התוצר של שתי כמויות סקלריות הוא סקלרי, ותוצר של סקלר עם וקטור הוא וקטור, אבל מה לגבי תוצר של שני וקטורים? האם זה סקלר, או וקטור אחר? התשובה היא שזה יכול להיות גם!
ישנן שתי דרכים לקחת מוצר וקטורי. האחד הוא על ידי לקיחת המוצר הנקודתי שלהם, שמניב סקלר, והשני הוא על ידי לקיחת המוצר הצלב שלהם, שמניב וקטור אחר. איזה מוצר משמש תלוי בתרחיש המסוים ובאיזו כמות אתה מנסה למצוא.
תוצר הצלב של שני וקטורים מניב וקטור שלישי שמצביע לכיוון בניצב ל- מישור המשתרע על ידי שני הווקטורים, וגודלו תלוי בניצב היחסי של השניים וקטורים.
הגדרת תוצר צולב של וקטורים
אנו מגדירים תחילה את תוצר הצלב של וקטורי היחידותאני, יוk(וקטורים בעוצמה 1 שמצביעים בx-, y-וzכיווני רכיבים של מערכת הקואורדינטות הקרטזית הסטנדרטית) כדלקמן:
\ bold {i \ times j} = \ bold {k} \\ \ bold {j \ times k} = \ bold {i} \\ \ bold {k \ times i} = \ bold {j} \\ \ bold {i \ times i} = \ bold {j \ times j} = \ bold {k \ times k} = 0
שים לב שיחסים אלה הם אנטי-קומוטטיביים, כלומר אם אנו מחליפים את סדר הווקטורים שאנו לוקחים את התוצר מהם, הוא הופך את סימן המוצר:
\ bold {j \ times i} = - \ bold {k} \\ \ bold {k \ times j} = - \ bold {i} \\ \ bold {i \ times k} = - \ bold {j}
אנו יכולים להשתמש בהגדרות לעיל כדי להפיק את הנוסחה לתוצר הצולב של וקטורים תלת מימדיים. ראשית, כתוב וקטוריםאובכדלהלן:
\ bold {a} = (a_x, a_y, a_z) = a_x \ bold {i} + a_y \ bold {j} + a_z \ bold {k} \\ \ bold {b} = (b_x, b_y, b_z) = b_x \ bold {i} + b_y \ bold {j} + b_z \ bold {k}
מכפילים את שני הווקטורים, אנו מקבלים:
\ bold {a \ times b} = (a_x \ bold {i} + a_y \ bold {j} + a_z \ bold {k}) \ times (b_x \ bold {i} + b_y \ bold {j} + b_z \ מודגש {k}) \\ = a_xb_x \ bold {i \ times i} + a_xb_y \ bold {i \ times j} + a_xb_z \ bold {i \ times k} \\ + a_yb_x \ bold {j \ times i} + a_yb_y \ bold {j \ times j} + a_yb_z \ bold {j \ times k} \\ + a_zb_x \ bold {k \ פעמים i} + a_zb_y \ bold {k \ times j} + a_zb_z \ bold {k \ times k}
ואז, באמצעות יחסי וקטור היחידה לעיל, זה מפשט ל:
\ bold {a \ times b} = a_xb_y \ bold {i \ times j} - a_xb_z \ bold {k \ times i} - a_yb_x \ bold {i \ times j} + a_yb_z \ bold {j \ times k} + a_zb_x \ bold {k \ times i} - a_zb_y \ bold {j \ times k} \\ = (a_xb_y - a_yb_x) \ bold {i \ times j} + (a_zb_x - a_xb_z) \ bold {k \ times i} + (a_yb_z - a_zb_y) \ bold {j \ times k} \\ = (a_yb_z - a_zb_y) \ bold { i} + (a_zb_x - a_xb_z) \ bold {j} + (a_xb_y - a_yb_x) \ bold {k}
(שים לב שהמונחים שמוצלב שלהם היה 0, הם המונחים היוצרים את מוצר הנקודה (נקרא גם המוצר הסקלרי)!זה לא צירוף מקרים.)
