당신이 적의 성벽을 무너 뜨리는 것을 목표로 대포를 조종하고 있다고 상상해보십시오. 그러면 군대가 돌진하여 승리를 주장 할 수 있습니다. 공이 대포를 떠났을 때 공이 얼마나 빨리 이동하는지, 벽이 얼마나 멀리 떨어져 있는지 알고 있다면, 벽에 성공적으로 맞기 위해 대포를 발사하려면 어떤 발사 각도가 필요합니까?
이것은 발사체 운동 문제의 예이며, 운동학의 일정한 가속 방정식과 몇 가지 기본 대수를 사용하여이 문제와 많은 유사한 문제를 해결할 수 있습니다.
발사체 운동물리학 자들은 문제의 물체가 경험하는 유일한 가속도가 중력으로 인한 지속적인 하향 가속 인 2 차원 운동을 설명하는 방법입니다.
지구 표면에서 일정한 가속도ㅏ와 동등하다지= 9.8m / s2, 발사체 운동을하는 물체가자유 낙하이것이 가속의 유일한 원천입니다. 대부분의 경우 포물선의 경로를 사용하므로 모션에는 수평 및 수직 구성 요소가 모두 있습니다. 실생활에서 (제한된) 효과를 가질 수 있지만 고맙게도 대부분의 고등학교 물리학 발사체 운동 문제는 공기 저항의 효과를 무시합니다.
다음 값을 사용하여 발사체 동작 문제를 해결할 수 있습니다.지발사체의 초기 속도 및 이동 방향과 같은 현재 상황에 대한 기타 기본 정보가 있습니다. 이러한 문제를 해결하는 방법을 배우는 것은 대부분의 물리학 입문 수업을 통과하는 데 필수적이며 이후 과정에서도 필요한 가장 중요한 개념과 기술을 소개합니다.
발사체 운동 방정식
발사체 운동에 대한 방정식은 운동학의 일정한 가속 방정식입니다. 중력 가속도가 고려해야 할 유일한 가속 원이기 때문입니다. 발사체 운동 문제를 해결하는 데 필요한 네 가지 주요 방정식은 다음과 같습니다.
v = v_0 + at \\ s = \ bigg (\ frac {v + v_0} {2} \ bigg) t \\ s = v_0t + \ frac {1} {2} at ^ 2 \\ v ^ 2 = v_0 ^ 2 + 2as
여기,V속도를 의미하고V0 초기 속도,ㅏ가속도 (아래쪽 가속과 동일)지모든 발사체 운동 문제에서),에스(초기 위치에서) 변위이며 항상 시간이 있습니다.티.
이 방정식은 기술적으로 한 차원에 대해서만 적용되며 실제로 벡터 수량 (속도 포함)으로 표현 될 수 있습니다.V, 초기 속도V0 등) 그러나 실제로는 이러한 버전을 별도로 사용할 수 있습니다.엑스-방향 및 한 번와이-방향 (3 차원 문제가있는 경우지-방향도).
기억하는 것이 중요합니다.일정한 가속에만 사용, 중력의 영향이 유일한 상황을 설명하는 데 적합합니다. 가속하지만 추가 힘이 필요한 많은 실제 상황에는 적합하지 않습니다. 깊이 생각한.
기본적인 상황에서는 이것이 물체의 움직임을 설명하는 데 필요한 전부이지만 필요한 경우 다른 발사체가 발사 된 높이와 같은 요소 또는 발사체의 가장 높은 지점에 대해 해결 통로.
발사체 운동 문제 해결
이제 4 가지 버전의 발사체 동작 공식을 살펴 보았습니다. 문제를 해결하면 발사체 동작을 해결하는 데 사용하는 전략에 대해 생각할 수 있습니다. 문제.
기본적인 접근 방식은 문제를 수평 운동과 수직 운동의 두 부분으로 나누는 것입니다. 이를 기술적으로 수평 구성 요소 및 수직 구성 요소라고하며 각각 해당하는 수평 속도, 수직 속도, 수평 변위, 수직 변위 및 곧.
이 접근 방식을 사용하면 운동학 방정식을 사용할 수 있습니다.티수평 및 수직 구성 요소 모두 동일하지만 초기 속도와 같은 것은 초기 수직 속도와 초기 수평 속도에 대해 다른 구성 요소를 갖습니다.
이해해야 할 중요한 것은 2 차원 모션의 경우어떤운동 각은 수평 구성 요소와 수직 구성 요소로 나눌 수 있지만 이렇게하면 문제의 방정식의 수평 버전이 하나 있고 수직 버전이 하나 있습니다. 버전.
공기 저항의 영향을 무시하면 수평 방향에는 전혀 문제가 없기 때문에 발사체 움직임 문제가 크게 단순화됩니다. 발사체 운동 (자유 낙하) 문제에서 가속도는 중력의 영향이 수직으로 만 작용하기 때문입니다 (즉, 지구).
