수학에서 시퀀스는 증가 또는 감소하는 순서로 배열 된 일련의 숫자입니다. 수열은 이전 수에 공약수를 곱하여 각 수를 얻을 수있을 때 기하학적 수열이됩니다. 예를 들어, 시리즈 1, 2, 4, 8, 16... 공약수 2를 사용하는 기하학적 시퀀스입니다. 시리즈의 숫자에 2를 곱하면 다음 숫자를 얻을 수 있습니다. 대조적으로, 시퀀스 2, 3, 5, 8, 14, 22... 숫자 사이에 공통 요소가 없기 때문에 기하학적이지 않습니다. 기하학적 시퀀스는 분수 공약수를 가질 수 있으며, 이 경우 연속 된 각 숫자는 이전 숫자보다 작습니다. 1, 1/2, 1/4, 1/8... 예입니다. 공약수는 1/2입니다.
기하학적 시퀀스에 공통 요소가 있다는 사실을 통해 두 가지 작업을 수행 할 수 있습니다. 첫 번째는 시퀀스에서 임의의 요소를 계산하는 것입니다 (수학자가 "엔두 번째는 기하학적 시퀀스의 합을 찾는 것입니다.엔th 요소. 각 용어 쌍 사이에 더하기 기호를 넣어 시퀀스를 합산하면 시퀀스가 기하학적 시리즈로 바뀝니다.
기하학적 시리즈에서 n 번째 요소 찾기
일반적으로 다음과 같은 방법으로 기하학적 시리즈를 나타낼 수 있습니다.
a + ar + ar ^ 2 + ar ^ 3 + ar ^ 4 +.. .
어디 "ㅏ"는 시리즈의 첫 번째 용어이며"아르 자형"이 공통 요소입니다. 이를 확인하려면 다음과 같은 시리즈를 고려하십시오.ㅏ= 1 및아르 자형= 2. 1 + 2 + 4 + 8 + 16을 얻습니다... 효과가있다!
이를 확립 했으므로 이제 시퀀스의 n 번째 항에 대한 공식을 도출 할 수 있습니다 (엑스엔).
x_n = ar ^ {(n-1)}
지수는엔− 1보다는엔시퀀스의 첫 번째 용어가 다음과 같이 작성되도록 허용합니다.ar0, "ㅏ."
예제 시리즈의 4 번째 항을 계산하여이를 확인하십시오.
x_4 = (1) × 2 ^ 3 = 8
기하학적 시퀀스의 합 계산
공통 배급이 1보다 크거나 -1보다 작은 분기 시퀀스를 합산하려면 한정된 수의 항까지만 합산 할 수 있습니다. 그러나 무한 수렴 시퀀스의 합은 1과-1 사이의 공통 비율을 갖는 합을 계산할 수 있습니다.
기하 합계 공식을 개발하려면 먼저 수행중인 작업을 고려하십시오. 다음과 같은 일련의 추가 항목을 모두 찾고 있습니다.
a + ar + ar ^ 2 + ar ^ 3 +... + ar ^ {(n-1)}
시리즈의 각 용어는ar케이, 및케이0에서엔− 1. 시리즈의 합에 대한 공식은 대문자 시그마 기호 (∑)를 사용합니다. 이는 (케이= 0)에서 (케이 = 엔 − 1).
\ sum_k ^ {n-1} ar ^ k = a \ bigg (\ frac {1-r ^ n} {1-r} \ bigg)
이를 확인하려면 1에서 시작하고 공약수 2를 갖는 기하 급수의 처음 4 개 항의 합을 고려하십시오. 위 공식에서ㅏ = 1, 아르 자형= 2 및엔= 4. 이 값을 연결하면 다음을 얻을 수 있습니다.
1 \ bigg (\ frac {1-2 ^ 4} {1-2} \ bigg) = 15
시리즈에 숫자를 직접 추가하면 쉽게 확인할 수 있습니다. 실제로 기하학적 시리즈의 합이 필요한 경우 일반적으로 몇 개의 항만있을 때 직접 숫자를 추가하는 것이 더 쉽습니다. 그러나 시리즈에 항이 많으면 기하 합계 공식을 사용하는 것이 훨씬 쉽습니다.