კინემატიკა არის ფიზიკის მათემატიკური დარგი, რომელიც იყენებს განტოლებებს ობიექტების (კონკრეტულად მათი) მოძრაობის აღსაწერადტრაექტორია) ძალების მითითების გარეშე.
ეს არის ის, რომ თქვენ უბრალოდ შეგიძლიათ ჩართოთ სხვადასხვა რიცხვები ოთხი კინემატიკური განტოლების სიმრავლეში, რომ იპოვოთ რაიმე უცნობი ეს განტოლებები, ამ მოძრაობის ფიზიკის ცოდნის გარეშე, მხოლოდ თქვენს ალგებრას ეყრდნობიან უნარები
იფიქრეთ "კინემატიკაზე", როგორც "კინეტიკის" და "მათემატიკის" კომბინაციაში - სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, მოძრაობის მათემატიკა.
როტაციული კინემატიკა ზუსტად ეს არის, მაგრამ ის კონკრეტულად ეხება წრიულ ბილიკებში მოძრავ ობიექტებს, ვიდრე ჰორიზონტალურად ან ვერტიკალურად. მთარგმნელობითი მოძრაობის სამყაროს ობიექტების მსგავსად, ეს მბრუნავი ობიექტები შეიძლება აღწერილი იყოს მათი გადაადგილების, სიჩქარისა და დროთა განმავლობაში დაჩქარება, თუმცა ზოგიერთი ცვლადი აუცილებლად იცვლება ხაზოვანი და კუთხოვანი ძირითადი განსხვავებების დასაკმაყოფილებლად მოძრაობა
სინამდვილეში ძალიან სასარგებლოა ხაზოვანი მოძრაობისა და მბრუნავი მოძრაობის შესახებ საფუძვლების ერთდროულად შესწავლა, ან თუნდაც შესაბამისი ცვლადების და განტოლებების გაცნობა. ეს არ არის თქვენი გადატვირთვა, არამედ პარალელების ხაზგასმაა.
რა თქმა უნდა, მნიშვნელოვანია გვახსოვდეს, როდესაც სივრცეში მოძრაობის ამ "ტიპების" შესახებ გაეცნობით, რომ თარგმანი და როტაცია შორს არის ერთმანეთისგან გამორიცხული. სინამდვილეში, რეალურ სამყაროში მოძრავი საგნების უმეტესობა აჩვენებს ორივე ტიპის მოძრაობის კომბინაციას, რომელთაგან ერთი ხშირად არ ჩანს ერთი შეხედვით.
ხაზოვანი და პროექტიული მოძრაობის მაგალითები
რადგან "სიჩქარე" ჩვეულებრივ ნიშნავს "ხაზოვან სიჩქარეს" და "აჩქარება" გულისხმობს "ხაზოვან აჩქარებას", თუ სხვა რამ არ არის მითითებული, მიზანშეწონილია გადავხედოთ ძირითადი მოძრაობის რამდენიმე მარტივი მაგალითს.
ხაზოვანი მოძრაობა სიტყვასიტყვით ნიშნავს მოძრაობას, რომელიც შემოიფარგლება ერთ სტრიქონზე, რომელსაც ხშირად ანიჭებენ ცვლადს "x". პროექტირებული მოძრაობის პრობლემები მოიცავს როგორც x- და ასევე y- ზომები და გრავიტაცია ერთადერთი გარე ძალაა (გაითვალისწინეთ, რომ ეს პრობლემები აღწერილია, როგორც სამგანზომილებიან სამყაროში, მაგ., "ჭავლი გაათავისუფლეს… ”).
გაითვალისწინეთ, რომ მასამარ შედის ნებისმიერი სახის კინემატიკის განტოლებებში, რადგან სიმძიმის გავლენაა ობიექტების მოძრაობაზე მათი მასისაგან დამოუკიდებელი, და ისეთი სიდიდეები, როგორიცაა იმპულსი, ინერცია და ენერგია, არ განეკუთვნება რაიმე განტოლებას მოძრაობა
სწრაფი შენიშვნა რადიანებზე და ხარისხებზე
რადგან ბრუნვითი მოძრაობა გულისხმობს წრიული ბილიკების შესწავლას (არაერთგვაროვან, ისევე როგორც ერთგვაროვან ცირკულარულად) მოძრაობა) ვიდრე მრიცხველის გამოყენება ობიექტის გადაადგილების აღსაწერად, იყენებთ რადიანს ან ხარისხს სამაგიეროდ.
