წარმოიდგინეთ, რომ ჭავლს ემსახურებით და მიზნად ისახავთ მტრის ციხის კედლების დანგრევას, ასე რომ თქვენს არმიას შეუძლია შემოტევა და გამარჯვების მოთხოვნა. თუ იცით, რა სიჩქარით მოძრაობს ბურთი ჭავლის დატოვებისას და იცით, თუ რამდენად შორს არის კედლები, რა გაშვების რა კუთხით გჭირდებათ ცეცხლსასროლი იარაღის გასროლა, რომ წარმატებით მოხვდეთ კედლებზე?
ეს არის ჭურვის მოძრაობის პრობლემის მაგალითი და ამ და მრავალი მსგავსი პრობლემის მოგვარება შეგიძლიათ კინემატიკის მუდმივი აჩქარების განტოლებებისა და ზოგიერთი ძირითადი ალგებრის გამოყენებით.
პროექტიული მოძრაობაასე აღწერენ ფიზიკოსები ორგანზომილებიან მოძრაობას, როდესაც ერთადერთი აჩქარება, რომელსაც განიცდის საკითხი, არის მუდმივი დაღმავალი აჩქარება სიმძიმის გამო.
დედამიწის ზედაპირზე, მუდმივი აჩქარებაატოლიაგ= 9,8 მ / წმ2, და ობიექტი, რომელსაც ექვემდებარება ჭურვის მოძრაობა, არისთავისუფალი ვარდნაამასთან ერთად, როგორც აჩქარების ერთადერთი წყარო. უმეტეს შემთხვევაში, იგი პარაბოლას გზას დაადგება, ამიტომ მოძრაობას ექნება ჰორიზონტალური და ვერტიკალური კომპონენტი. მიუხედავად იმისა, რომ ამას რეალურ ცხოვრებაში (შეზღუდული) ეფექტი ექნებოდა, საბედნიეროდ, საშუალო სკოლის ფიზიკის ჭურვების მოძრაობის პრობლემები უგულებელყოფს ჰაერის წინააღმდეგობის ეფექტს.
ჭურვის მოძრაობის პრობლემების მოგვარება შეგიძლიათ მნიშვნელობის გამოყენებითგდა სხვა ძირითადი ინფორმაცია შექმნილი ვითარების შესახებ, როგორიცაა ჭურვის საწყისი სიჩქარე და მიმართულება, სადაც ის მოძრაობს. ამ პრობლემების გადაჭრის სწავლა აუცილებელია გაცნობითი ხასიათის ფიზიკის გაკვეთილების უმეტესობის გასავლელად და ის წარმოგიდგენთ ყველაზე მნიშვნელოვან კონცეფციებსა და ტექნიკას, რომელიც დაგჭირდებათ შემდეგ კურსებზეც.
Projectile მოძრაობის განტოლებები
ჭურვის მოძრაობის განტოლებები არის მუდმივი აჩქარების განტოლებები კინემატიკადან, რადგან სიმძიმის აჩქარება ერთადერთი აჩქარების წყაროა, რომელიც უნდა გაითვალისწინოთ. ოთხი მთავარი განტოლება, რომელიც დაგჭირდებათ ჭურვის მოძრაობის ნებისმიერი პრობლემის გადასაჭრელად, არის:
v = v_0 + at \\ s = \ bigg (\ frac {v + v_0} {2} \ bigg) t \\ s = v_0t + \ frac {1} {2} at ^ 2 \\ v ^ 2 = v_0 ^ 2 + 2as
Აქ,ვდგას სიჩქარეზე,ვ0 არის საწყისი სიჩქარე,აარის აჩქარება (რაც უდრის დაღმავალი დაჩქარებასგჭურვების მოძრაობის ყველა პრობლემაში),სარის გადაადგილება (საწყისი პოზიციიდან) და როგორც ყოველთვის გაქვთ დრო,ტ.
ეს განტოლებები ტექნიკურად მხოლოდ ერთი განზომილებისთვისაა განკუთვნილი და ისინი ნამდვილად შეიძლება იყოს წარმოდგენილი ვექტორული სიდიდეებით (სიჩქარის ჩათვლით)ვ, საწყისი სიჩქარევ0 და ა.შ.), მაგრამ პრაქტიკაში შეგიძლიათ უბრალოდ გამოიყენოთ ეს ვერსიები ცალკე, ერთხელxმიმართულება და ერთხელyმიმართულება (და თუ ოდესმე გქონიათ სამგანზომილებიანი პრობლემა,ზ-მიმართულებაც).
