i \ times k} =-\ bold {j}
위의 정의를 사용하여 2 개의 3 차원 벡터의 외적에 대한 공식을 유도 할 수 있습니다.. 먼저 벡터 작성ㅏ과비다음과 같이 :
\ bold {a} = (a_x, a_y, a_z) = a_x \ bold {i} + a_y \ bold {j} + a_z \ bold {k} \\ \ bold {b} = (b_x, b_y, b_z) = b_x \ bold {i} + b_y \ bold {j} + b_z \ bold {k}
두 벡터를 곱하면 다음을 얻습니다.
\ bold {a \ times b} = (a_x \ bold {i} + a_y \ bold {j} + a_z \ bold {k}) \ times (b_x \ bold {i} + b_y \ bold {j} + b_z \ 굵게 {k}) \\ = a_xb_x \ bold {i \ times i} + a_xb_y \ bold {i \ times j} + a_xb_z \ bold {i \ times k} \\ + a_yb_x \ bold {j \ times i} + a_yb_y \ bold {j \ times j} + a_yb_z \ bold {j \ times k} \\ + a_zb_x \ bold {k \ x i} + a_zb_y \ bold {k \ times j} + a_zb_z \ bold {k \ times k}
그런 다음 위의 단위 벡터 관계를 사용하면 다음과 같이 단순화됩니다.
\ bold {a \ times b} = a_xb_y \ bold {i \ times j}-a_xb_z \ bold {k \ times i}-a_yb_x \ bold {i \ times j} + a_yb_z \ bold {j \ times k} + a_zb_x \ bold {k \ times i}-a_zb_y \ bold {j \ times k} \\ = (a_xb_y -a_yb_x) \ bold {i \ times j} + (a_zb_x-a_xb_z) \ bold {k \ times i} + (a_yb_z-a_zb_y) \ bold {j \ times k} \\ = (a_yb_z-a_zb_y) \ bold { i} + (a_zb_x-a_xb_z) \ bold {j} + (a_xb_y- a_yb_x) \ bold {k}
(외적이 0 인 항은 내적 (스칼라 곱이라고도 함)을 형성하는 항입니다!우연이 아닙니다.)
다시 말해:
\ bold {a \ times b} = \ bold {c} = (c_x, c_y, c_z) \ text {where} \\ c_x = a_yb_z-a_zb_y \\ c_y = a_zb_x-a_xb_z \\ c_z = a_xb_y-a_yb_x
외적의 크기는 피타고라스 정리를 사용하여 찾을 수 있습니다.
외적 공식은 다음 행렬의 결정 자로도 표현할 수 있습니다.
\ bold {a \ times b} = \ Bigg | \ begin {matrix} \ bold {i} & \ bold {j} & \ bold {k} \\ a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \ end {행렬} \ Bigg | \\ = \ Big | \ begin {matrix} a_y & a_z \\ b_y & b_z \ end {matrix} \ Big | \ bold {i}-\ Big | \ begin {matrix} a_x & a_z \\ b_x & b_z \ end {matrix} \ Big | \ bold {j} + \ Big | \ begin {matrix} a_x 및 a_y \\ b_x 및 b_y \ end {matrix} \ Big | \ bold {k}
\ text {어디에서 결정자가} \ Big | \ begin {matrix} a & b \\ c & d \ end {matrix} \ Big | = 광고-기원전
종종 매우 편리한 또 다른 외적 공식화는 다음과 같습니다 (유도에 대해서는이 기사의 끝 부분 참조).
\ bold {a × b} = | \ bold {a} | | \ bold {b} | \ sin (θ) \ bold {n}
어디:
- |ㅏ| 벡터의 크기 (길이)ㅏ
- |비| 벡터의 크기 (길이)비
- θ는 ㅏ과 비
- 엔다음으로 스팬되는 평면에 수직 인 단위 벡터입니다. ㅏ과비
수직 벡터와 오른손 법칙
외적에 대한 설명에서 외적의 방향은 벡터가 가로 지르는 평면에 수직이라고 명시되어 있습니다.ㅏ및 벡터비. 그러나 이것은 두 가지 가능성을 남깁니다.밖으로비행기 또는으로그 벡터가 가로 지르는 평면. 현실은 우리가 일관성이있는 한 실제로 둘 중 하나를 선택할 수 있다는 것입니다. 그러나 수학자와 과학자 모두가 선호하는 방향은오른손 법칙.