즉, 수평 속도 구성 요소는 일정한 속도이며 중력이 발사체를지면 수준으로 떨어 뜨릴 때만 모션이 중지됩니다. 이것은 비행 시간을 결정하는 데 사용할 수 있습니다.와이-방향 운동이며 전적으로 수직 변위 (즉, 시간티수직 변위가 0이면 비행 시간을 알려줍니다.)
발사체 운동 문제의 삼각법
문제의 문제가 발사 각도와 초기 속도를 제공하는 경우 삼각법을 사용하여 수평 및 수직 속도 구성 요소를 찾아야합니다. 이 작업을 마치면 이전 섹션에서 설명한 방법을 사용하여 실제로 문제를 해결할 수 있습니다.
기본적으로 빗변이 시작 각도로 기울어 진 직각 삼각형을 만듭니다 (θ)와 속도의 크기를 길이로하고, 인접한 변은 속도의 수평 성분이고 반대편은 수직 속도입니다.
지시에 따라 직각 삼각형을 그리면 삼각 ID를 사용하여 수평 및 수직 구성 요소를 찾을 수 있습니다.
\ text {cos} \; θ = \ frac {\ text {adjacent}} {\ text {hypotenuse}}
\ text {죄} \; θ = \ frac {\ text {반대}} {\ text {빗변}}
그래서 이것들은 다시 배열 될 수 있습니다 (그리고 반대 =V와이 그리고 인접 =V엑스즉, 각각 수직 속도 성분과 수평 속도 성분, 빗변 =V0, 초기 속도) 제공 :
v_x = v_0 cos (θ) \\ v_y = v_0 sin (θ)
이것은 발사체 모션 문제를 해결하기 위해 수행해야하는 모든 삼각법입니다. 발사 각도를 방정식, 계산기의 사인 및 코사인 함수를 사용하고 결과에 초기 속도를 곱합니다. 발사체.
따라서 초기 속도가 20m / s이고 발사 각도가 60 도인이 작업의 예를 살펴 보겠습니다. 구성 요소는 다음과 같습니다.
\ begin {정렬} v_x & = 20 \; \ text {m / s} × \ cos (60) \\ & = 10 \; \ text {m / s} \\ v_y & = 20 \; \ text {m / s} × \ sin (60) \\ & = 17.32 \; \ text {m / s} \ end {aligned}
발사체 움직임 문제의 예: 폭발하는 불꽃
불꽃 놀이에 궤적의 가장 높은 지점에서 폭발하도록 설계된 퓨즈가 있고 수평으로 70도 각도로 60m / s의 초기 속도로 발사되는 불꽃 놀이를 상상해보십시오.
키를 어떻게 계산할까요h폭발합니까? 그리고 발사 후 폭발하는 시간은 언제입니까?
이것은 발사체의 최대 높이와 관련된 많은 문제 중 하나이며, 이를 해결하는 비결은 최대 높이에서와이-속도의 성분은 순간적으로 0m / s입니다. 이 값을 연결하여V와이 가장 적절한 운동학 방정식을 선택하면이 문제와 유사한 문제를 쉽게 해결할 수 있습니다.
먼저 운동학 방정식을 보면이 방정식이 튀어 나옵니다 (아래 첨자가 추가되어 수직 방향으로 작업하고 있음을 보여줌).
v_y ^ 2 = v_ {0y} ^ 2 + 2a_ys_y
이 방정식은 이미 가속도 (ㅏ와이 = -지), 초기 속도 및 발사 각도 (그러므로 수직 구성 요소를Vy0). 우리는 가치를 찾고 있기 때문에에스와이 (즉, 높이h) 언제V와이 = 0, 최종 수직 속도 구성 요소를 0으로 대체하고 다음에 대해 다시 정렬 할 수 있습니다.에스와이:
0 = v_ {0y} ^ 2 + 2a_ys_y
−2a_ys_y = v_ {0y} ^ 2
s_y = \ frac {−v_ {0y} ^ 2} {2a_y}
위쪽 방향을 부르는 것이 합리적이기 때문에와이, 그리고 중력에 의한 가속 때문에지아래쪽으로 향합니다 (즉,-와이방향), 우리는 변경할 수 있습니다ㅏ와이 -지. 마지막으로에스와이 높이h, 우리는 쓸 수있다:
h = \ frac {v_ {0y} ^ 2} {2g}
따라서 문제를 해결하기 위해 해결해야하는 유일한 것은 초기 속도의 수직 구성 요소이며, 이전 섹션의 삼각법 접근 방식을 사용하여 수행 할 수 있습니다. 따라서 질문의 정보 (수평 발사까지 60m / s 및 70도)를 사용하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다.