მნიშვნელოვანია გვახსოვდეს, რომ ესენი არიანგამოიყენება მხოლოდ მუდმივი აჩქარებისთვის, რაც მათ იდეალურს ხდის იმ სიტუაციების აღსაწერად, სადაც სიმძიმის გავლენა ერთადერთია აჩქარება, მაგრამ შეუფერებელია მრავალი რეალურ სიტუაციაში, სადაც საჭიროა დამატებითი ძალების არსებობა განიხილება.
ძირითადი სიტუაციებისთვის, ეს მხოლოდ ისაა, რაც ობიექტის მოძრაობის აღსაწერად დაგჭირდებათ, მაგრამ საჭიროების შემთხვევაში შეგიძლიათ სხვაც შეიტანოთ ფაქტორები, როგორიცაა სიმაღლე, საიდანაც ჭურვი იქნა გაშვებული ან თუნდაც მათი გადაჭრა ჭურვის უმაღლესი წერტილისთვის გზა
ჭურვის მოძრაობის პრობლემების გადაჭრა
ახლა, როდესაც თქვენ ნახეთ ჭურვის მოძრაობის ფორმულის ოთხი ვერსია, რომელთა გამოყენებაც დაგჭირდებათ პრობლემების გადაჭრა, შეგიძლიათ დაიწყოთ ფიქრი სტრატეგიის შესახებ, რომელსაც იყენებთ ჭურვის მოძრაობის გადასაჭრელად პრობლემა
ძირითადი მიდგომაა პრობლემის დაყოფა ორ ნაწილად: ერთი ჰორიზონტალური მოძრაობისთვის და ერთი ვერტიკალური მოძრაობისთვის. ამას ტექნიკურად ჰორიზონტალური კომპონენტი და ვერტიკალური კომპონენტი ეწოდება და თითოეულს აქვს შესაბამისი კომპლექტი სიდიდეები, როგორიცაა ჰორიზონტალური სიჩქარე, ვერტიკალური სიჩქარე, ჰორიზონტალური გადაადგილება, ვერტიკალური გადაადგილება და ასე შემდეგ
ამ მიდგომით შეგიძლიათ გამოიყენოთ კინემატიკის განტოლებები, რომ აღნიშნოთ დროტიგივეა როგორც ჰორიზონტალური, ასევე ვერტიკალური კომპონენტებისთვის, მაგრამ პირველადი სიჩქარის მსგავსი რამ ექნება სხვადასხვა კომპონენტს საწყისი ვერტიკალური სიჩქარისა და საწყისი ჰორიზონტალური სიჩქარისთვის.
მთავარია გავიგოთ, რომ ორგანზომილებიანი მოძრაობისთვის,ნებისმიერიმოძრაობის კუთხე შეიძლება დაიყოს ჰორიზონტალურ და ვერტიკალურ კომპონენტებად, მაგრამ როდის ამის გაკეთება იქნება მოცემული განტოლების ერთი ჰორიზონტალური ვერსია და ერთი ვერტიკალური ვერსია
ჰაერის წინააღმდეგობის ეფექტის უგულებელყოფა მასიურად ამარტივებს ჭურვის მოძრაობის პრობლემებს, რადგან ჰორიზონტალური მიმართულება არასდროს აქვს აჩქარება ჭურვის მოძრაობაში (თავისუფალი ვარდნა) პრობლემაში, რადგან მიზიდულობის გავლენა მხოლოდ ვერტიკალურად მოქმედებს (ე.ი. ზედაპირის მიმართ Დედამიწა).
ეს ნიშნავს, რომ ჰორიზონტალური სიჩქარის კომპონენტი მხოლოდ მუდმივი სიჩქარეა და მოძრაობა მხოლოდ მაშინ ჩერდება, როდესაც სიმძიმემ ჭურვი ჩამოაქვს მიწის დონეზე. ეს შეიძლება გამოყენებულ იქნას ფრენის დროის დასადგენად, რადგან ის მთლიანად დამოკიდებულიაyმიმართულების მოძრაობა და მისი შემუშავება შესაძლებელია მთლიანად ვერტიკალური გადაადგილების საფუძველზე (ანუ დროზე დაყრდნობით)ტროდესაც ვერტიკალური გადაადგილება ნულის ტოლია ფრენის დროს).