במילים אחרות:
\ bold {a \ times b} = \ bold {c} = (c_x, c_y, c_z) \ text {where} \\ c_x = a_yb_z - a_zb_y \\ c_y = a_zb_x - a_xb_z \\ c_z = a_xb_y - a_yb_x
את גודל המוצר הצלב ניתן למצוא באמצעות משפט פיתגורס.
נוסחת המוצר החוצה יכולה להתבטא גם כקובעת המטריצה הבאה:
\ bold {a \ times b} = \ Bigg | \ begin {matrix} \ bold {i} & \ bold {j} & \ bold {k} \\ a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \ end {מטריצה} \ Bigg | \\ = \ Big | \ התחל {מטריצה} a_y & a_z \\ b_y & b_z \ end {matrix} \ Big | \ bold {i} - \ Big | \ begin {matrix} a_x & a_z \\ b_x & b_z \ end {matrix} \ Big | \ bold {j} + \ Big | \ begin {matrix} a_x & a_y \\ b_x & b_y \ end {matrix} \ Big | \ bold {k}
\ text {איפה הקובע} \ Big | \ מתחילים {מטריצה} a & b \\ c & d \ end {matrix} \ Big | = מודעה - לפנה"ס
ניסוח אחר, לעתים קרובות מאוד נוח, של המוצר הצולב הוא (ראה גזירת סוף מאמר זה):
\ bold {a × b} = | \ bold {a} | | \ bold {b} | \ sin (θ) \ bold {n}
איפה:
- |א| הוא גודל (אורך) הווקטורא
- |ב| הוא גודל (אורך) הווקטורב
- θ הוא הזווית בין או ב
- נהוא וקטור היחידה בניצב למישור המשתרע על ידי אוב
וקטורים בניצב והשלט הימני
בתיאור המוצר הצולב נאמר כי כיוון המוצר הצולב ניצב למישור המשתרע באמצעות וקטוראווקטורב. אבל זה משאיר שתי אפשרויות: זה עשוי להצביעמִתוֹךהמטוס אולְתוֹךהמטוס שנפרש על ידי הווקטורים האלה. המציאות היא שאנחנו יכולים למעשה לבחור כל עוד אנחנו עקביים. הכיוון המועדף שנבחר על ידי מתמטיקאים ומדענים כאחד, לעומת זאת, נקבע על ידי משהו שנקראשלטון יד ימין.
כדי לקבוע את הכיוון של מוצר צולב וקטורי באמצעות הכלל הימני, הפנה את האצבע המורה של ידך הימנית לכיוון הווקטוראוהאצבע האמצעית שלך לכיוון הווקטורב. ואז האגודל שלך מצביע לכיוון וקטור הצלב.
לעיתים קשה לתאר כיוונים אלה על פיסת נייר שטוחה, לעתים קרובות מתקיימות המוסכמות הבאות:
כדי לציין וקטור שנכנס לדף, אנו מציירים עיגול עם איקס (חשוב על זה כמייצג את נוצות הזנב בקצה החץ כשאתה מסתכל עליו מאחור). כדי לציין וקטור שיוצא בכיוון ההפוך מחוץ לדף, אנו מציירים מעגל עם נקודה בתוכו (חשוב על זה כקצה החץ שמפנה מהעמוד).
