კინემატიკის განტოლებები აღწერს ობიექტის მოძრაობას, რომელიც განიცდის მუდმივ აჩქარებას. ეს განტოლებები უკავშირდება მოძრავი ობიექტის დროის, პოზიციის, სიჩქარისა და აჩქარების ცვლადებს, რაც საშუალებას აძლევს რომელიმე ამ ცვლადს გადაჭრას, თუ დანარჩენი ცნობილია.
ქვემოთ მოცემულია ობიექტის გამოსახულება, რომელიც განიცდის მუდმივ აჩქარების მოძრაობას ერთ განზომილებაში. ცვლადი ტ არის დრო, პოზიცია არის x, სიჩქარე ვ და აჩქარება ა. ხელმოწერები მე და ვ შესაბამისად დგას "საწყისი" და "საბოლოო". ივარაუდება, რომ ტ = 0 საათზე xმე და ვმე.
(სურათის ჩასმა 1)
კინემატიკური განტოლებების სია
ქვემოთ ჩამოთვლილია სამი ძირითადი კინემატიკური განტოლება, რომლებიც გამოიყენება ერთ განზომილებაში მუშაობისას. ეს განტოლებებია:
\ # \ text {1:} v_f = v_i + at \\ \ # \ text {2:} x_f = x_i + v_i t + \ frac 1 2 at ^ 2 \\ \ # \ text {3:} (v_f) ^ 2 = (v_i) ^ 2 + 2a (x_f - x_i)
შენიშვნები კინემატიკური განტოლებების შესახებ
- ეს განტოლებები მუშაობს მხოლოდ მუდმივი აჩქარებით (რაც მუდმივი სიჩქარის შემთხვევაში შეიძლება იყოს ნულის ტოლი).
- იმის მიხედვით, თუ რომელ წყაროს წაიკითხავთ, საბოლოო რაოდენობებს შეიძლება არ ჰქონდეს ხელმოწერა ვ, და / ან შესაძლოა წარმოდგენილი იყოს ფუნქციის აღნიშვნაში, როგორც x (t) - წაიკითხეთx როგორც დროის ფუნქცია ”ან”x თავის დროზე ტ”- და v (t). Ჩაინიშნე x (t) არ ნიშნავს x გამრავლებული ტ!
-
ზოგჯერ რაოდენობა xვ - xმე დაწერილია
Δx, რაც ნიშნავს ”ცვლილებას x, ”ან თუნდაც უბრალოდ როგორც დ, რაც ნიშნავს გადაადგილებას. ყველა ექვივალენტია. პოზიცია, სიჩქარე და აჩქარება არის ვექტორული სიდიდე, ანუ მათთან ასოცირდება მიმართულება. ერთ განზომილებაში, მიმართულება, როგორც წესი, მითითებულია ნიშნებით - პოზიტიური სიდიდეები დადებითი მიმართულებით, ხოლო ნეგატიური სიდიდეები უარყოფითი მიმართულებით. ხელმოწერები: "0" შეიძლება გამოყენებულ იქნას საწყისი პოზიციისა და სიჩქარის ნაცვლად მე. ეს "0" ნიშნავს "at ტ = 0, "და x0 და ვ0 როგორც წესი, გამოითქმის "x-naught" და "v-naught". * მხოლოდ ერთ განტოლებაში არ შედის დრო. მოცემულების გამოწერისა და განსაზღვრის რა განტოლების გამოყენება, ეს მთავარია!
განსაკუთრებული შემთხვევა: თავისუფალი დაცემა
თავისუფალი ვარდნის მოძრაობა არის ობიექტის მოძრაობა, რომელიც აჩქარებს მხოლოდ მიზიდულობის გამო, ჰაერის წინააღმდეგობის არარსებობის გამო. მოქმედებს იგივე კინემატიკური განტოლებები; ამასთან, დედამიწის ზედაპირთან დაჩქარების მნიშვნელობა ცნობილია. ამ აჩქარების სიდიდე ხშირად წარმოდგენილია გ, სადაც g = 9,8 მ / წმ2. ამ აჩქარების მიმართულება ქვევით, დედამიწის ზედაპირისკენ არის მიმართული. (გაითვალისწინეთ, რომ ზოგი წყარო შეიძლება მიახლოებითი იყოს გ როგორც 10 მ / წმ2, და სხვებმა შეიძლება გამოიყენონ მნიშვნელობა, რომელიც ზუსტია ორზე მეტ ათობითიზე.)
