როგორ მოვძებნოთ dy / dx იმპლიციტური დიფერენცირების გზით, მსგავსი განტოლების გათვალისწინებით, y = sin (xy)

იმპლიციტური დიფერენცირება არის ტექნიკა, რომელიც გამოიყენება y = f (x) ფორმის ფუნქციის წარმოებულის დასადგენად.

იმის გასარკვევად, თუ როგორ გამოვიყენოთ არაპირდაპირი დიფერენცირება, შეგვიძლია გამოვიყენოთ მეთოდი უბრალო მაგალითზე და შემდეგ შეისწავლოთ რამდენიმე უფრო რთული შემთხვევა.

მიუხედავად იმისა, რომ ეს უფრო რთულად ჟღერს, არაპირდაპირი დიფერენციაცია იყენებს ყველა მათემატიკასა და უნარს, როგორც ძირითადი დიფერენცირება. ამასთან, მთავარია აღინიშნოს, რომ ჩვენი დამოკიდებული ცვლადი ახლა თავად ფუნქციაში ჩანს.

აიღეთ მარტივი განტოლება, როგორიცაა xy = 1. არსებობს ორი გზა, რომ იპოვოთ წარმოებული y პატივისცემით x, ან dy / dx. პირველი, ჩვენ შეგვიძლია უბრალოდ გადაწყვიტოს y განტოლებაში და გამოიყენეთ დენის წესი წარმოებულებისთვის. ამით გამოიღო: y = 1 / x. ენერგიის წესის გამოყენებით გამოვლინდება, რომ dy / dx = -1 / x².

ჩვენ ასევე შეგვიძლია გავაკეთოთ ეს პრობლემა იმპლიციტური დიფერენცირების გამოყენებით. საბედნიეროდ, ჩვენ უკვე ვიცით პასუხი (იგივე უნდა იყოს, მიუხედავად იმისა, თუ როგორ გამოვთვლით), ასე რომ, ჩვენი სამუშაოების შემოწმება შეგვიძლია!

დასაწყისისთვის გამოიყენეთ წარმოებული xy = 1 განტოლების ორივე მხარეს. შემდეგ, d / dx (xy) = d / dx (1); აშკარად მარჯვენა მხარე ახლა უდრის 0-ს, მაგრამ მარცხენა მხარე მოითხოვს ჯაჭვის წესს. ეს იმიტომ ხდება, რომ ჩვენ ვიღებთ ჩვენი ფუნქციის წარმოებულს, y, ხოლო ის გამრავლებულია სხვა ფაქტორზე x. ამის გამოსათვლელად: d / dx (x) y + x (d / dx (y)) = y + xy '. ჩვენ გამოვიყენებთ პირველ აღნიშვნას, რომ მიუთითოთ წარმოებული პროდუქტის მიმართ x.

ჩვენი განტოლების ხელმეორედ გადაწერა იძლევა: y + xy '= 0. დროა გადაჭრის y ' ჩვენს განტოლებაში! ცხადია, y '= -y / x. ორიგინალი ინფორმაციის გამოყენებით ვიცით რომ y = 1 / x, ასე რომ შეგვიძლია ჩავანაცვლოთ იგი. ამის გაკეთების შემდეგ, ვხედავთ, რომ y '= -1 / x², ისევე როგორც ადრე ვიპოვნეთ.

Y = sin (xy) წარმოებული პროდუქტის დასადგენად, ჩვენ გამოვიყენებთ იმპირულ დიფერენცირებას, თუ გვახსოვს, რომ (d / dx) y = y '.

პირველი, გამოიყენეთ წარმოებული განტოლების ორივე მხარეს: d / dx (y) = d / dx (sin (xy)). განტოლების მარცხენა მხარე აშკარად ჩანს y ', რისი მოგვარებაც დაგვჭირდება, მაგრამ სწორი მხარე გარკვეულ სამუშაოს მოითხოვს. კერძოდ, ჯაჭვის წესი და პროდუქტის წესი. პირველი, ჯაჭვის წესი უნდა იქნას გამოყენებული ცოდვაზე (xy), შემდეგ კი პროდუქტის წესი არგუმენტისთვის xy. საბედნიეროდ, ამ პროდუქტის წესი უკვე გამოვთვალეთ.

შემდეგი, ამის გამარტივება იძლევა: y '= cos (xy) (y + xy').

ცხადია, რომ ეს განტოლება უნდა გადაწყდეს y ' იმის დასადგენად, თუ როგორ y ' უკავშირდება x და y.

ყველა პირობის იზოლირება y ' ერთ მხარეს: y '- xy'cos (xy) = ycos (xy).

შემდეგ ფაქტორი y ' მისაღებად: y '(1 - xcos (xy)) = ycos (xy).

ახლა ჩვენ ვხედავთ, რომ y '= ycos (xy) / (1-xcos (xy)).

შემდგომი გამარტივება საჭირო იქნება, მაგრამ იმის გამო, რომ ჩვენი ფუნქცია რეკურსიულად არის განსაზღვრული, y = sin (xy) ჩართვა, სავარაუდოდ, დამაკმაყოფილებელ ამოხსნას ვერ გამოიღებს. ამ შემთხვევაში შეიძლება მეტი ინფორმაცია ან უფრო დახვეწილი მეთოდი იყოს ამ განტოლებების შედგენისთვის.

პირველ რიგში, გახსოვდეთ, რომ არაპირდაპირი დიფერენცირება ეყრდნობა ერთ ცვლადს, რომელიც სხვას წარმოადგენს. ჩვეულებრივ, ჩვენ ვხედავთ ფუნქციებს, როგორც y = f (x), მაგრამ შეიძლება დაწერონ ფუნქცია x = f (y). ფრთხილად იყავით, როდესაც ამ პრობლემებს მიუახლოვდებით, განსაზღვრეთ რომელი ცვლადი არის სხვაზე დამოკიდებული.

შემდეგი, გახსოვდეთ, რომ ფრთხილად გამოიყენეთ წარმოებული წესები. ირიბი დიფერენცირებისთვის საჭიროა ჯაჭვის წესი ძალიან ხშირად, აგრეთვე პროდუქტის წესი და კოეფიციენტის წესი. საბოლოო პასუხის დასადგენად ამ მეთოდების სწორად გამოყენება აუცილებელია.

დაბოლოს, გადაწყვიტეთ სასურველი წარმოებული მასალის იზოლირებით და გამონათქვამების მაქსიმალურად გამარტივებით.