•••na
מאפייני המוצר הצלב
להלן מספר מאפיינים של מוצר הצלב הווקטורי:
\ # \ טקסט {1. אם} \ bold {a} \ text {ו-} \ bold {b} \ text {מקבילים, אז} \ bold {a \ times b} = 0
\ # \ טקסט {2. } \ bold {a \ times b} = - \ bold {b \ times a}
\ # \ טקסט {3. } \ bold {a \ times (b + c)} = \ bold {a \ times b} + \ bold {a \ times c}
\ # \ טקסט {4. } (c \ bold {a) \ times b} = c (\ bold {a \ times b})
\ # \ טקסט {5. } \ bold {a \ cdot (b \ times c}) = \ bold {(a \ times b) \ cdot c}
\ text {Where} \ bold {a \ cdot (b \ times c}) = \ Bigg | \ begin {matrix} a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \ end {matrix } \ Bigg |
פרשנות גיאומטרית של המוצר הצלב
כאשר תוצר הצלב הווקטורי מנוסח במונחים של חטא (θ), ניתן לפרש את גודלו כמייצג את שטח המקבילית המשתרע על ידי שני הווקטורים. הסיבה לכך היא שעבורa × ב, |ב| sin (θ) = גובה המקבילית, כפי שמוצג, ו- |א| הוא הבסיס.
•••דנה חן | מדע
גודל המוצר המשולש הווקטוריa (b × c) בתורו יכול להתפרש כנפח המקביל-אפיפס המשתרע על ידי הווקטוריםא, בוג. זה בגלל ש(ב × ג) נותן וקטור שגודלו הוא השטח המשתרע על ידי וקטורבווקטורג, וכיוון שכיוונו ניצב לאזור זה. לקיחת המוצר הנקודתי של הווקטוראעם תוצאה זו, למעשה מכפיל את שטח הבסיס כפול הגובה.
דוגמאות
דוגמה 1:הכוח על חלקיק מטעןשנע במהירותvבשדה מגנטיבניתן ע"י:
\ bold {F} = q \ bold {v \ times B}
נניח שאלקטרון עובר דרך שדה מגנטי 0.005 T במהירות 2 × 107 גברת. אם הוא עובר בניצב בשדה, הכוח שהוא ירגיש הוא:
\ bold {F} = q \ bold {v \ times B} = qvB \ sin (\ theta) \ bold {n} = (-1.602 \ times 10 ^ {19}) (2 \ times 10 ^ 7) (0.005 ) \ sin (90) \ bold {n} = -11.602 \ times 10 ^ {- 14} \ text {N} \ bold {n}
עם זאת, אם האלקטרון נע במקביל לשדה, אז θ = 0, ו- sin (0) = 0, מה שהופך את הכוח 0.
שים לב כי עבור האלקטרון העובר בניצב בשדה, כוח זה יגרום לו לנוע במסלול מעגלי. ניתן למצוא את הרדיוס של נתיב מעגלי זה על ידי קביעת הכוח המגנטי השווה לכוח הצנטריפטלי ופתרון רדיוסר:
F_ {mag} = qvB \ sin (90) = qvB = \ frac {mv ^ 2} {r} = F_ {cent} \\ \ מרמז על r = \ frac {mv} {qB}
לדוגמא לעיל, חיבור המספרים מניב רדיוס של כ- 0.0227 מ '.
דוגמה 2:מומנט הכמות הפיזית מחושב גם באמצעות מוצר צולב וקטורי. אם כוחFמוחל על אובייקט שנמצא בעמדהרמנקודת הציר, המומנטτעל נקודת הציר ניתן על ידי:
\ bold {\ tau} = \ bold {r \ times F}
שקול את המצב בו מופעל כוח 7 N בזווית לקצה של מוט 0.75 שקצהו השני מחובר לציר. הזווית ביןרוFהוא 70 מעלות, כך שאפשר לחשב את המומנט:
\ bold {\ tau} = \ bold {r \ times F} = rF \ sin (\ theta) = (0.75) (7) \ sin (70) \ bold {n} = 4.93 \ text {Nm} \ bold { n}
כיוון המומנט,נ, נמצא דרך הכלל הימני. אם מוחל על התמונה למעלה, זה נותן כיוון שיוצא מהדף או מהמסך. באופן כללי, מומנט המופעל על אובייקט ירצה לגרום לסיבוב האובייקט. וקטור המומנט תמיד ישכב באותו כיוון כמו ציר הסיבוב.