\ begin {aligned} v_ {0y} & = 60 \; \ text {m / s} × \ sin (70) \\ & = 56.38 \; \ text {m / s} \ end {aligned}
이제 최대 높이를 구할 수 있습니다.
\ begin {aligned} h & = \ frac {v_ {0y} ^ 2} {2g} \\ & = \ frac {(56.38 \; \ text {m / s}) ^ 2} {2 × 9.8 \; \ text {m / s} ^ 2} \\ & = 162.19 \ text {m} \ end {aligned}
따라서 불꽃 놀이는 지상에서 약 162m 떨어진 곳에서 폭발합니다.
계속 예: 비행 시간 및 이동 거리
순전히 수직 운동을 기반으로 발사체 운동 문제의 기본을 해결 한 후 나머지 문제를 쉽게 해결할 수 있습니다. 우선, 발사 후 퓨즈가 폭발하는 시간은 다른 일정한 가속 방정식 중 하나를 사용하여 찾을 수 있습니다. 옵션을 살펴보면 다음 표현식이 있습니다.
s_y = \ bigg (\ frac {v_y + v_ {0y}} {2} \ bigg) t \\
시간이있다티, 당신이 알고 싶은 것입니다; 비행의 최대 지점에 대해 알고있는 변위; 초기 수직 속도; 그리고 최대 높이 (우리가 알고있는 0)에서의 속도. 따라서이를 기반으로 방정식을 다시 정렬하여 비행 시간에 대한 표현식을 제공 할 수 있습니다.
s_y = \ bigg (\ frac {v_ {0y}} {2} \ bigg) t \\ t = \ frac {2s_y} {v_ {0y}}
따라서 값을 삽입하고티제공합니다 :
\ begin {정렬} t & = \ frac {2 × 162.19 \; \ text {m}} {56.38 \; \ text {m / s}} \\ & = 5.75 \; \ text {s} \ end {aligned}
따라서 불꽃은 발사 후 5.75 초에 폭발합니다.
마지막으로 다음과 같은 첫 번째 방정식 (수평 방향)을 기반으로 이동 한 수평 거리를 쉽게 결정할 수 있습니다.
v_x = v_ {0x} + a_xt
그러나 가속이 없다는 점에 유의하십시오.엑스-방향, 이것은 간단히 :
v_x = v_ {0x}
의미하는 속도는엑스불꽃 놀이 여정 내내 방향은 동일합니다. 을 고려하면V = 디/티, 어디디이동 한 거리입니다. 쉽게 알 수 있습니다.디 = vt,이 경우 (에스엑스 = 디):
s_x = v_ {0x} t
그래서 당신은 대체 할 수 있습니다V0x 이전의 삼각 식을 사용하여 값을 입력하고 다음을 해결하십시오.
\ begin {aligned} s_x & = v_0 \ cos (θ) t \\ & = 60 \; \ text {m / s} × \ cos (70) × 5.75 \; \ text {s} \\ & = 118 \; \ text {m} \ end {정렬}
따라서 폭발 전 약 118m를 이동합니다.
추가 발사체 움직임 문제: 더드 불꽃 놀이
추가 문제를 해결하려면 이전 예의 불꽃 놀이를 상상해보십시오 (초기 속도 60m / s 발사 수평으로 70도에서) 포물선의 정점에서 폭발하지 않고 대신 지상에 착륙 미 폭발. 이 경우 총 비행 시간을 계산할 수 있습니까? 발사 지점에서 수평 방향으로 얼마나 멀리 떨어질까요?범위발사체의?
이 문제는 기본적으로 동일한 방식으로 작동합니다. 여기서 속도와 변위의 수직 구성 요소는 비행 시간을 결정하기 위해 고려해야 할 주요 사항과이를 통해 범위. 솔루션을 자세히 살펴 보는 대신 이전 예제를 기반으로 직접 해결할 수 있습니다.
발사체의 범위에 대한 공식이 있습니다.이 공식은 등속 가속 방정식에서 찾아 보거나 도출 할 수 있지만 그렇지 않습니다. 발사체의 최대 높이를 이미 알고 있기 때문에 정말 필요했습니다.이 시점부터는 중량.
즉, 불꽃 놀이가 땅으로 떨어지는 데 걸리는 시간을 결정한 다음이를 최대 높이까지 비행 시간에 추가하여 총 비행 시간을 결정할 수 있습니다. 그때부터는 비행 시간과 함께 수평 방향으로 일정한 속도를 사용하여 범위를 결정하는 것과 동일한 과정입니다.
비행 시간이 11.5 초이고 범위가 236m임을 보여줍니다. 지면에 닿는 지점에서 속도의 수직 성분을 중간으로 계산 단계.