კინემატიკის პრობლემების პრობლემების გადაჭრის სტრატეგია ერთ განზომილებაში:
შეადგინეთ სიტუაციის დიაგრამა და შეარჩიეთ შესაბამისი კოორდინატების სისტემა. (გავიხსენოთ რომ x, ვ და ა ეს ყველაფერი ვექტორული სიდიდეა, ამიტომ მკაფიო პოზიტიური მიმართულების მინიჭებით უფრო ადვილი იქნება ნიშნების თვალის დევნება.)
დაწერეთ ცნობილი რაოდენობების სია. (ფრთხილად, რომ ზოგჯერ ცნობილი არ არის აშკარა. მოძებნეთ ფრაზები, როგორიცაა "იწყება დანარჩენიდან", რაც ნიშნავს ვმე = 0, ან "ხვდება მიწას", რაც ნიშნავს იმას xვ = 0 და ა.შ.)
განსაზღვრეთ რომელი რაოდენობის კითხვა გსურთ იპოვოთ. რისთვის გადაჭრით ის უცნობი?
შეარჩიეთ შესაბამისი კინემატიკური განტოლება. ეს იქნება განტოლება, რომელიც შეიცავს თქვენს უცნობ რაოდენობას და ცნობილ რაოდენობებს.
ამოხსენით უცნობი რაოდენობის განტოლება, შემდეგ ჩართეთ ცნობილი მნიშვნელობები და გამოთვალეთ საბოლოო პასუხი. (ფრთხილად იყავით ერთეულების მიმართ! ზოგჯერ თქვენ მოგიწევთ ერთეულების გადაკეთება გამოთვლამდე.)
ერთგანზომილებიანი კინემატიკის მაგალითები
მაგალითი 1: რეკლამაში ნათქვამია, რომ სპორტული მანქანა 0-დან 60 საათამდე საათში შეიძლება მიაღწიოს 2.7 წამში. რა სიჩქარე აქვს ამ მანქანას მ / წმ-ში2? სადამდე მიდის ეს 2.7 წამში?
გამოსავალი:
(სურათის ჩასმა 2)
ცნობილი და უცნობი რაოდენობა:
v_i = 0 \ text {mph} \\ v_f = 60 \ text {mph} \\ t = 2.7 \ text {s} \\ x_i = 0 \\ a = \ text {?} \\ x_f = \ text {? }
კითხვის პირველი ნაწილი მოითხოვს ამოხსნას უცნობი აჩქარებისთვის. აქ შეგვიძლია გამოვიყენოთ განტოლება # 1:
v_f = v_i + at \ გულისხმობს a = \ frac {(v_f-v_i)} t
სანამ ციფრებს ჩავრთავთ, 60 მილი / სთ უნდა გადავაკეთოთ მ / წმ:
60 \ გააუქმოს {\ text {mph}} \ Bigg (\ frac {0.477 \ text {m / s}} {\ გააუქმოს {\ text {mph}}} \ Bigg) = 26.8 \ text {m / s}
ასე რომ, აჩქარება შემდეგშია:
a = \ frac {(26.8-0)} {2.7} = \ ხაზგასმა {\ სქელი {9.93} \ ტექსტი {მ / წ} ^ 2}
იმის გასარკვევად, თუ რამდენად შორს მიდის ამ დროს, ჩვენ შეგვიძლია გამოვიყენოთ განტოლება # 2:
x_f = x_i + v_it + \ frac 1 2 at ^ 2 = \ frac 1 2 \ ჯერ 9,93 \ ჯერ 2,7 ^ 2 = \ ხაზგასმა {\ bold {36.2} \ text {m}}
მაგალითი 2: ბურთი ისვრის 15 მ / წმ სიჩქარით 1.5 მ სიმაღლიდან. რამდენად ჩქარა მიდის ადგილზე? რამდენი ხანი სჭირდება მიწაზე დარტყმას?