ტრიგონომეტრია ჭურვის მოძრაობის პრობლემებში
თუ მოცემული პრობლემა გაძლევთ გაშვების კუთხეს და საწყის სიჩქარეს, თქვენ უნდა გამოიყენოთ ტრიგონომეტრია ჰორიზონტალური და ვერტიკალური სიჩქარის კომპონენტების მოსაძებნად. ამის გაკეთების შემდეგ, პრობლემის რეალურად გადასაჭრელად შეგიძლიათ გამოიყენოთ წინა ნაწილში აღწერილი მეთოდები.
არსებითად, თქვენ ქმნით მართკუთხა სამკუთხედს გაშვების კუთხესთან დახრილი ჰიპოტენუზით (θ) და სიჩქარის სიდიდე, როგორც სიგრძე, შემდეგ კი მომიჯნავე მხარეა სიჩქარის ჰორიზონტალური კომპონენტი და მოპირდაპირე მხარე ვერტიკალური სიჩქარეა.
დახაზეთ მართკუთხა სამკუთხედი, როგორც მითითებულია, და ნახავთ, რომ ჰორიზონტალური და ვერტიკალური კომპონენტები იპოვნეთ ტრიგონომეტრიული იდენტურობის გამოყენებით:
\ text {cos} \; θ = \ frac {\ text {მიმდებარე}} {\ text {ჰიპოტენუზა}}
\ ტექსტი {ცოდვა} \; θ = \ frac {\ ტექსტი {მოპირდაპირე}} {\ ტექსტი {ჰიპოტენუზა}}
ასე რომ, ეს შეიძლება ხელახლა იყოს მოწყობილი (და საპირისპირო = -ით)ვy და მიმდებარე =ვx, ანუ ვერტიკალური სიჩქარის კომპონენტი და ჰორიზონტალური სიჩქარის კომპონენტები შესაბამისად და ჰიპოტენუზა =ვ0საწყისი სიჩქარე) მისცეს:
v_x = v_0 cos (θ) \\ v_y = v_0 ცოდვა (θ)
ეს არის ყველა ის ტრიგონომეტრია, რისი გაკეთებაც გჭირდებათ, ჭურვის მოძრაობის პრობლემების გადასაჭრელად: გაშვების კუთხის ჩართვა განტოლება, სინუსის და კოსინუსის ფუნქციების გამოყენება თქვენს კალკულატორზე და შედეგის გამრავლება საწყისი სიჩქარეზე ჭურვი.
ამის გაკეთების მაგალითზე გასვლა, საწყისი სიჩქარე 20 მ / წმ და გაშვების კუთხე 60 გრადუსით, კომპონენტებია:
\ დაწყება {გასწორება} v_x & = 20 \; \ ტექსტი {მ / წ} \ კოს (60) \\ & = 10 \; \ ტექსტი {მ / წ} \\ v_y & = 20 \; \ ტექსტი {მ / s} × \ sin (60) \\ & = 17.32 \; \ ტექსტი {მ / წ} \ ბოლო {გასწორებული}
ჭურვის მოძრაობის პრობლემის მაგალითი: აფეთქებული ფეიერვერკი
წარმოიდგინეთ, რომ ფეიერვერკს დაუკრავს დაუკრავენ ისე, რომ იგი აფეთქდება მისი ტრაექტორიის ყველაზე მაღალ წერტილზე და იგი იწყებს საწყისი სიჩქარით 60 მ / წმ ჰორიზონტალურ ნაწილთან 70 გრადუსიანი კუთხით.
როგორ შეიმუშავებთ რა სიმაღლეზეთის აფეთქდა? და რა დრო უნდა იყოს გაშვებიდან, როდესაც ის აფეთქდება?
ეს არის მრავალი პრობლემა, რომელიც მოიცავს ჭურვის მაქსიმალურ სიმაღლეს და მათი გადაჭრის ხრიკია ის, რომ მაქსიმალურ სიმაღლეზეy-სიჩქარის კომპონენტი არის 0 მ / წმ მყისიერად. ამ მნიშვნელობის ჩართვითვy და კინემატიკური განტოლებებიდან ყველაზე შესაფერისი რომ აირჩიოთ, ამ და ნებისმიერ სხვა პრობლემას მარტივად გაუმკლავდებით.
