მათემატიკის ძირითადი მოქმედებების შესახებ თქვენი გაგება უდევს საფუძველს მთლიანი საგნის გაგებაში. თუ თქვენ ასწავლით ახალგაზრდა სტუდენტებს ან უბრალოდ ისწავლით ელემენტარულ მათემატიკას, საფუძვლების შეცვლა ძალიან სასარგებლო იქნება. გაანგარიშების უმეტესობა თქვენ გარკვეულწილად გამრავლებას გულისხმობს და "განმეორებითი დამატების" განმარტება ნამდვილად ხელს უწყობს იმას, თუ რას ნიშნავს თქვენს თავში გამრავლება. თქვენ ასევე შეგიძლიათ იფიქროთ პროცესზე სფეროების თვალსაზრისით. თანასწორობის გამრავლების თვისება ასევე წარმოადგენს ალგებრის მთავარ ნაწილს, ასე რომ შეიძლება სასარგებლო იყოს მაღალ დონეზე გადასვლაც. გამრავლება უბრალოდ აღწერს იმის გამოთვლას, თუ რამდენს მიაღწევთ თქვენთან, კონკრეტული რაოდენობის "ჯგუფების" მითითებული ოდენობით. როდესაც ამბობთ 5 × 3, თქვენ ამბობთ: „რა თანხაა ჯამში მოცემული ხუთი ჯგუფის შემადგენლობაში?”
TL; DR (ძალიან გრძელია; არ წავიკითხე)
გამრავლება აღწერს თავის თავში ერთი რიცხვის განმეორებით დამატების პროცესს. თუ თქვენ გაქვთ 5 × 3, ეს არის კიდევ ერთი გზა, რომ თქვათ ”ხუთი ჯგუფი სამზე”, ან ექვივალენტურად, ”სამი ჯგუფი ხუთიდან”. ეს ნიშნავს:
5 × 3 = 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 5 + 5 + 5 = 15
თანასწორობის გამრავლების თვისება აცხადებს, რომ განტოლების ორივე გვერდის გამრავლება იმავე რიცხვზე წარმოებს სხვა მოქმედი განტოლება.
გამრავლება როგორც განმეორებითი დამატება
გამრავლება ფუნდამენტურად აღწერს განმეორებითი დამატების პროცესს. ერთი რიცხვი შეიძლება ჩაითვალოს "ჯგუფის" ზომად, ხოლო მეორე გეუბნება რამდენი ჯგუფია. თუ სამი სტუდენტის ხუთი ჯგუფია, მაშინ შეგიძიათ იპოვოთ სტუდენტების საერთო რაოდენობა:
\ text {მთლიანი რიცხვი} = 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 15
ნეტავ ასე შემუშავებულიყო, თუ სტუდენტებს ხელით დაითვლიდი. გამრავლება მხოლოდ სტენოგრამის გზაა ამ პროცესის წერისთვის:
Ისე:
\ text {მთლიანი რიცხვი} = 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 5 × 3 = 15
მესამე კლასის ან დაწყებითი სკოლის მოსწავლეებს კონცეფციის განმარტების მასწავლებლებს შეუძლიათ გამოიყენონ ეს მიდგომა კონცეფციის მნიშვნელობის გამყარებაში. რა თქმა უნდა, არ აქვს მნიშვნელობა რომელ რიცხვს დაარქმევთ "ჯგუფის ზომას" და რომელს "ჯგუფების რაოდენობას", რადგან შედეგი იგივეა. Მაგალითად:
5 × 7 = 7 + 7 + 7 + 7 + 7 = 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 35
გამრავლება და ფორმების არეები
ფორმების არეების განმარტებების ცენტრშია გამრავლება. მართკუთხედს აქვს ერთი უფრო მოკლე მხარე და ერთი გრძელი მხარე, ხოლო მისი ფართობი არის საერთო ფართობი, რომელსაც იგი იკავებს. მას აქვს სიგრძის ერთეულები2, მაგალითად, ინჩი2, სანტიმეტრი2, მეტრი2 ან ფეხით2. არ აქვს მნიშვნელობა რა არის ერთეული, პროცესი იგივეა. ფართობის 1 ერთეული აღწერს პატარა კვადრატს, რომლის სიგრძეა 1 ერთეული.
მართკუთხედისთვის მოკლე მხარე გარკვეულ ადგილს იკავებს, ვთქვათ 10 სანტიმეტრი. ეს 10 სანტიმეტრი მეორდება და მეორდება მართკუთხედის გრძელი მხარის ქვემოთ გადაადგილებისას. თუ გრძელი მხარე 20 სანტიმეტრია, ფართობია:
\ დაწყება {გასწორება} \ ტექსტი {არეალი} & = \ ტექსტი {სიგანე} \ ტექსტი {სიგრძე} \\ & = 10 \ ტექსტი {სმ} 20 \ ტექსტი {სმ} = 200 \ ტექსტი {სმ} ^ 2 \ დასრულება {გასწორება}
კვადრატისთვის იგივე გაანგარიშება მუშაობს, გარდა სიგანისა და სიგრძისა ნამდვილად იგივე რიცხვია. გვერდის სიგრძის თავისზე გამრავლება ("კვადრატი") გეძლევათ ფართობი.
სხვა ფორმებისთვის ყველაფერი ცოტა უფრო რთულდება, მაგრამ ისინი ყოველთვის გარკვეულწილად მოიცავს ამ და იმავე მთავარ კონცეფციას.
ტოლობის და განტოლების გამრავლების თვისება
თანასწორობის გამრავლების თვისება აცხადებს, რომ თუ განტოლების ორივე მხარეს გამრავლდებით ერთი და იგივე სიდიდეზე, მაშინ განტოლება კვლავ მოქმედებს. ეს ნიშნავს, თუ:
ა = ბ
შემდეგ
ac = ძვ
ეს შეიძლება გამოყენებულ იქნას ალგებრის პრობლემების გადასაჭრელად. განვიხილოთ განტოლება:
\ frac {x} {c} = \ frac {12} {c}
ამის მოგვარება შეუძლებელი იქნებაxპირდაპირ იმიტომ რომ არ იციგან, მაგრამ თანასწორობის გამრავლების თვისების გამოყენებით, ორივე მხარის გამრავლება შეგიძლიათგდა დაწერე:
\ frac {xc} {c} = \ frac {12c} {c}
Ისე
x = 12
განტოლებების განლაგება ანალოგიურად მუშაობს. წარმოიდგინეთ, რომ გაქვთ განტოლება:
\ frac {x} {bc} = დ
მაგრამ მინდა გამოთქმაxმარტო ორივე მხარის გამრავლებაძვასრულებს ამას:
\ frac {xbc} {bc} = dbc \\ x = dbc
ასევე შეგიძლიათ გამოიყენოთ პრობლემების გადასაჭრელად, სადაც ერთი რაოდენობის ამოღება გჭირდებათ:
\ frac {x} {3} = 9
გავამრავლოთ ორივე მხარე სამზე, რომ მიიღოთ:
\ frac {3x} {3} = 9 × 3 \\ x = 27