오른손 법칙을 사용하여 벡터 외적의 방향을 결정하려면 오른손의 집게 손가락을 벡터 방향으로 가리 킵니다.ㅏ가운데 손가락은 벡터 방향으로비. 그런 다음 엄지 손가락이 외적 벡터 방향을 가리 킵니다.
때때로 이러한 방향은 평평한 종이에 묘사하기 어렵 기 때문에 종종 다음과 같은 규칙이 적용됩니다.
페이지로 들어가는 벡터를 나타 내기 위해 X가있는 원을 그립니다 (뒤에서 볼 때 화살표 끝에있는 꼬리 깃털을 나타내는 것으로 생각하십시오). 페이지에서 반대 방향으로가는 벡터를 나타 내기 위해 점이있는 원을 그립니다 (페이지를 가리키는 화살표 끝으로 생각).
•••나
외적의 속성
다음은 벡터 외적의 몇 가지 속성입니다.
\ # \ text {1. } \ bold {a} \ text {및} \ bold {b} \ text {가 평행이면} \ bold {a \ times b} = 0
\ # \ 텍스트 {2. } \ bold {a \ times b} =-\ bold {b \ times a}
\ # \ text {3. } \ bold {a \ times (b + c)} = \ bold {a \ times b} + \ bold {a \ times c}
\ # \ text {4. } (c \ bold {a) \ times b} = c (\ bold {a \ times b})
\ # \ text {5. } \ bold {a \ cdot (b \ times c}) = \ bold {(a \ times b) \ cdot c}
\ text {어디} \ bold {a \ cdot (b \ times c}) = \ Bigg | \ begin {matrix} a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \ end {matrix } \ Bigg |
외적의 기하학적 해석
벡터 외적을 sin (θ)로 공식화 할 때 그 크기는 두 벡터에 걸쳐있는 평행 사변형 영역을 나타내는 것으로 해석 될 수 있습니다. 이것은a × b, |비| sin (θ) = 표시된대로 평행 사변형의 높이 및 |ㅏ| 베이스입니다.
•••다나 첸 | 과학
벡터 삼중 곱의 크기a (b × c) 차례로 벡터가 가로 지르는 평행 육면체의 부피로 해석 될 수 있습니다.ㅏ, 비과씨. 이 때문입니다(b × c) 크기가 벡터로 확장되는 영역 인 벡터를 제공합니다.비및 벡터씨, 방향이 해당 영역에 수직입니다. 벡터의 내적 취하기ㅏ이 결과로 기본적으로 기본 면적에 높이를 곱합니다.
예
예 1 :전하 입자에 가해지는 힘큐속도로 이동V자기장에서비다음과 같이 지정됩니다.
\ bold {F} = q \ bold {v \ times B}
전자가 0.005 T 자기장을 2 × 10 속도로 통과한다고 가정합니다.7 m / s. 필드를 수직으로 통과하면 느끼는 힘은 다음과 같습니다.
\ bold {F} = q \ bold {v \ times B} = qvB \ sin (\ theta) \ bold {n} = (-1.602 \ times 10 ^ {19}) (2 \ times 10 ^ 7) (0.005 ) \ sin (90) \ bold {n} = -1.602 \ times 10 ^ {-14} \ text {N} \ bold {n}
그러나 전자가 자기장과 평행하게 이동하면 θ = 0이고 sin (0) = 0이되어 힘이 0이됩니다.
전자가 자기장을 수직으로 통과하는 경우이 힘은 전자가 원형 경로로 이동하도록합니다. 이 원형 경로의 반경은 자력을 구심력과 동일하게 설정하고 반경을 구하여 구할 수 있습니다.아르 자형:
F_ {mag} = qvB \ sin (90) = qvB = \ frac {mv ^ 2} {r} = F_ {cent} \\ \ implies r = \ frac {mv} {qB}
위의 예에서 숫자를 연결하면 반경이 약 0.0227m가됩니다.
예 2 :물리량 토크도 벡터 외적을 사용하여 계산됩니다. 힘이에프위치에있는 개체에 적용아르 자형피벗 포인트에서 토크τ피벗 포인트에 대한 정보는 다음과 같습니다.
\ bold {\ tau} = \ bold {r \ times F}
다른 쪽 끝이 피벗에 부착 된 0.75 막대의 끝에 비스듬히 7N 힘이 적용되는 상황을 고려하십시오. 사이 각도아르 자형과에프70도이므로 토크를 계산할 수 있습니다.
