რა არის ნამდვილი რიცხვები?

რეალური რიცხვები არის ყველა რიცხვი რიცხვის ხაზზე, რომლებიც ნეგატიური უსასრულობიდან ნულიდან პოზიტიურ უსასრულობამდე ვრცელდება. რეალური რიცხვების სიმრავლის ეს კონსტრუქცია არაა თვითნებური, არამედ დათვლისთვის გამოყენებული ბუნებრივი რიცხვების ევოლუციის შედეგი. ნატურალური რიცხვების სისტემას აქვს რამდენიმე შეუსაბამობა და რაც გამოთვლები უფრო რთულდებოდა, რიცხვითი სისტემა გაფართოვდა და შეეზღუდა თავისი შეზღუდვები. რეალური რიცხვებით, გამოთვლები იძლევა თანმიმდევრულ შედეგებს და არსებობს რამდენიმე გამონაკლისი ან შეზღუდვა, რომლებიც რიცხვითი სისტემის უფრო პრიმიტიულ ვერსიებში იყო.

TL; DR (ძალიან გრძელია; არ წავიკითხე)

რეალური რიცხვების სიმრავლე შედგება რიცხვითი წრფის ყველა რიცხვისგან. ეს მოიცავს ბუნებრივ რიცხვებს, მთლიან რიცხვებს, მთელ რიცხვებს, რაციონალურ რიცხვებს და ირაციონალურ რიცხვებს. იგი არ შეიცავს წარმოსახვით რიცხვებს ან რთულ რიცხვებს.

დახურვა არის რიცხვის სიმრავლის თვისება, რაც ნიშნავს, რომ თუ დაშვებულია გამოთვლები, რომლებიც შესრულებულია სიმრავლის წევრ რიცხვებზე, პასუხები იქნება ასევე რიცხვები, რომლებიც სიმრავლის წევრები არიან. ამბობენ, რომ კომპლექტი დახურულია.

ნატურალური რიცხვები არის თვლადი რიცხვები, 1, 2, 3... და ბუნებრივი რიცხვების სიმრავლე არ არის დახურული. ვინაიდან ნატურალურ რიცხვებს იყენებდნენ კომერციაში, მაშინვე გაჩნდა ორი პრობლემა. მიუხედავად იმისა, რომ ნატურალური რიცხვები ითვლიდა უძრავ ნივთებს, მაგალითად ძროხებს, თუ გლეხს ხუთი ძროხა ჰყავდა და ხუთი ძროხა ყიდიდა, შედეგისთვის ბუნებრივი რიცხვი არ არსებობდა. ადრეულმა რიცხვითმა სისტემებმა ძალიან სწრაფად შეიმუშავეს ნულის ტონი ამ პრობლემის მოსაგვარებლად. შედეგი იყო მთლიანი რიცხვების სისტემა, რაც არის ბუნებრივი რიცხვები პლუს ნულოვანი.

მეორე პრობლემა ასევე ასოცირდებოდა გამოკლებასთან. სანამ ციფრები ითვლიან უძრავ ნივთებს, მაგალითად ძროხებს, ფერმერს არ შეეძლო უფრო მეტი ძროხის გაყიდვა, ვიდრე ჰქონდა. მაგრამ როდესაც რიცხვები აბსტრაქტული გახდა, უფრო მცირე რიცხვების გამოკლება უფრო მცირეებს აძლევდა პასუხებს მთელი რიცხვების სისტემის გარეთ. შედეგად დაინერგა მთელი რიცხვები, რომლებიც მთლიანი რიცხვებია და ნეგატიური ბუნებრივი რიცხვები. რიცხვითი სისტემა ახლა მოიცავდა მთელ რიცხვთა სტრიქონს, მაგრამ მხოლოდ მთელი რიცხვებით.

დახურულ რიცხვთა სისტემაში გაანგარიშებებმა უნდა გასცეს პასუხები რიცხვითი სისტემისთვის ისეთი ოპერაციები, როგორიცაა შეკრება და გამრავლება, მაგრამ აგრეთვე მათი უკუპროპერაციო ოპერაციების, გამოკლების და დაყოფა. მთელი რიცხვების სისტემა დახურულია შეკრების, გამოკლებისა და გამრავლებისთვის, მაგრამ არა გაყოფისთვის. თუ მთელი რიცხვი იყოფა სხვა მთელი რიცხვით, შედეგი ყოველთვის არ არის მთელი რიცხვი.

