ההבדלים בין ערך מוחלט למשוואות לינאריות

ערך מוחלט הוא פונקציה מתמטית שלוקחת את הגרסה החיובית של כל מספר שהוא בתוך סימני הערך המוחלט, המצוירים כשני פסים אנכיים. לדוגמה, הערך המוחלט של -2 - כתוב כ -2 | - שווה ל -2. לעומת זאת, משוואות ליניאריות מתארות את הקשר בין שני משתנים. לדוגמה, y = 2x +1 אומר לך שכדי לחשב את y עבור כל ערך נתון של x, מכפילים את הערך של x ואז מוסיפים 1.

תחום וטווח הם מונחים מתמטיים המתארים את כל ערכי הקלט (x) האפשריים ואת כל ערכי הפלט (y) האפשריים, בהתאמה, של פונקציה. ניתן להזין מספרים כלשהם לערך מוחלט או למשוואה ליניארית, ולכן התחומים של שניהם כוללים את כל המספרים האמיתיים. מכיוון שערכים מוחלטים אינם יכולים להיות שליליים, הערך הקטן ביותר האפשרי שלהם הוא אפס. לעומת זאת, משוואות ליניאריות יכולות לתאר ערכים שליליים, אפסיים או חיוביים. כתוצאה מכך, הטווח של פונקציית ערך מוחלט הוא אפס וכל המספרים החיוביים, ואילו הטווח של משוואה ליניארית הוא כל המספרים.

הגרף של פונקציית ערך מוחלט נראה כמו "v". קצה ה- "v" ממוקם בערך y המינימלי של הפונקציה (אלא אם כן קיים סימן שלילי מול פסי הערך המוחלטים, ובמקרה זה הגרף הוא "v" הפוך עם הקצה במקסימום של הפונקציה ערך y). לעומת זאת, הגרף של משוואה ליניארית הוא קו ישר המתואר במשוואה y = mx + b, כאשר m הוא שיפוע הקו ו- b הוא יירוט y (כלומר כאשר הקו חוצה את ציר y).

משוואות ערך מוחלטות יכולות להכיל שני משתנים, ממש כמו שמשוואות ליניאריות, אך הן יכולות להכיל גם משתנה אחד בלבד. לדוגמא, y = | 2x | + 1 הוא גרף של משוואת ערך מוחלטת הדומה למשוואה הליניארית y = 2x +1 בפורמט (אם כי הגרפים נראים שונים לגמרי, כמתואר לעיל). דוגמה למשוואת ערך מוחלטת עם משתנה אחד בלבד היא | x | = 5.

משוואות ליניאריות ומשוואות ערכים מוחלטים של שני משתנים מכילות שני משתנים ולכן לא ניתן לפתור בלי שיהיה לנו גם משוואה שנייה. למשוואות ערך מוחלטות עם משתנה אחד, בדרך כלל ישנם שני פתרונות. במשוואת הערך המוחלט | x | = 5, הפתרונות הם 5 ו- -5, שכן הערך המוחלט של כל אחד מאותם מספרים הוא 5. דוגמה מסובכת יותר היא כדלקמן: | 2x + 1 | -3 = 4. כדי לפתור משוואה כזו, ראשית סידור מחדש כך שהערך המוחלט בפני עצמו בצד אחד של סימן השווה. במקרה זה פירושו להוסיף 3 לשני צידי המשוואה. זה מניב | 2x + 1 | = 7. השלב הבא הוא הסרת פסי הערך המוחלטים והגדרת גרסה אחת השווה למספר המקורי, 7, והגרסה השנייה שווה לערך השלילי של זה, כלומר -7. לבסוף, פתר כל ביטוי בנפרד. לכן, בדוגמה זו יש לנו 2x + 1 = 7 ו- 2x + 1 = -7, מה שמפשט ל- x = 3 או -4.