რადიანი, ზედაპირზე, უხერხული ერთეულია და ითარგმნება 57,3 გრადუსამდე. მაგრამ ერთი წრე წრის გარშემო (360 გრადუსი) განისაზღვრება, როგორც 2π რადიანი, და მიზეზების გამო, რომლის დანახვასაც აპირებთ, ეს მოსახერხებელია ზოგიერთ შემთხვევაში პრობლემის გადაჭრისას.
- Ურთიერთობაπ rad = 180 გრადუსიშეიძლება გამოყენებულ იქნას გაზომვის ორივე ერთეულს შორის მარტივად გადასაკეთებლად.
შეიძლება არსებობდეს პრობლემები, რომლებიც მოიცავს რევოლუციების რაოდენობას დროის ერთეულზე (rpm ან rps). გახსოვდეთ, რომ თითოეული რევოლუცია არის 2π რადიანი ან 360 გრადუსი.
როტაციული კინემატიკა v. თარგმნის კინემატიკის გაზომვები
მთარგმნელობითი კინემატიკის ზომებს, ან ერთეულებს, ყველას აქვს ბრუნვითი ანალოგები. მაგალითად, წრფივი სიჩქარის ნაცვლად, რომელიც აღწერს, მაგალითად, რამდენად შორდება ბურთი სწორ ხაზში მოცემულ დროის ინტერვალზე,მბრუნავიანკუთხის სიჩქარეაღწერს ამ ბურთის ბრუნვის სიჩქარეს (რამდენს ბრუნავს რადიანში ან გრადუსზე წამში).
აქ მთავარია, რაც უნდა გვახსოვდეს არის ის, რომ თითოეულ თარგმანულ ერთეულს აქვს როტაციული ანალოგი. "პარტნიორული" პიროვნებების მათემატიკური და კონცეპტუალური ურთიერთობის სწავლა სჭირდება მცირე ვარჯიშს, მაგრამ უმეტესწილად ეს არის მარტივი ჩანაცვლების საკითხი.
წრფივი სიჩქარევგანსაზღვრავს ნაწილაკის თარგმნის როგორც სიდიდეს, ისე მიმართულებას; კუთხის სიჩქარეω(ბერძნული ასო ომეგა) წარმოადგენს მის სინგულარულ სიჩქარეს, რაც რამდენად სწრაფად ბრუნავს ობიექტი რადიანში წამში. ანალოგიურად, ცვლილების სიჩქარეω, კუთხოვანი აჩქარება, მოცემულია იმითα(ალფა) რადი / წამში2.
ღირებულებებიωდაαიგივეა მყარი ობიექტის ნებისმიერი წერტილისთვის, ისინი იზომება როტაციის ღერძიდან 0,1 მეტრით ან 1000 მეტრის მოშორებით, რადგან ეს მხოლოდ რამდენად სწრაფია კუთხეθმნიშვნელოვანი ცვლილებები.
ამასთან, არსებობს ტანგენციალური (და, შესაბამისად, წრფივი) სიჩქარე და აჩქარება უმეტეს სიტუაციებში, როდესაც ბრუნვითი სიდიდეები ჩანს. ტანგენტული სიდიდეები გამოითვლება კუთხოვანი სიდიდეების გამრავლებითრ, მანძილი როტაციის ღერძიდან:ვტ = ωrდაαტ = αრ
როტაციული კინემატიკა v. მთარგმნელობითი კინემატიკის განტოლებები
ახლა, როდესაც როტაციულ და სწორხაზოვან მოძრაობას შორის გაზომვის ანალოგიები მოირგო ახალი კუთხოვანი ტერმინების დანერგვით, ეს შეიძლება გამოყენებულ იქნას ოთხი კლასიკური მთარგმნელობითი კინემატიკის განტოლებები როტაციული კინემატიკის თვალსაზრისით, გარკვეულწილად განსხვავებული ცვლადებით (ასოების განტოლებებში უცნობია რაოდენობით).
კინემატიკაში თამაშობს ოთხი ფუნდამენტური განტოლება და ასევე ოთხი ძირითადი ცვლადი: პოზიცია (x, yანθ), სიჩქარე (ვანω), აჩქარება (აანα) და დროტ. რომელი განტოლება აირჩევთ, დამოკიდებულია იმაზე, თუ რომელი რაოდენობის დაწყებაა უცნობი.
