ფუნქციების ინტეგრირება გამოთვლის ერთ-ერთი ძირითადი პროგრამაა. ზოგჯერ ეს მარტივია, როგორც შემდეგში:
F (x) = \ int (x ^ 3 + 8) dx
ამ ტიპის შედარებით რთულ მაგალითში შეგიძლიათ გამოიყენოთ განუსაზღვრელი ინტეგრალების ინტეგრირების ძირითადი ფორმულის ვერსია:
\ int (x ^ n + A) dx = \ frac {x ^ {(n + 1)}} {n + 1} + Ax + C
სადადაგმუდმივებია.
ამ მაგალითისთვის,
\ int x ^ 3 + 8 = \ frac {x ^ 4} {4} + 8x + C
ძირითადი კვადრატული ფესვის ფუნქციების ინტეგრაცია
ზედაპირზე, კვადრატული ფესვის ფუნქციის ინტეგრირება უხერხულია. მაგალითად, შეიძლება მოგეფეროთ:
F (x) = \ int \ sqrt {(x ^ 3) + 2x - 7} dx
მაგრამ თქვენ შეგიძლიათ გამოხატოთ კვადრატული ფესვი, როგორც ექსპონენტი, 1/2:
\ sqrt {x ^ 3} = x ^ {3 (1/2)} = x ^ {(3/2)}
ამიტომ განუყოფელი ხდება:
\ int (x ^ {3/2} + 2x - 7) dx
რომელსაც შეგიძლიათ ზემოდან გამოიყენოთ ჩვეულებრივი ფორმულა:
\ დაწყება {გასწორება} \ int (x ^ {3/2} + 2x - 7) dx & = \ frac {x ^ {(5/2)}} {5/2} + 2 \ bigg (\ frac {x ^ 2} {2} \ bigg) - 7x \\ & = \ frac {2} {5} x ^ {(5/2)} + x ^ 2 - 7x \ ბოლო {გასწორებული}
უფრო რთული კვადრატული ფესვის ფუნქციების ინტეგრაცია
ზოგჯერ შეიძლება რადიკალურ ნიშანზე ერთზე მეტი ვადა გქონდეთ, როგორც ამ მაგალითში:
F (x) = \ int \ frac {x + 1} {\ sqrt {x - 3}} dx
Შეგიძლია გამოიყენოშენ- ჩანაცვლების გაგრძელება. აქ, თქვენ მითითებულიშენმნიშვნელის ტოლია მნიშვნელში:
u = \ sqrt {x - 3}
ამის მოგვარებაxორივე მხარის კვადრატით და გამოკლებით:
u ^ 2 = x - 3 \\ x = u ^ 2 + 3
ეს საშუალებას გაძლევთ მიიღოთ dxშენწარმოებული პროდუქტის მიღებითx:
dx = (2u) du
ჩანაცვლება ორიგინალ ინტეგრალში
\ დაწყება {გასწორება} F (x) & = \ int \ frac {u ^ 2 + 3 + 1} {u} (2u) du \\ & = \ int \ frac {2u ^ 3 + 6u + 2u} {u } du \\ & = \ int (2u ^ 2 + 8) du \ end {გასწორებული}
ახლა ამის ინტეგრირება შეგიძლიათ ძირითადი ფორმულისა და გამოხატვის გამოყენებითშენთვალსაზრისითx:
\ დაწყება {გასწორება} \ int (2u ^ 2 + 8) du & = \ frac {2} {3} u ^ 3 + 8u + C \\ & = \ frac {2} {3} (\ sqrt {x - 3}) ^ 3 + 8 (\ sqrt {x - 3}) + C \\ & = \ frac {2} {3} (x - 3) ^ {(3/2)} + 8 (x - 3) ^ {(1/2)} + C \ ბოლო {გასწორებული}