გამოსავალი:
(სურათის ჩასმა 3)
ცნობილი და უცნობი რაოდენობა:
x_i = 1.5 \ text {m} \\ x_f = 0 \ text {m} \\ v_i = 15 \ text {m / s} \\ a = -9.8 \ text {m / s} ^ 2 \\ v_f =? \\ t =?
პირველი ნაწილის გადასაჭრელად, ჩვენ შეგვიძლია გამოვიყენოთ განტოლება # 3:
(v_f) ^ 2 = (v_i) ^ 2 + 2a (x_f-x_i) \ გულისხმობს v_f = \ pm \ sqrt {(v_i) ^ 2 + 2a (x_f-x_i)}
ყველაფერი უკვე თანმიმდევრულ ერთეულებშია, ამიტომ შეგვიძლია შევაერთოთ მნიშვნელობები:
v_f = \ pm \ sqrt {15 ^ 2 + 2 (-9.8) (0-1.5)} = \ pm \ sqrt {254.4} \ დაახლ. \ pm16 \ text {მ / წ}
აქ ორი გამოსავალი არსებობს. Რომელია სწორი? ჩვენი დიაგრამიდან ჩანს, რომ საბოლოო სიჩქარე უარყოფითი უნდა იყოს. პასუხია:
v_f = \ ხაზგასმა {\ bold {-16} \ text {m / s}}
დროის ამოსახსნელად შეგვიძლია გამოვიყენოთ ან განტოლება # 1 ან განტოლება # 2. მას შემდეგ, რაც # 1 განტოლება უფრო მარტივია მუშაობისთვის, ჩვენ გამოვიყენებთ მას:
v_f = v_i + at \ გულისხმობს t = \ frac {(v_f-v_i)} {a} = \ frac {(-16-15)} {- 9.8} \ დაახლ. ხაზგასმა {\ სქელი {3.2} \ ტექსტი {s }}
გაითვალისწინეთ, რომ ამ კითხვის პირველ ნაწილზე პასუხი არ იყო 0 მ / წმ. მართალია, ბურთის დაშვების შემდეგ მას 0 სიჩქარე ექნება, მაგრამ ამ კითხვას სურს იცოდეს, რამდენად სწრაფად მიდის იგი წამში გაყოფაზე ზემოქმედების წინ. მას შემდეგ, რაც ბურთი დაუკავშირდება მიწას, ჩვენი კინემატიკური განტოლებები აღარ გამოიყენება, რადგან აჩქარება არ იქნება მუდმივი.
კინემატიკური განტოლებები საპროექტო მოძრაობისთვის (ორი განზომილება)
ჭურვი არის ობიექტი, რომელიც მოძრაობს ორ განზომილებაში დედამიწის მიზიდულობის გავლენის ქვეშ. მისი გზა პარაბოლაა, რადგან ერთადერთი აჩქარება გამოწვეულია სიმძიმით. ჭურვის მოძრაობის კინემატიკური განტოლებები ოდნავ განსხვავებულ ფორმას იღებს ზემოთ ჩამოთვლილი კინემატიკური განტოლებებისგან. ჩვენ ვიყენებთ იმ ფაქტს, რომ მოძრაობის კომპონენტები, რომლებიც ერთმანეთის პერპენდიკულარულია - მაგალითად, ჰორიზონტალური x მიმართულება და ვერტიკალური y მიმართულება - დამოუკიდებელია.
პროექტების მოძრაობის კინემატიკის პრობლემების გადაჭრის სტრატეგია:
შეადგინეთ სიტუაციის დიაგრამა. ისევე, როგორც ერთგანზომილებიანი მოძრაობის დროს, ასევე სასარგებლოა სცენარის ესკიზირება და კოორდინატების სისტემის მითითება. იარლიყების გამოყენების ნაცვლად x, ვ და ა პოზიციის, სიჩქარისა და აჩქარებისთვის, ჩვენ გვჭირდება მოძრაობის მარკირების მეთოდი თითოეულ განზომილებაში ცალკე.
