ტრიგონომეტრია შეიძლება თავს აბსტრაქტულად გრძნობდეს. Arcane ტერმინები, როგორიცაა "ცოდვა" და "კოს", სინამდვილეში, როგორც ჩანს, არ შეესაბამება რაიმეს და ძნელია გაითვალისწინო ისინი, როგორც ცნებები. ერთეულის წრე მნიშვნელოვნად ეხმარება ამაში, გვთავაზობს მარტივ ახსნას იმის შესახებ, თუ რა რიცხვებს მიიღებთ კუთხის სინუსუსის, კოსინუსის ან ტანგენტის მიღებისას. მეცნიერების ან მათემატიკის ნებისმიერი სტუდენტისთვის, ერთეულის წრის გაგება ნამდვილად აძლიერებს ტრიგონომეტრიის გაგებას და ფუნქციების გამოყენებას.
TL; DR (ძალიან გრძელია; არ წავიკითხე)
ერთეულის წრეს აქვს ერთი რადიუსი. წარმოიდგინეთ ანxyკოორდინატების სისტემა, რომელიც იწყება ამ წრის ცენტრში. წერტილის კუთხეები იზომება საიდანx= 1 დაy= 0, წრის მარჯვენა მხარეს. კუთხეები იზრდება საათის ისრის საწინააღმდეგოდ.
ამ ჩარჩოს გამოყენება დაyსთვისy-კოორდინაცია დაxსთვისx- წერტილის კოორდინაცია წრეზე:
ცოდვაθ = y
კოსθ = x
და შესაბამისად:
რუჯიθ = y / x
რა არის ერთეულის წრე?
"ერთეულის" წრეს აქვს 1 რადიუსი. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, წრის ცენტრიდან მანძილის ნებისმიერ ნაწილამდე მანძილი ყოველთვის არის 1. გაზომვის ერთეულს ნამდვილად არ აქვს მნიშვნელობა, რადგან ერთეულის წრეში ყველაზე მნიშვნელოვანი ის არის, რომ ის ბევრად უფრო მარტივს გახდის მრავალ განტოლებას და გამოთვლას.
იგი ასევე გამოდგება სასარგებლო საფუძვლად კუთხეების განსაზღვრებების შესასწავლად. წარმოიდგინეთ, რომ წრის ცენტრი ზის კოორდინატთა სისტემის ცენტრში ანx-აქსი ჰორიზონტალურად გადის და აy-აქსი ვერტიკალურად გადის. წრე კვეთსx-აქსი აქx = 1, y= 0. მეცნიერები და მათემატიკოსები განსაზღვრავენ კუთხეს ამ წერტილიდან საათის საწინააღმდეგო მიმართულებით მოძრავი. ასე რომ, წერტილიx =1, y= 0 წრეზე არის 0 ° -ის კუთხე.
ცოდვისა და კოსმოსის განმარტებები ერთეულის წრით
ცოდვის, კოსმოსისა და რუჯის ჩვეულებრივი განმარტებები, რომლებიც სტუდენტებს აქვთ, სამკუთხედებს ეხება. ისინი აცხადებენ:
\ sin θ = \ frac {\ ტექსტი {საპირისპირო}} {\ ტექსტი {ჰიპოტენუზა}} \\ \, \\ \ cos θ = \ frac {\ ტექსტი {მიმდებარე}} {\ ტექსტი {ჰიპოტენუზა}} \\ \, \\ \ tan θ = \ frac {\ sin θ} {\ cos θ}
"საპირისპირო" ეხება სამკუთხედის გვერდის სიგრძეს კუთხის საპირისპიროდ, "მიმდებარე" ეხება გვერდის სიგრძე კუთხის გვერდით და "ჰიპოტენუზა" გულისხმობს დიაგონალური გვერდის სიგრძეს სამკუთხედი.
