შროდინგერის განტოლება ყველაზე ფუნდამენტური განტოლებაა კვანტური მექანიკის შემადგენლობაში და მისი დამხმარე ფიზიკის შესწავლა აუცილებელია. განტოლებას ეწოდა ერვინ შრედინგერის სახელი, რომელმაც ნობელის პრემია მოიპოვა პოლ დირაკთან ერთად 1933 წელს კვანტურ ფიზიკაში შეტანილი წვლილისთვის.
შროდინგერის განტოლება აღწერს კვანტური მექანიკური სისტემის ტალღურ ფუნქციას, რომელიც იძლევა ალბათური ინფორმაცია ნაწილაკის ადგილმდებარეობისა და სხვა დაკვირვებადი სიდიდეების შესახებ, როგორიცაა მისი იმპულსი ყველაზე მნიშვნელოვანი, რასაც კვანტური მექანიკის შესახებ გააცნობიერებთ განტოლების გაცნობის შემდეგ, არის ის, რომ კვანტურ სფეროში კანონებიაძალიან განსხვავებულიკლასიკური მექანიკისგან.
ტალღის ფუნქცია
ტალღის ფუნქცია კვანტური მექანიკის ერთ-ერთი ყველაზე მნიშვნელოვანი ცნებაა, რადგან ყველა ნაწილაკი წარმოდგენილია ტალღის ფუნქციით. ეს ჩვეულებრივ მოცემულია ბერძნული ასო psi (Ψ), და ეს დამოკიდებულია პოზიციაზე და დროზე. როდესაც თქვენ გამოხატავთ ნაწილაკის ტალღის ფუნქციას, ის გიჩვენებთ ყველაფერს, რისი ცოდნაც შეიძლება ფიზიკური სისტემა და დაკვირვებადი სიდიდეების განსხვავებული მნიშვნელობების მიღება შესაძლებელია ოპერატორის გამოყენებით ის
ტალღის ფუნქციის მოდულის კვადრატი გიჩვენებთ ნაწილაკის პოვნის ალბათობასxმოცემულ დროსტ. ეს მხოლოდ იმ შემთხვევაში ხდება, თუ ფუნქცია "ნორმალიზებულია", რაც ნიშნავს, რომ კვადრატული მოდულის ჯამი ყველა შესაძლო ადგილას უნდა იყოს 1, ანუ ნაწილაკიგარკვეულიგანთავსდებასადღაც.
გაითვალისწინეთ, რომ ტალღის ფუნქცია მხოლოდ ალბათურ ინფორმაციას გვაწვდის და, ასე რომ თქვენ ვერ განსაზღვრავთ რომელიმე დაკვირვების შედეგსშეიძლებაგანსაზღვრეთ საშუალო მრავალი გაზომვის დროს.
შეგიძლიათ გამოთვალოთ ტალღის ფუნქცია"მოლოდინის ღირებულება"დროში ნაწილაკის პოზიციისთვისტ, მოლოდინის მნიშვნელობა არის საშუალო მნიშვნელობაxმიიღებდით, თუ გაზომვას ბევრჯერ გაიმეორებდით.
კიდევ ერთხელ, ეს არაფერს გეუბნება კონკრეტული გაზომვის შესახებ. სინამდვილეში, ტალღის ფუნქცია უფრო მეტი ალბათობის განაწილებაა ერთი ნაწილაკისთვის, ვიდრე რაიმე კონკრეტული და საიმედო. შესაბამისი ოპერატორის გამოყენებით, ასევე შეგიძლიათ მოლოდინის მნიშვნელობები მიიღოთ იმპულსის, ენერგიის და სხვა დაკვირვებადი სიდიდეებისთვის.
შროდინგერის განტოლება
შროდინგერის განტოლება არის წრფივი ნაწილობრივი დიფერენციალური განტოლება, რომელიც აღწერს ე კვანტური მდგომარეობა ისევე, როგორც ნიუტონის კანონები (განსაკუთრებით მეორე კანონი) კლასიკურში მექანიკა.
ამასთან, შროდინგერის განტოლება არის ტალღის განტოლება განსახილველი ნაწილაკის ტალღური ფუნქციისთვის და ამიტომ განტოლების გამოყენება მომავალი მდგომარეობის პროგნოზირებისთვის სისტემას ზოგჯერ "ტალღის მექანიკას" უწოდებენ. განტოლება თავისთავად გამომდინარეობს ენერგიის დაზოგვით და აგებულია ოპერატორის გარშემო, რომელსაც ეწოდება ჰამილტონიანი.