למעשה, ניתן להשתמש במצב ידני ימני פשוט במצב זה: השתמש ביד ימין שלך כדי "לתפוס" את ציר הסיבוב בתוך בצורה כזו שאצבעותיך מסתלסלות בכיוון שהמומנט הקשור ירצה לגרום לסיבוב האובייקט. האגודל שלך מכוון לכיוון וקטור המומנט.
גזירת פורמולה חוצה מוצרים
\ text {כאן נראה כיצד הנוסחה החוצה את המוצר} \ bold {a × b} = | \ bold {a} | | \ bold {b} | \ sin (θ) \ bold {n} \ text {ניתן להפיק.}
שקול שני וקטוריםאובעם זוויתθביניהם. ניתן ליצור משולש ימני על ידי ציור קו מקצה הווקטוראלנקודת מגע מאונכת על וקטורב.
באמצעות משפט פיתגורס אנו מקבלים את הקשר הבא:
\ Big | \ Big (\ frac {\ bold {a \ cdot b}} {| \ bold {b} | ^ 2} \ Big) \ bold {b} \ Big | ^ 2 + (| \ bold {a} | \ sin (\ theta)) ^ 2 = | \ bold {a} | ^ 2
\ text {איפה} \ Big (\ frac {\ bold {a \ cdot b}} {| \ bold {b} | ^ 2} \ Big) \ bold {b} \ text {הוא ההקרנה של הווקטור} \ bold {a} \ text {על וקטור} \ bold {b}.
לפשט מעט את הביטוי, אנו מקבלים את הדברים הבאים:
\ frac {| \ bold {a \ cdot b} | ^ 2} {| \ bold {b} | ^ 2} + | \ bold {a} | ^ 2 \ sin ^ 2 (\ theta) = | \ bold { א} | ^ 2
לאחר מכן הכפל את שני צידי המשוואה ב |ב|2 והעביר את הקדנציה הראשונה לצד ימין כדי להשיג:
| \ bold {a} | ^ 2 | \ bold {b} | ^ 2 \ sin ^ 2 (\ theta) = | \ bold {a} | ^ 2 | \ bold {b} | ^ 2 - | \ bold { a \ cdot b} | ^ 2
לעבוד עם הצד הימני, להכפיל הכל ואז לפשט:
| \ bold {a} | ^ 2 | \ bold {b} | ^ 2 - | \ bold {a \ cdot b} | ^ 2 = [(a_x) ^ 2 + (a_y) ^ 2 + (a_z) ^ 2 ] [(b_x) ^ 2 + (b_y) ^ 2 + (b_z) ^ 2] \\ - (a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z) (a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z) \\ = (a_xb_y) ^ 2 + (a_xb_z) ^ 2 + (a_yb_x) ^ 2 + (a_yb_z) ^ 2 + (a_zb_x) ^ 2 + a_zb_y) ^ 2 \\ - 2a_xa_yb_xb_y - 2a_xa_zb_xb_z - 2a_ya_zb_yb_z \\ = (a_yb_z - a_yb_z (a_xb_y - a_yb_x) ^ 2 \\ = | \ bold {a \ times b} | ^ 2
הגדרת התוצאה שווה לצד שמאל של המשוואה הקודמת, אנו מקבלים את הקשר הבא:
| \ bold {a \ times b} | = | \ bold {a} || \ bold {b} || \ sin (\ theta) |
זה מראה לנו שהגודל הוא זהה בנוסחה, ולכן הדבר האחרון שצריך לעשות כדי להוכיח את הנוסחה הוא להראות שגם הכיוונים זהים. ניתן לעשות זאת פשוט על ידי לקיחת מוצרי הנקודה שלאעםa × בובעםa × בולהראות שהם 0, רומז כי הכיוון שלa × ב מאונך לשניהם.