როგორ მოვძებნოთ დერივატები

ერთ – ერთი მნიშვნელოვანი ოპერაცია, რასაც თქვენ აკეთებთ ანგარიშში, არის წარმოებულების პოვნა. ფუნქციის წარმოებულს ამ ფუნქციის შეცვლის სიჩქარესაც უწოდებენ. მაგალითად, თუ x (t) არის მანქანის პოზიცია t ნებისმიერ დროს t, მაშინ x წარმოებული, რომელიც იწერება dx / dt, არის მანქანის სიჩქარე. ასევე, წარმოებული შეიძლება ვიზუალიზდეს, როგორც წრფივი წრფე, რომელიც არის ფუნქციის გრაფიკზე. თეორიულ დონეზე ასე პოულობენ მათემატიკოსები წარმოებულებს. პრაქტიკაში მათემატიკოსები იყენებენ ძირითადი წესების და საძიებო ცხრილების სიმრავლეებს.

ხაზის დახრილობა ორ წერტილს შორის არის აწევა, ან განსხვავება y მნიშვნელობებში გაყოფილი პერსპექტივაში, ან განსხვავება x მნიშვნელობებში. Y (x) ფუნქციის დახრილობა x გარკვეული მნიშვნელობისთვის განისაზღვრება წრფის დახრილად, რომელიც [x, y (x)] წერტილის ფუნქციასთან შეხებია. ფერდობის გამოსათვლელად თქვენ აშენებთ ხაზს წერტილს შორის [x, y (x)] და ახლომდებარე წერტილს შორის [x + h, y (x + h)], სადაც h არის ძალიან მცირე რიცხვი. ამ სტრიქონისთვის პერსპექტივა ან x მნიშვნელობის ცვლილება არის h, ხოლო y მნიშვნელობის ზრდა ან ცვლილება არის y (x + h) - y (x). შესაბამისად, y (x) - ის დახრა [x, y (x)] წერტილში დაახლოებით უდრის [y (x + h) - y (x)] / [(x + h) - x] = [y ( x + h) - y (x)] / სთ. ფერდობის ზუსტად მისაღებად, თქვენ გაანგარიშებთ დახრის მნიშვნელობას, რადგან h უფრო და უფრო მცირე ხდება, "ლიმიტზე", სადაც ის ნულამდე მიდის. ამ გზით გამოთვლილი ფერდობზე არის y (x) წარმოებული, რომელიც იწერება y ’(x) ან dy / dx სახით.

თქვენ შეგიძლიათ გამოიყენოთ დახრილობის / ლიმიტის მეთოდი, რომ გამოთვალოთ ფუნქციების დერივატები, სადაც y უდრის x –ს სიმძლავრეს, ან y (x) = x ^ a– ს. მაგალითად, თუ y ტოლია x კუბურად, y (x) = x ^ 3, მაშინ dy / dx არის ლიმიტი, რადგან h მიდის ნულოვანი [(x + h) ^ 3 - x ^ 3] / სთ. (X + h) ^ 3-ის გაფართოება იძლევა [x ^ 3 + 3x ^ 2h + 3xh ^ 2 + h ^ 3 - x ^ 3] / სთ-ს, რაც შემცირდება 3x ^ 2 + 3xh ^ 2 + h ^ 2-ზე გაყოფის შემდეგ თ. ლიმიტში, როდესაც h მიდის ნულზე, ყველა ტერმინი, რომლებსაც აქვთ h, ნულზეც მიდიან. ასე რომ, y ’(x) = dy / dx = 3x ^ 2. ამის გაკეთება შეგიძლიათ 3-ის გარდა სხვა მნიშვნელობებისთვის და ზოგადად, შეგიძლიათ აჩვენოთ, რომ d / dx (x ^ a) = (a - 1) x ^ (a-1).

მრავალი ფუნქციის დაწერა შეიძლება როგორც სიმძლავრეების სერია, სადაც მოცემულია უსასრულო რიცხვის ტერმინების ჯამი თითოეული არის C (n) x ^ n ფორმის, სადაც x არის ცვლადი, n არის მთელი რიცხვი და C (n) არის კონკრეტული რიცხვი თითოეული მნიშვნელობისთვის ნ მაგალითად, სინუსის ფუნქციის სიმძლავრეა Sin (x) = x - x ^ 3/6 + x ^ 5/120 - x ^ 7/5040 +..., სადაც ”...” ნიშნავს ტერმინების გაგრძელებას უსასრულობამდე. თუ იცით ფუნქციის სიმძლავრის სერია, შეგიძლიათ გამოიყენოთ x ^ n სიმძლავრის წარმოებული, რომ გამოთვალოთ ფუნქციის წარმოებული. მაგალითად, Sin (x) - ის წარმოებული უდრის 1 - x ^ 2/2 + x ^ 4/24 - x ^ 6/720 +..., რაც Cos (x) - ის სიმძლავრის სერიაა.

ძირითადი ფუნქციების წარმოებულები, როგორიცაა ისეთი სიმძლავრეები, როგორიცაა x ^ a, ექსპონენციალური ფუნქციები, ლოგის ფუნქციები და ტრიგ ფუნქციები, ნაპოვნია დახრილობის / ლიმიტის მეთოდის, ენერგიის სერიის მეთოდის ან სხვა მეთოდების გამოყენებით. ეს წარმოებულები შემდეგ ჩამოთვლილია ცხრილებში. მაგალითად, შეგიძლიათ გაითვალისწინოთ, რომ Sin (x) - ის წარმოებული არის Cos (x). როდესაც რთული ფუნქციები წარმოადგენს ძირითადი ფუნქციების კომბინაციას, თქვენ გჭირდებათ სპეციალური წესები, როგორიცაა ჯაჭვის წესი და პროდუქტის წესი, რომლებიც ასევე მოცემულია ცხრილებში. მაგალითად, თქვენ იყენებთ ჯაჭვის წესს იმის დასადგენად, რომ Sin (x ^ 2) წარმოებული არის 2xCos (x ^ 2). თქვენ იყენებთ პროდუქტის წესს იმის გასაგებად, რომ xSin (x) - ის წარმოებული არის xCos (x) + Sin (x). ცხრილებისა და მარტივი წესების გამოყენებით შეგიძლიათ იპოვოთ ნებისმიერი ფუნქციის წარმოებული. მაგრამ როდესაც ფუნქცია უკიდურესად რთულია, ზოგჯერ მეცნიერები დახმარებისთვის კომპიუტერულ პროგრამებს მიმართავენ.