ჰორიზონტალური მიმართულებით, ყველაზე ხშირად გამოყენებაა x პოზიციისთვის და ვx სიჩქარის x კომპონენტისთვის (გაითვალისწინეთ, რომ ამ მიმართულებით აჩქარება 0ა, ამიტომ მისთვის ცვლადი არ გვჭირდება.) y მიმართულება, ყველაზე ხშირად გამოიყენება y პოზიციისთვის და ვy სიჩქარის y- კომპონენტისთვის. დაჩქარება შეიძლება იყოს ეტიკეტირებული აy ან შეგვიძლია გამოვიყენოთ ის ფაქტი, რომ ვიცით, რომ სიმძიმის გამო არის აჩქარება გ უარყოფითი y- მიმართულებით და გამოიყენეთ იგი ამის ნაცვლად.
დაწერეთ ცნობილი და უცნობი სიების ჩამონათვალი პრობლემის ორ ნაწილად გაყოფით: ვერტიკალური და ჰორიზონტალური მოძრაობა. გამოიყენეთ ტრიგონომეტრია, რომ იპოვოთ ნებისმიერი ვექტორული სიდიდის x- და y- კომპონენტები, რომლებიც არ მდებარეობს ღერძის გასწვრივ. შეიძლება სასარგებლო იყოს ამის ჩამოთვლა ორ სვეტად:
(ჩადეთ ცხრილი 1)
შენიშვნა: თუ სიჩქარე მოცემულია როგორც სიდიდე კუთხესთან ერთად, Ѳ, ჰორიზონტალურიდან ზემოთ, გამოიყენეთ ვექტორული დაშლა, ვx= vcos () და ვy= vsin (Ѳ).
ჩვენ შეგვიძლია განვიხილოთ ჩვენი სამი კინემატიკური განტოლებები წინა დროიდან და მოვერგოთ ისინი x და y მიმართულებებზე.
X მიმართულება:
x_f = x_i + v_xt
Y მიმართულება:
v_ {yf} = v_ {yi} -gt \\ y_f = y_i + v_ {yi} t- \ frac 1 2 gt ^ 2 \\ (v_ {yf}) ^ 2 = (v_ {yi}) ^ 2- 2 გ (y_f - y_i)
გაითვალისწინეთ, რომ აჩქარება y მიმართულებაა -g თუ ვივარაუდებთ რომ პოზიტიურია. გავრცელებული მცდარი შეხედულებაა, რომ g = -9,8 მ / წმ2, მაგრამ ეს არასწორია; გ თავისთავად აჩქარების სიდიდეა: g = 9,8 მ / წმ2, ამიტომ უნდა დავაკონკრეტოთ, რომ აჩქარება უარყოფითია.
ამოხსენით ერთი უცნობი ერთ ამ განზომილებაში და შემდეგ ჩართეთ ის, რაც საერთოა ორივე მიმართულებით. მიუხედავად იმისა, რომ მოძრაობა ორ განზომილებაში დამოუკიდებელია, ეს ხდება იმავე დროის მასშტაბით, ამიტომ დროის ცვლადი იგივეა ორივე განზომილებაში. (ბურთი ვერტიკალური მოძრაობის გადასატანად იგივეა, რაც ჰორიზონტალური მოძრაობისთვის საჭიროა.)
Projectile მოძრაობის კინემატიკა მაგალითები
მაგალითი 1: ჭურვი ჰორიზონტალურად იწყებს 20 მ სიმაღლის კლდიდან, საწყისი სიჩქარე 50 მ / წმ. რამდენი ხანი სჭირდება მიწაზე დარტყმას? რამდენად შორს მდებარეობს კლდის ფსკერიდან?
(ჩადეთ სურათი 4)
ცნობილი და უცნობი რაოდენობა:
(ჩადეთ ცხრილი 2)
ჩვენ შეგვიძლია ვიპოვოთ დრო, რომ მიწაზე მოხვდეს, მეორე ვერტიკალური მოძრაობის განტოლების გამოყენებით:
y_f = y_i + v_ {yi} t- \ frac 1 2 gt ^ 2 \ გულისხმობს t = \ sqrt {\ frac {(2 \ ჯერ 20)} g} = \ ხაზგასმა {\ bold {2.02} \ text {s} }
შემდეგ რომ იპოვოთ სად დაეშვება, xვ, ჩვენ შეგვიძლია გამოვიყენოთ ჰორიზონტალური მოძრაობის განტოლება:
x_f = x_i + v_xt = 50 \ ჯერ2.02 = \ ხაზგასმა {\ სქელი {101} \ ტექსტი {s}}
მაგალითი 2: ბურთი მიწის დონიდან 100 მ / წმ – ით იწყებს ჰორიზონტალურთან 30 გრადუსიანი კუთხით. სად დგება როდის არის მისი სიჩქარე ყველაზე პატარა? რა არის მისი ადგილმდებარეობა ამ დროისთვის?