პირველ რიგში, კინემატიკური განტოლებების დათვალიერებისას, ეს გადადის (ხელმოწერებით დაემატა, რომ ვერტიკალური მიმართულებით ვმუშაობთ):
v_y ^ 2 = v_ {0y} ^ 2 + 2a_ys_y
ეს განტოლება იდეალურია, რადგან თქვენ უკვე იცით აჩქარება (აy = -გ), საწყისი სიჩქარე და გაშვების კუთხე (ასე რომ თქვენ ვერტიკალური კომპონენტის შემუშავება შეგიძლიათვy0). მას შემდეგ, რაც ჩვენ ვეძებთ ღირებულებასსy (ანუ, სიმაღლეთ) როდესაცვy = 0, ჩვენ შეგვიძლია ჩავანაცვლოთ ნული საბოლოო ვერტიკალური სიჩქარის კომპონენტთან და მოვაწყოთ ხელახლასy:
0 = v_ {0y} ^ 2 + 2a_ys_y
2a_ys_y = v_ {0y} ^ 2
s_y = \ frac {−v_ {0y} ^ 2} {2a_y}
ვინაიდან აზრი აქვს ზემოთ მიმართულებისკენ მოწოდებასy, და მას შემდეგ, რაც აჩქარება სიმძიმის გამოგმიმართულია ქვევით (ანუ,yმიმართულება), ჩვენ შეგვიძლია შევცვალოთაy ამისთვის -გ. დაბოლოს, დარეკვასy სიმაღლეთ, შეგვიძლია დავწეროთ:
h = \ frac {v_ {0y} ^ 2} {2g}
ასე რომ, ერთადერთი, რაც უნდა შეიმუშაოთ პრობლემის გადასაჭრელად, არის საწყისი სიჩქარის ვერტიკალური კომპონენტი, რომლის გაკეთება შეგიძლიათ წინა სექციიდან ტრიგონომეტრიული მიდგომის გამოყენებით. ამ კითხვაზე მოცემული ინფორმაციის მიხედვით (60 მ / წმ და 70 გრადუსი ჰორიზონტალური გაშვებამდე), ეს იძლევა:
\ დაწყება {გასწორება} v_ {0y} & = 60 \; \ ტექსტი {მ / წ} × \ ცოდვა (70) \\ & = 56,38 \; \ ტექსტი {მ / წ} \ დასრულება {გასწორება}
ახლა თქვენ შეგიძლიათ გადაწყვიტოთ მაქსიმალური სიმაღლისთვის:
\ დასაწყისი {გასწორებული} h & = \ frac {v_ {0y} ^ 2} {2g} \\ & = \ frac {(56.38 \; \ ტექსტი {მ / წ}) ^ 2} {2 × 9.8 \; \ ტექსტი {მ / წ} ^ 2} \\ & = 162.19 \ ტექსტი {მ} \ ბოლო {გასწორებული}
ასე რომ, ფეიერვერკი აფეთქდება მიწიდან დაახლოებით 162 მეტრში.
მაგალითის გაგრძელება: ფრენის დრო და გავლილი მანძილი
ჭურვის მოძრაობის პრობლემის საფუძვლების გადაჭრის შემდეგ, რომელიც დაფუძნებულია მხოლოდ ვერტიკალურ მოძრაობაზე, პრობლემის დანარჩენი ნაწილი მარტივად მოგვარდება. უპირველეს ყოვლისა, დაწყებიდან დაზღვევის აფეთქების დრო შეგიძლიათ იპოვოთ ერთ-ერთი მუდმივი აჩქარების განტოლების გამოყენებით. ვარიანტების გადახედვისას შემდეგი გამოთქმა:
s_y = \ bigg (\ frac {v_y + v_ {0y}} {2} \ bigg) t \\
დრო აქვსტ, რაც გსურთ იცოდეთ; გადაადგილება, რომელიც თქვენ იცით ფრენის მაქსიმალური წერტილისთვის; საწყისი ვერტიკალური სიჩქარე; და სიჩქარე მაქსიმალური სიმაღლის დროს (რაც ვიცით რომ ნულია). ასე რომ, ამის საფუძველზე განტოლება შეიძლება მოწესრიგდეს ფრენის დროისთვის გამოხატვისთვის:
s_y = \ bigg (\ frac {v_ {0y}} {2} \ bigg) t \\ t = \ frac {2s_y} {v_ {0y}}
ღირებულებების ჩასმა და ამოხსნატიძლევა:
\ დაწყება {გასწორება} t & = \ frac {2 × 162.19 \; \ ტექსტი {მ}} {56.38 \; \ text {m / s}} \\ & = 5.75 \; \ text {s} \ დასრულება {გასწორება}
ასე რომ, ფეიერვერკი აფეთქდება გაშვებიდან 5,75 წამში.