წარმოიდგინეთ შექმნა სამკუთხედი ისე, რომ ჰიპოტენუზა ყოველთვის იყოს ერთეულის წრის რადიუსი, ერთი კუთხე წრის კიდეზე და ერთი მის ცენტრში. ეს ნიშნავს, რომ ჰიპოტენუზა = 1 ზემოთ მოცემულ განტოლებებში, ასე რომ პირველი ორი ხდება:
\ sin θ = \ frac {\ ტექსტი {მოპირდაპირე}} {1} = \ ტექსტი {მოპირდაპირე} \\ \, \\ \ cos θ = \ frac {\ ტექსტი {მიმდებარე}} {1} = \ ტექსტი {მიმდებარე} \\
თუ მოცემულ კუთხეს ქმნით წრის ცენტრში, პირიქით მხოლოდ ის არისy-კოორდინაცია და მიმდებარე მხოლოდx- წერტილის კოორდინაცია წრეზე, რომელიც ეხება სამკუთხედს. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ცოდვა უბრუნებს მასy-კოორდინაცია ერთეულის წრეზე (კოორდინატების გამოყენებით, რომლებიც იწყება ცენტრში) მოცემული კუთხისთვის და cos უბრუნებსx-კოორდინაცია. ამიტომ cos (0) = 1 და sin (0) = 0, რადგან ამ ეტაპზე ეს კოორდინატებია. ანალოგიურად, cos (90) = 0 და sin (90) = 1, რადგან ეს არის წერტილიx= 0 დაy= 1. განტოლების ფორმით:
\ sin θ = y \\ \ cos θ = x
ნეგატიური კუთხეების გაგებაც ადვილია ამის საფუძველზე. ნეგატიური კუთხეები (საწყისი წერტილიდან საათის ისრის მიმართულებით იზომება) იგივე აქვთxკოორდინაცია, როგორც შესაბამისი დადებითი კუთხე, ასე რომ:
\ cos -θ = \ cos θ
ამასთან,y-კოორდინირებული კონცენტრატორები, რაც ნიშნავს რომ
\ sin -θ = - \ sin θ
ტანის განმარტება ერთეული წრით
ზემოთ მოცემული რუჯის განმარტებაა:
\ tan θ = \ frac {\ sin θ} {\ cos θ}
ცოდვისა და სამყაროს ერთეული წრის განმარტებებით, თქვენ ხედავთ, რომ ეს ექვივალენტურია:
\ tan θ = \ frac {\ text {საპირისპირო}} {\ ტექსტი {მიმდებარე}}
ან, კოორდინატების თვალსაზრისით:
\ თან θ = \ frac {y} {x}
ამით აიხსნება, თუ რატომ არ არის განსაზღვრული რუჯი 90 ° ან 70270 ° და 270 ° ან −90 ° (სად.)x= 0), რადგან ნულზე ვერ გაყოფთ.
ტრიგონომეტრიული ფუნქციების გრაფიკა
ცოდვის ან კოსმოსის დიაგრამა უფრო ადვილი ხდება, როდესაც ერთეულის წრეზე ფიქრობ.x-კოორდინატი შეუფერხებლად იცვლება წრის გარშემო მოძრაობისას, იწყება 1-დან და მცირდება მინიმუმ −1-მდე 180 ° -ზე, შემდეგ კი იზრდება იმავე გზით. ცოდვის ფუნქცია ერთსა და იმავეს აკეთებს, მაგრამ ის იზრდება 1 – ის მაქსიმალურ მნიშვნელობამდე ჯერ 90 ° –ზე, იგივე შაბლონის მიღებამდე. ამბობენ, რომ ორი ფუნქცია 90 ° -ით არ არის ერთმანეთთან "ფაზაში".
გარუჯვის გრაფიკა მოითხოვს დაყოფასyავტორიx, და ასე უფრო რთულია გრაფიკისთვის, და ასევე აქვს წერტილები, სადაც ის განუსაზღვრელია.