כיצד למצוא את הזווית המרכזית

דמיין שאתה עומד באמצע זירה מעגלית לחלוטין. אתה משקיף לעבר ההמונים בצידי הזירה, ואתה מבחין בחברך הטוב ביותר במושב אחד ובמורה שלך למתמטיקה בחטיבת הביניים שנמצאת כמה חלקים. מה המרחק בינם לבינך? כמה רחוק תצטרך ללכת בכדי לנסוע ממושב חברך למושב המורה שלך? מהם מדדי הזוויות ביניכם? כל אלה שאלות הקשורות לזוויות מרכזיות.

א זווית מרכזית היא הזווית שנוצרת כאשר שני רדיוסים נמשכים ממרכז העיגול לקצוותיו. בדוגמה זו, שני הרדיוסים הם שני קווי הראייה שלך ממך, במרכז הזירה, אל חברך, וקו הראייה שלך אל המורה שלך. הזווית הנוצרת בין שני הקווים הללו היא הזווית המרכזית. זו הזווית הקרובה למרכז המעגל.

חברך והמורה שלך יושבים לאורך הֶקֵף או בקצוות המעגל. המסלול לאורך הזירה המחברת ביניהם הוא מסלול קֶשֶׁת.

ישנן כמה משוואות בהן תוכלו להשתמש כדי למצוא את הזווית המרכזית. לפעמים תקבל את אורך קשת, המרחק לאורך ההיקף בין שתי נקודות. (בדוגמה, זה המרחק שתצטרך להסתובב בזירה כדי להגיע מחברך למורה שלך.) הקשר בין זווית מרכזית ואורך קשת הוא:

(אורך קשת) ÷ היקף = (זווית מרכזית) ÷ 360 °

הזווית המרכזית תהיה במעלות.

הנוסחה הזו הגיונית אם אתה חושב על זה. אורך הקשת מתוך האורך הכולל סביב המעגל (היקף) הוא אותו פרופורציה כמו זווית הקשת מתוך הזווית הכוללת במעגל (360 מעלות).

כדי להשתמש במשוואה זו ביעילות, עליך לדעת את היקף המעגל. אבל אתה יכול גם להשתמש בנוסחה זו כדי למצוא את אורך הקשת אם אתה יודע את הזווית המרכזית ואת ההיקף. לחלופין, אם יש לך את אורך הקשת ואת הזווית המרכזית, אתה יכול למצוא את ההיקף!

אתה יכול גם להשתמש ברדיוס המעגל ובאורך הקשת כדי למצוא את הזווית המרכזית. קרא למדידת הזווית המרכזית θ. לאחר מכן:

θ = s÷ r, כאשר s הוא אורך הקשת ו- r הוא הרדיוס. θ נמדד ברדיאנים.

שוב, אתה יכול לסדר מחדש את המשוואה הזו בהתאם למידע שיש לך. אתה יכול למצוא את אורך הקשת מהרדיוס והזווית המרכזית. לחלופין, תוכל למצוא את הרדיוס אם יש לך את הזווית המרכזית ואת אורך הקשת.

אם אתה רוצה את אורך הקשת, המשוואה נראית כך:

s =θ * r, כאשר s הוא אורך הקשת, r הוא הרדיוס, ו- θ הוא הזווית המרכזית ברדיאנים.

בואו נוסיף טוויסט לדוגמא שלכם במקום בו אתם בזירה עם השכן והמורה שלכם. עכשיו יש אדם שלישי שאתה מכיר בזירה: השכן הסמוך שלך. ועוד דבר: הם מאחוריך. אתה צריך להסתובב כדי לראות אותם.

השכן שלך נמצא מעבר לזירה מהחבר שלך והמורה שלך. מנקודת המבט של השכן שלך, יש זווית שנוצרת על ידי קו הראייה שלהם לחבר וקו הראייה שלהם למורה. זה נקרא זווית כתובה. An זווית רשומה היא זווית שנוצרת על ידי שלוש נקודות לאורך היקף המעגל.

משפט הזווית המרכזית מסביר את הקשר בין גודל הזווית המרכזית, שנוצרה על ידך, לבין הזווית הכתובה, שנוצרה על ידי השכן שלך. ה משפט זווית מרכזית מציין ש הזווית המרכזית כפולה מזווית הכתובה. (זה מניח שאתה משתמש באותן נקודות קצה. שניכם מסתכלים על המורה והחבר, לא על אף אחד אחר).

הנה דרך נוספת לכתוב את זה. בוא נקרא למושב חברך א ', למושב המורה שלך B ולמושב השכן שלך ג'. אתה, במרכז, יכול להיות O.

לכן, עבור שלוש נקודות A, B ו- C לאורך היקף המעגל ונקודה O במרכז, הזווית המרכזית ∠AOC היא כפולה מהזווית הכתובה ∠ABC.

זה, ∠AOC = 2∠ABC.

זה הגיוני. אתה קרוב יותר לחבר ולמורה, אז אליך הם נראים רחוקים יותר זה מזה (זווית גדולה יותר). לשכן בצד השני של האצטדיון הם נראים הרבה יותר קרובים זה לזה (זווית קטנה יותר).

עכשיו, בואו נעלה את הדברים. השכן שלך בצד הרחוק של הזירה מתחיל להסתובב! יש להם עדיין קו ראייה לחבר ולמורה, אך הקווים והזוויות ממשיכים להשתנות ככל שהשכן נע. נחשו מה: כל עוד השכן נשאר מחוץ לקשת בין החבר לשכן, משפט הזווית המרכזית עדיין מתקיים!

אבל מה קורה כשהשכן זז בֵּין החבר והמורה? עכשיו השכן שלך נמצא בתוך קשת מינורית, המרחק הקטן יחסית בין החבר למורה לעומת המרחק הגדול יותר סביב שאר הזירה. ואז תגיעו לחריגה ממשפט הזווית המרכזית.

ה יוצא מן הכלל למשפט הזווית המרכזית קובע שכאשר נקודה C, השכנה, נמצאת בתוך הקשת המינורית, הזווית הכתובה היא תוספת של חצי הזווית המרכזית. (זכרו שזווית ושלה לְהַשְׁלִים להוסיף ל 180 מעלות.)

כך: זווית רשומה = 180 - (זווית מרכזית ÷ 2)

אוֹ: ∠ABC = 180 - (∠AOC ÷ 2)

למתייחס פתוח למתמטיקה יש כלי להמחשה של משפט הזווית המרכזית ויוצא מהכלל שלה. אתה יכול לגרור את "השכן" לכל חלקי המעגל השונים ולראות את הזוויות משתנות. נסה זאת אם אתה רוצה תרגול חזותי או נוסף!