დაბოლოს, მარტივად შეგიძლიათ განსაზღვროთ გავლილი ჰორიზონტალური მანძილის პირველი განტოლების საფუძველზე, რომელშიც (ჰორიზონტალური მიმართულებით) წერია:
v_x = v_ {0x} + a_xt
ამასთან, აღნიშნავენ, რომ აქ არ არის დაჩქარებაxმიმართულება, ეს უბრალოდ არის:
v_x = v_ {0x}
რაც იმას ნიშნავს, რომ სიჩქარეxმიმართულება არის იგივე ფეიერვერკის მოგზაურობის განმავლობაში. Იმის გათვალისწინებით, რომვ = დ/ტსადდგავლილი მანძილია, ამის დანახვა მარტივიად = ვტდა ა.შ. ამ შემთხვევაშიც (თანსx = დ):
s_x = v_ {0x} ტ
ასე რომ თქვენ შეგიძლიათ შეცვალოთვ0x ადრეული ტრიგონომეტრიული გამოხატულებით, შეიტანეთ მნიშვნელობები და ამოხსენით:
\ დაწყება {გასწორება} s_x & = v_0 \ cos (θ) t \\ & = 60 \; \ ტექსტი {მ / წ} × \ cos (70) × 5.75 \; \ ტექსტი {ს} \\ & = 118 \; \ ტექსტი {მ} \ ბოლო {გასწორებული}
ასე რომ, ის აფეთქებამდე 118 მეტრს გაივლის.
ჭურვის მოძრაობის დამატებითი პრობლემა: დუდის ფეიერვერკი
დამატებითი პრობლემის მოსაგვარებლად წარმოიდგინეთ ფეიერვერკი წინა მაგალითიდან (დაწყებული სიჩქარე 60 მ / წმ) 70 გრადუსზე ჰორიზონტალზე) ვერ აფეთქდა პარაბოლის მწვერვალზე და ამის ნაცვლად დაეშვა მიწაზე არ აფეთქდა. შეგიძლიათ ამ შემთხვევაში გამოანგარიშოთ ფრენის საერთო დრო? რამდენად დაშორებულია გაშვების ადგილიდან ჰორიზონტალური მიმართულებით, ან სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, რა არის ისდიაპაზონიჭურვის?
ეს პრობლემა ძირითადად იმავე გზით მუშაობს, სადაც სიჩქარისა და გადაადგილების ვერტიკალური კომპონენტებია მთავარია, რომ თქვენ უნდა გაითვალისწინოთ ფრენის დროის დასადგენად და აქედან შეგიძლიათ განსაზღვროთ დიაპაზონი. იმის ნაცვლად, რომ დეტალურად იმუშაოთ გამოსავალზე, ამის მოგვარება თავად შეგიძლიათ, წინა მაგალითის საფუძველზე.
არსებობს ჭურვის დიაპაზონის ფორმულები, რომლებიც შეგიძლიათ მოძებნოთ ან გამომდინარეობდეთ მუდმივი აჩქარების განტოლებიდან, მაგრამ ეს არ არის ნამდვილად საჭიროა, რადგან თქვენ უკვე იცით ჭურვის მაქსიმალური სიმაღლე და ამ მომენტიდან იგი მხოლოდ თავისუფალ ვარდნას განიცდის სიმძიმის.
ეს ნიშნავს, რომ თქვენ შეგიძლიათ განსაზღვროთ ფეიერვერკის მიწაზე დაცემის დრო და შემდეგ დაამატოთ ეს ფრენის დროს მაქსიმალურ სიმაღლეზე, ფრენის საერთო დროის დასადგენად. ამის შემდეგ, იგივე პროცესია მუდმივი სიჩქარის გამოყენება ჰორიზონტალური მიმართულებით ფრენის დროს პარალელურად, დიაპაზონის დასადგენად.
აჩვენეთ, რომ ფრენის დროა 11,5 წამი, ხოლო დიაპაზონი 236 მეტრია, აღნიშნეთ, რომ დაგჭირდებათ გამოთვალეთ სიჩქარის ვერტიკალური კომპონენტი ადგილზე, როგორც ის შუალედურია ნაბიჯი