შროდინგერის განტოლების მარტივი ფორმა ჩასაწერად არის:
H Ψ = iℏ \ frac {\ partialΨ} {\ ნაწილობრივი t}
სადაც ℏ არის შემცირებული პლანკის მუდმივა (ანუ მუდმივი იყოფა 2π-ზე) დაჰარის ჰამილტონის ოპერატორი, რომელიც შეესაბამება კვანტური სისტემის პოტენციური ენერგიისა და კინეტიკური ენერგიის ჯამს (მთლიანი ენერგია). ჰამილტონიანი საკმაოდ გრძელი გამოთქმაა თავისთავად, თუმცა სრული განტოლება შეიძლება დაიწეროს შემდეგნაირად:
- \ frac {ℏ ^ 2} {2m} \ frac {\ ნაწილობრივი ^ 2 Ψ} {\ ნაწილობრივი x ^ 2} + V (x) Ψ == iℏ \ frac {\ partialΨ} {\ ნაწილობრივი t}
აღნიშნავენ, რომ ზოგჯერ (აშკარად სამგანზომილებიანი პრობლემებისათვის), პირველი ნაწილობრივი წარმოებული იწერება ლაპლასის ოპერატორი2. არსებითად, ჰამილტონიანი მოქმედებს ტალღის ფუნქციაზე, რათა აღწეროს მისი ევოლუცია სივრცეში და დროში. მაგრამ განტოლების დროში დამოუკიდებელ ვერსიაში (ანუ როდესაც სისტემა არ არის დამოკიდებულიტ), ჰამილტონიანი იძლევა სისტემის ენერგიას.
შროდინგერის განტოლების ამოხსნა ნიშნავსკვანტური მექანიკური ტალღის ფუნქციარომელიც მას აკმაყოფილებს კონკრეტული სიტუაციისთვის.
დროში დამოკიდებული შროდინგერის განტოლება
დროზე დამოკიდებული შროდინგერის განტოლება არის წინა განყოფილების ვერსია და იგი აღწერს ტალღის ფუნქციის ევოლუციას ნაწილაკისთვის დროსა და სივრცეში. გასათვალისწინებელი მარტივი შემთხვევა თავისუფალი ნაწილაკია, რადგან პოტენციური ენერგიავ= 0, ხოლო ამონახსნი სიბრტყის ტალღის სახეს იღებს. ამ გადაწყვეტილებებს აქვთ ფორმა:
Ψ = Ae ^ {kx −ωt}
სადკ = 2π / λ, λარის ტალღის სიგრძე დაω = ე / ℏ.
სხვა სიტუაციებისთვის, ორიგინალური განტოლების პოტენციური ენერგეტიკული ნაწილი აღწერს საზღვრის პირობებს ტალღის ფუნქციის სივრცული ნაწილი და ის ხშირად იყოფა დროის ევოლუციის ფუნქციად და დროისგან დამოუკიდებლად განტოლება.
დროთაგან დამოუკიდებელი შროდინგერის განტოლება
სტატიკური სიტუაციებისთვის ან ამოხსნებისთვის, რომლებიც ქმნიან მდგარ ტალღებს (მაგალითად, პოტენციური ჭა, ”ნაწილაკი კოლოფში” სტილის გადაწყვეტილებები), თქვენ შეგიძლიათ გამოყოთ ტალღის ფუნქცია დროის და სივრცის ნაწილებად:
Ψ (x, t) = Ψ (x) f (t)
როდესაც ამას სრულად გაივლით, დროის მონაკვეთი შეიძლება გაუქმდეს, რჩება შროდინგერის განტოლების ფორმა, რომელიცმხოლოდდამოკიდებულია ნაწილაკის პოზიციაზე. დროის დამოუკიდებელი ტალღის ფუნქცია მოცემულია შემდეგზე:
H Ψ (x) = E Ψ (x)
Აქეარის კვანტური მექანიკური სისტემის ენერგია დაჰარის ჰამილტონის ოპერატორი. განტოლების ეს ფორმა თავისებური მნიშვნელობის განტოლების ზუსტ ფორმას იღებს, ტალღის ფუნქციით არის თავისებური ფუნქცია, ხოლო ენერგია არის საკუთარი მნიშვნელობა, როდესაც ჰამილტონის ოპერატორი გამოიყენება მას. ჰამილტონიანის უფრო მკაფიო ფორმით გაფართოება, ის შეიძლება სრულად დაიწეროს შემდეგნაირად:
- \ frac {ℏ ^ 2} {2m} \ frac {\ ნაწილობრივი ^ 2 Ψ} {\ ნაწილობრივი x ^ 2} + V (x) Ψ = E Ψ (x)
განტოლების დროის ნაწილი შეიცავს ფუნქციას:
f (t) = e ^ {\ frac {iEt} {ℏ}}
დროებითი დამოუკიდებელი შროდინგერის განტოლების ამოხსნები
დროთაგან დამოუკიდებელი შროდინგერის განტოლება საკმაოდ მარტივია გადაწყვეტილებების მისაღწევად, რადგან იგი ამცირებს განტოლების სრულ ფორმას. ამის შესანიშნავი მაგალითია ხსნარების ჯგუფი "ნაწილაკი კოლოფში", სადაც ნაწილაკი ითვლება უსასრულო კვადრატულ პოტენციალში ერთ განზომილებაში, ასე რომ, ნულოვანი პოტენციალიავ= 0) მთელ მანძილზე და არ არსებობს შუშის ნაწილაკი ჭის გარეთ.