- [ჩასვით წრფივი / მთარგმნელობითი კინემატიკის განტოლებების ცხრილი, რომლებიც შეესაბამება მათ მბრუნავ ანალოგებს]
მაგალითად, თქვით, რომ თქვენ გეუბნებით, რომ მანქანამ მკლავი გააქროლა 3π / 4 რადიანის კუთხოვანი გადაადგილებით საწყისი კუთხის სიჩქარითω00 rad / s და საბოლოო კუთხოვანი სიჩქარეωπ rad / s- ის. რამდენ ხანს გასტანა ეს მოძრაობა?
\ theta = \ theta_0 + \ frac {1} {2} (\ omega_0 + \ omega) t \ გულისხმობს \ frac {3 \ pi} {4} = 0 + \ frac {\ pi} {2} t \ t გულისხმობს t = 1.5 \ ტექსტი {s}
მიუხედავად იმისა, რომ ყველა თარგმანულ განტოლებას აქვს მბრუნავი ანალოგი, პირიქით სულაც არ არის მართებული ცენტრიდანული აჩქარების გამო, რაც ტანგენციალური სიჩქარის შედეგია.ვტდა მიუთითებს ბრუნვის ღერძისკენ. მაშინაც კი, თუ ნაწილაკის სიჩქარეში არ შეიცვლება მასის ცენტრში, ეს აჩქარებას წარმოადგენს, რადგან სიჩქარის ვექტორის მიმართულება ყოველთვის იცვლება.
როტაციული კინემატიკის მათემატიკის მაგალითები
1. თხელი ჯოხი, კლასიფიცირებული როგორც ხისტი სხეული, რომლის სიგრძეა 3 მ, ბრუნავს ღერძის გარშემო, ერთი ბოლოდან. იგი დანარჩენიდან ერთნაირად აჩქარებს 3π რადი / წმ-მდე2 10 წამის განმავლობაში.
ა) რა არის საშუალო კუთხის სიჩქარე და კუთხოვანი აჩქარება ამ დროის განმავლობაში?
ისევე როგორც წრფივი სიჩქარით, უბრალოდ გაყოფა (ω0+ ω) 2-ით საშუალო კუთხოვანი სიჩქარის მისაღებად: (0 + 3π წმ.)-1)/2 = 1.5π ს-1.
- რადიანები განზომილებიანი ერთეულია, ამიტომ კინემატიკის განტოლებებში კუთხის სიჩქარე გამოხატულია s- ით-1.
საშუალო აჩქარებას იძლევაω=ω0+ αtანα= (3π წმ-1/ 10 წმ) =0.3π წმ-2.
ბ) რამდენ სრულ რევოლუციას ახდენს ჯოხი?
მას შემდეგ, რაც საშუალო სიჩქარეა 1,5π წმ-1 და ჯოხი ტრიალებს 10 წამის განმავლობაში, ის სულ 15π რადიანზე მოძრაობს. მას შემდეგ, რაც ერთი რევოლუცია არის 2π რადიანი, ეს ნიშნავს (15π / 2π) = 7.5 რევოლუცია (შვიდი სრული რევოლუცია) ამ პრობლემას.
გ) რამდენია ჯოხის ბოლოს ტანგენციალური სიჩქარე t = 10 წმ დროს?
მას შემდეგვტ = ωrდაωდროს t = 10 არის 3π s-1, ვტ= (3π წმ-1) (3 მ) =9π მ / წმ.
ინერციის მომენტი
მეგანისაზღვრება, როგორც ინერციის მომენტი (ასევე მოუწოდატერიტორიის მეორე მომენტი) მბრუნავ მოძრაობაში და ეს არის მასის ანალოგიური გამოთვლითი მიზნებისთვის. ამრიგად, ის ჩნდება იქ, სადაც მასა გამოჩნდება წრფივი მოძრაობის სამყაროში, ალბათ ყველაზე მთავარია კუთხოვანი იმპულსის გაანგარიშებისასლ. ეს არის პროდუქტისმედაω,და არის ვექტორი მიმართულებით იგივე, რაცω.
მე = ბატონო2 წერტილოვანი ნაწილაკისთვის, მაგრამ სხვაგვარად ეს დამოკიდებულია ობიექტის ფორმაზე, რომელიც ბრუნავს, ისევე როგორც ბრუნვის ღერძი. იხილეთ რესურსებიმესაერთო ფორმებისთვის.
მასა განსხვავებულია, რადგან როტაციული კინემატიკის რაოდენობა, რომელსაც ის უკავშირდება, ინერციის მომენტი, სინამდვილეში თავად არისშეიცავსმასა, როგორც კომპონენტი.