(ჩადეთ სურათი 5)
ცნობილი და უცნობი რაოდენობა:
პირველ რიგში, სიჩქარის ვექტორი უნდა დავყოთ კომპონენტებად:
v_x = v_i \ cos (\ theta) = 100 \ cos (30) \ დაახლ. 86.6 \ ტექსტი {მ / წ} \\ v_ {yi} = v_i \ sin (\ თეტა) = 100 \ sin (30) = 50 \ ტექსტი {მ / წ}
ჩვენი რაოდენობების ცხრილი შემდეგნაირია:
(ჩადეთ ცხრილი 3)
პირველ რიგში უნდა გამოვნახოთ ბურთის ფრენის დრო. ამის გაკეთება შეგვიძლია მეორე ვერტიკალური განტოლებით _. გაითვალისწინეთ, რომ ჩვენ ვიყენებთ პარაბოლის სიმეტრიას, რათა დადგინდეს, რომ საბოლოო _y სიჩქარე არის საწყისი უარყოფითი:
შემდეგ განვსაზღვრავთ რამდენად შორს მოძრაობს ის x მიმართულება ამ დროს:
x_f = x_i + v_xt = 86.6 \ ჯერ 10.2 \ დაახლ. \ ხაზგასმული {\ სქელი {883} \ ტექსტი მ}
პარაბოლური გზის სიმეტრიის გამოყენებით შეგვიძლია დავადგინოთ, რომ სიჩქარე ყველაზე მცირეა 5.1 წმ, როდესაც ჭურვი არის მისი მოძრაობის პიკი, ხოლო სიჩქარის ვერტიკალური კომპონენტია 0. ამ დროს მისი მოძრაობის x- და y- კომპონენტებია:
x_f = x_i + v_xt = 86.6 \ ჯერ 5.1 \ დაახლ. \ ხაზგასმული {\ სქელი {442} \ ტექსტი m} \\ y_f = y_i + v_ {yi} t- \ frac 1 2 gt ^ 2 = 50 \ ჯერ5.1- \ frac 1 2 9.8 \ ჯერ 5,1 ^ 2 \ დაახლ. \ ხაზგასმა {\ bold {128} \ text {m}}
კინემატიკური განტოლებების წარმოება
განტოლება # 1: თუ აჩქარება მუდმივია, მაშინ:
a = \ frac {(v_f-v_i)} {t}
გადაჭრის სიჩქარე, ჩვენ გვაქვს:
v_f = v_i + at
განტოლება # 2: საშუალო სიჩქარე შეიძლება დაიწეროს ორი გზით:
v_ {avg} = \ frac {(x_f-x_i)} {t} = \ frac {(v_f + v_i)} {2}
თუ შევცვლით _ვვ _ გამოხატვა # 1 განტოლებიდან, მივიღებთ:
\ frac {(x_f-x_i)} {t} = \ frac {((v_i + at) + v_i)} {2}
მოგვარება xვ იძლევა:
x_f = x_i + v_i t + \ frac 1 2 ^ 2-ზე
განტოლება # 3: დაიწყე ამოხსნისთვის ტ # 1 განტოლებაში
v_f = v_i + at \ გულისხმობს t = \ frac {(v_f-v_i)} {a}
შეაერთეთ ეს გამოთქმა ტ საშუალო სიჩქარის კავშირში:
v_ {avg} = \ frac {(x_f-x_i)} {t} = \ frac {(v_f + v_i)} {2} \ გულისხმობს \ frac {(x_f-x_i)}} {(\ frac {(v_f-v_i) )} {a})} = \ frac {(v_f + v_i)} {2}
ამ გამოთქმის გადალაგება იძლევა:
(v_f) ^ 2 = (v_i) ^ 2 + 2a (x_f - x_i)