ასევე არსებობს სასრული კვადრატული ჭა, სადაც ჭაბურღილის "კედლებთან" პოტენციალი არ არის უსასრულო და მაშინაც კი, თუ ეს უფრო მაღალია, ვიდრე ნაწილაკის ენერგია,ზოგიერთიკვანტური გვირაბის გამო ნაწილაკის აღმოჩენა მის გარეთ. უსასრულო პოტენციალისთვის, გადაწყვეტილებები მიიღებს ფორმას:
Ψ (x) = \ sqrt {\ frac {2} {L}} \ sin \ bigg (\ frac {nπ} {L} x \ bigg)
სადლჭის სიგრძეა.
დელტა ფუნქციური პოტენციალი ძალიან ჰგავს პოტენციურ ჭაბურღილს, გარდა სიგანისალნულისკენ მიდის (ე.ი. უსასრულოა ერთი წერტილის გარშემო) და ჭის სიღრმე მიდის უსასრულობამდე, ხოლო ორივეს პროდუქტი (უ0) მუდმივი რჩება. ამ იდეალიზებულ სიტუაციაში მხოლოდ ერთი სახელმწიფოა, რომელსაც იძლევა:
Ψ (x) = \ frac {\ sqrt {mU_0}} {ℏ} e ^ {- \ frac {mU_0} {ℏ ^ 2} \ vert x \ vert}
ენერგიით:
E = - \ frac {mU_0 ^ 2} {2ℏ ^ 2}
წყალბადის ატომის გადაწყვეტა შროდინგერის განტოლებას
დაბოლოს, წყალბადის ატომის ხსნარს აშკარა გამოყენება აქვს რეალური ფიზიკისთვის, მაგრამ პრაქტიკაში სიტუაციაა ელექტრონი წყალბადის ატომის ბირთვის გარშემო შეიძლება ჩაითვალოს პოტენციური ჭის მსგავსი მსგავსი პრობლემები ამასთან, სიტუაცია არის სამგანზომილებიანი და საუკეთესოდ არის აღწერილი სფერულ კოორდინატებშირ, θ, ϕ. ამ შემთხვევაში გამოსავალს იძლევა:
Ψ (x) = NR_ {n, l} (r) P ^ m_ {l} (\ cos θ) e ^ {imϕ}
სადპარის ლეგენდერის პოლინომები,რსპეციფიკური რადიალური გადაწყვეტილებებია დანარის მუდმივი, რომელსაც აფიქსირებთ იმ ფაქტის გამოყენებით, რომ ტალღის ფუნქცია უნდა იყოს ნორმალიზებული. განტოლება იძლევა ენერგიის დონეს, მოცემულია შემდეგით:
E = - \ frac {\ mu Z ^ 2e ^ 4} {8ϵ_0h ^ 2n ^ 2}
სადზაქ არის ატომური რიცხვი (ასე რომზ= 1 წყალბადის ატომისთვის),ეამ შემთხვევაში ელექტრონის მუხტია (ვიდრე მუდმივისა)ე = 2.7182818...), ϵ0 არის თავისუფალი სივრცის ნებადართულობა დაμარის შემცირებული მასა, რომელიც ემყარება წყალბადის ატომის პროტონისა და ელექტრონის მასებს. ეს გამოთქმა კარგია წყალბადის მსგავსი ატომისთვის, რაც ნიშნავს ნებისმიერ სიტუაციას (იონების ჩათვლით), როდესაც ცენტრში ბირთვის გარშემო ერთი ელექტრონია.