\ bold {\ tau} = \ bold {r \ times F} = rF \ sin (\ theta) = (0.75) (7) \ sin (70) \ bold {n} = 4.93 \ text {Nm} \ bold { 엔}
토크의 방향,엔, 오른쪽 규칙을 통해 찾을 수 있습니다. 위의 이미지에 적용하면 페이지 또는 화면에서 나오는 방향을 제공합니다. 일반적으로 물체에 적용된 토크는 물체를 회전 시키려고합니다. 토크 벡터는 항상 회전 축과 같은 방향에 있습니다.
실제로이 상황에서는 단순화 된 오른손 규칙을 사용할 수 있습니다. 오른손을 사용하여 회전 축을 손가락이 관련 토크로 인해 물체가 회전하도록하는 방향으로 구부러지는 방식입니다. 그러면 엄지 손가락이 토크 벡터 방향을 가리 킵니다.
외적 공식의 유도
\ text {여기서는 외적 공식이 어떻게 나타나는지 보여줄 것입니다.} \ bold {a × b} = | \ bold {a} | | \ bold {b} | \ sin (θ) \ bold {n} \ text {도출 될 수 있습니다.}
두 벡터 고려ㅏ과비각도로θ그들 사이에. 벡터 끝에서 선을 그려 직각 삼각형을 만들 수 있습니다.ㅏ벡터의 수직 접촉점에비.
피타고라스 정리를 사용하여 다음과 같은 관계를 얻습니다.
\ Big | \ Big (\ frac {\ bold {a \ cdot b}} {| \ bold {b} | ^ 2} \ Big) \ bold {b} \ Big | ^ 2 + (| \ bold {a} | \ sin (\ theta)) ^ 2 = | \ bold {a} | ^ 2
\ text {위치} \ Big (\ frac {\ bold {a \ cdot b}} {| \ bold {b} | ^ 2} \ Big) \ bold {b} \ text {는 벡터의 투영입니다.} \ bold {a} \ text {벡터에} \ bold {b}.
표현식을 약간 단순화하면 다음과 같이 표시됩니다.
\ frac {| \ bold {a \ cdot b} | ^ 2} {| \ bold {b} | ^ 2} + | \ bold {a} | ^ 2 \ sin ^ 2 (\ theta) = | \ bold { a} | ^ 2
다음으로 방정식의 양변에 |비|2 첫 번째 용어를 오른쪽으로 이동하여 다음을 얻습니다.
| \ bold {a} | ^ 2 | \ bold {b} | ^ 2 \ sin ^ 2 (\ theta) = | \ bold {a} | ^ 2 | \ bold {b} | ^ 2-| \ bold { a \ cdot b} | ^ 2
오른쪽으로 작업하고 모든 것을 곱한 다음 단순화하십시오.
| \ bold {a} | ^ 2 | \ bold {b} | ^ 2-| \ bold {a \ cdot b} | ^ 2 = [(a_x) ^ 2 + (a_y) ^ 2 + (a_z) ^ 2 ] [(b_x) ^ 2 + (b_y) ^ 2 + (b_z) ^ 2] \\-(a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z) (a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z) \\ = (a_xb_y) ^ 2 + (a_xb_z) ^ 2 + (a_yb_x) ^ 2 + (a_yb_z) ^ 2 + (a_zb_x) ^ 2 + a_zb_y) ^ 2 \\-2a_xa_yb_xb_y-2a_xa_zb_xb_z-2a_ya_zb_yb_z \\ = (a_yb_x-a_xb_zb_x-a_xb_zb_z)-a_zb_y) ^ 2-a_zb_y) (a_xb_y-a_yb_x) ^ 2 \\ = | \ bold {a \ times b} | ^ 2
결과를 이전 방정식의 왼쪽과 동일하게 설정하면 다음과 같은 관계를 얻게됩니다.
| \ bold {a \ times b} | = | \ bold {a} || \ bold {b} || \ sin (\ theta) |
이것은 공식에서 크기가 동일하다는 것을 보여주기 때문에 공식을 증명하기 위해 마지막으로해야 할 일은 방향도 동일하다는 것을 보여주는 것입니다. 이것은 내적을 취함으로써 간단히 할 수 있습니다.ㅏ와a × b과비와a × b그리고 그것들이 0임을 보여주는 것은a × b 둘 다에 수직입니다.