პატარა მთელი რიცხვის უფროსის დაყოფა იძლევა წილადს. რიცხვითი სისტემას დაემატა ასეთი წილადები, როგორც რაციონალური რიცხვები. რაციონალური რიცხვები განისაზღვრება, როგორც ნებისმიერი რიცხვი, რომელიც შეიძლება გამოიხატოს, როგორც ორი მთელი რიცხვის თანაფარდობა. ნებისმიერი თვითნებური ათობითი რიცხვი შეიძლება გამოიხატოს როგორც რაციონალური რიცხვი. მაგალითად 2.864 არის 2864/1000 და 0.89632 არის 89632 / 100,000. რიცხვითი ხაზი ახლა უკვე სრულყოფილი ჩანდა.

რიცხვების წრფეზე არის რიცხვები, რომელთა გამოხატვა შეუძლებელია მთელი რიცხვების ნაწილად. ერთია მართკუთხა სამკუთხედის გვერდების შეფარდება ჰიპოტენუზასთან. თუ მართკუთხა სამკუთხედის ორი მხარეა 1 და 1, ჰიპოტენუზა არის 2 – ის კვადრატული ფესვი. ორის კვადრატული ფესვი არის უსასრულო ათობითი, რომელიც არ მეორდება. ასეთ რიცხვებს ირაციონალური ეწოდება და მათში შედის ყველა რეალური რიცხვი, რომლებიც არ არის რაციონალური. ამ განსაზღვრებით, ყველა რეალური რიცხვის რიცხვითი ხაზი დასრულებულია, რადგან ნებისმიერი სხვა რეალური რიცხვი, რომელიც არ არის რაციონალური, შედის ირაციონალური განმარტებისას.

მიუხედავად იმისა, რომ ამბობენ, რომ რეალური რიცხვის ხაზი უარყოფითიდან პოზიტიურ უსასრულობამდე ვრცელდება, თავად უსასრულობა არ არის a რეალური რიცხვი, არამედ რიცხვითი სისტემის კონცეფცია, რომელიც განსაზღვრავს მას, როგორც რომელიმე სხვაზე დიდ რაოდენობას ნომერი მათემატიკურად უსასრულობა არის პასუხი 1 / x -ზე, რადგან x ნულს აღწევს, მაგრამ ნულზე გაყოფა არ არის განსაზღვრული. თუ უსასრულობა რიცხვი იქნებოდა, ეს გამოიწვევს წინააღმდეგობებს, რადგან უსასრულობა არ იცავს არითმეტიკის კანონებს. მაგალითად, უსასრულობა პლუს 1 კვლავ უსასრულობაა.

რეალური რიცხვების სიმრავლე დახურულია შეკრების, გამოკლების, გამრავლებისა და გაყოფისთვის, გარდა ნულის გაყოფისა, რომელიც არ არის განსაზღვრული. ნაკრები არ არის დახურული მინიმუმ ერთი სხვა ოპერაციისთვის.

რეალური რიცხვების სიმრავლეში გამრავლების წესებში მითითებულია, რომ უარყოფითი და ა – ის გამრავლება დადებითი რიცხვი იძლევა უარყოფით რიცხვს, ხოლო დადებითი ან უარყოფითი რიცხვების გამრავლება იძლევა დადებითს პასუხები ეს ნიშნავს, რომ რიცხვის გამრავლების განსაკუთრებული შემთხვევა თავისთავად იძლევა პოზიტიურ რიცხვს როგორც დადებითი, ასევე უარყოფითი რიცხვებისთვის. ამ განსაკუთრებული შემთხვევის უკუპროსი არის დადებითი რიცხვის კვადრატული ფესვი, რომელიც იძლევა დადებით და უარყოფით პასუხებს. უარყოფითი რიცხვის კვადრატული ფესვისთვის რეალური რიცხვების სიმრავლეში პასუხი არ არის.

წარმოსახვითი რიცხვების სიმრავლის კონცეფცია რეალურ რიცხვებში უარყოფითი კვადრატული ფესვების საკითხს ეხება. მინუს 1-ის კვადრატული ფესვი განისაზღვრება, როგორც i და ყველა წარმოსახვითი რიცხვი არის i- ის ჯერადი. რიცხვების თეორიის დასასრულებლად, კომპლექსური რიცხვების სიმრავლე განისაზღვრება, როგორც ყველა რეალური და ყველა წარმოსახვითი რიცხვი. ნამდვილი რიცხვების ხილვა შეიძლება გაგრძელდეს ჰორიზონტალურ რიცხვთა ხაზზე, ხოლო წარმოსახვითი რიცხვები ვერტიკალური რიცხვითი ხაზია, რომელთაგან ორი იკვეთება ნულზე. რთული რიცხვები არის ორი რიცხვითი წრფის სიბრტყის წერტილები, რომელთაგან თითოეული რეალური და წარმოსახვითი კომპონენტია.