אנרגיה קינטית סיבוביתמתאר את אנרגיית התנועה הנובעת מסיבוב של אובייקט או מתנועה מעגלית. נזכיר את זהאנרגיה קינטית לינאריתשל מסהMנע במהירותvניתן על ידי 1 / 2mv2. זהו חישוב פשוט לכל אובייקט הנע בנתיב ישר. זה חל על מרכז המסה של האובייקט, ומאפשר לאובייקט להיות מקורב למסה נקודתית.
כעת, אם אנו רוצים לתאר את האנרגיה הקינטית של אובייקט מורחב שעובר תנועה מורכבת יותר, החישוב הופך להיות מסובך יותר.
נוכל לבצע קירובים עוקבים על ידי פירוק האובייקט המורחב לחתיכות קטנות, שכל אחת מהן ניתנת לקירוב כ- מסה נקודתית, ואז חישב את האנרגיה הקינטית הליניארית עבור כל מסת נקודה בנפרד, והוסף את כולם למעלה כדי למצוא את הסכום עבור לְהִתְנַגֵד. ככל שאנחנו שוברים את האובייקט קטן יותר, כך הקירוב טוב יותר. בגבול שבו החלקים הופכים לאינסוף, ניתן לעשות זאת באמצעות חשבון.
אבל יש לנו מזל! כשמדובר בתנועה סיבובית, יש פשט. עבור עצם מסתובב, אם נתאר את התפלגות המסה שלו סביב ציר הסיבוב במונחי רגע האינרציה שלו,אנילאחר מכן אנו יכולים להשתמש במשוואת אנרגיה קינטית סיבובית פשוטה, הנדונה בהמשך מאמר זה.
רגע האינרציה
רגע האינרציההוא מדד עד כמה קשה לגרום לאובייקט לשנות את תנועת הסיבוב שלו סביב ציר מסוים. רגע האינרציה לאובייקט מסתובב תלוי לא רק במסת האובייקט, אלא גם באופן שמפוזרת אותה מסה סביב ציר הסיבוב. ככל שמתרחקים מהציר שמפזרים את המסה, קשה יותר לשנות את תנועתו הסיבובית, ומכאן שרגע האינרציה גדול יותר.
יחידות ה- SI לרגע האינרציה הן ק"ג2 (שעולה בקנה אחד עם התפיסה שלנו שזה תלוי במסה ובמרחק מציר הסיבוב). את רגעי האינרציה לאובייקטים שונים ניתן למצוא בטבלה או מחשבון.
טיפים
את רגע האינרציה לכל אובייקט ניתן למצוא באמצעות חשבון והנוסחה לרגע האינרציה של מסת נקודה.
משוואת אנרגיה קינטית סיבובית
הנוסחה לאנרגיה קינטית סיבובית ניתנת על ידי:
KE_ {rot} = \ frac {1} {2} I \ omega ^ 2
איפהאניהוא רגע האינרציה של האובייקט וωהיא מהירות הזווית של האובייקט ברדיאנים לשנייה (rad / s). יחידת SI לאנרגיה קינטית סיבובית היא הג'ול (J).
צורת נוסחת האנרגיה הקינטית הסיבובית מקבילה למשוואת האנרגיה הקינטית התרגומית; רגע האינרציה משחק את התפקיד של המסה, ומהירות זוויתית מחליפה את המהירות הליניארית. שים לב שמשוואת האנרגיה הקינטית הסיבובית נותנת את אותה התוצאה עבור מסת נקודה כמו המשוואה הליניארית.
אם נדמיין מסה נקודתיתMנע במעגל של רדיוסרבמהירותv, אז מהירות הזווית שלו היא ω = v / r ורגע האינרציה שלה הוא mr2. שתי משוואות האנרגיה הקינטית נותנות את אותה התוצאה, כצפוי:
KE_ {rot} = \ frac {1} {2} I \ omega ^ 2 = \ frac {1} {2} (mr ^ 2) (v / r) ^ 2 = \ frac {1} {2} \ frac {m \ בטל {r ^ 2} v ^ 2} {\ בטל {r ^ 2}} = \ frac {1} {2} mv ^ 2 = KE_ {lin}
אם עצם מסתובב ומרכז המסה שלו נע לאורך קו ישר (כמו שקורה עם צמיג מתגלגל, למשל), אזאנרגיה קינטית כוללתהוא סכום האנרגיה הקינטית הסיבובית והאנרגיות הקינטיות התרגומיות:
KE_ {tot} = KE_ {rot} + KE_ {lin} = \ frac {1} {2} I \ omega ^ 2 + \ frac {1} {2} mv ^ 2
דוגמאות המשתמשות בנוסחת האנרגיה הקינטית הסיבובית
לנוסחת האנרגיה הקינטית הסיבובית יש יישומים רבים. בעזרתו ניתן לחשב את האנרגיה הקינטית הפשוטה של אובייקט מסתובב, כדי לחשב את האנרגיה הקינטית של אובייקט מתגלגל (אובייקט שעובר גם תנועה סיבובית וגם תרגומית) וכדי לפתור אחר לא ידועים. שקול את שלוש הדוגמאות הבאות:
דוגמה 1:כדור הארץ מסתובב סביב צירו בערך פעם ב 24 שעות. אם אנו מניחים שיש לו צפיפות אחידה, מהי האנרגיה הקינטית הסיבובית שלו? (רדיוס כדור הארץ הוא 6.37 × 106 מ ', והמסה שלו היא 5.97 × 1024 ק"ג.)
כדי למצוא את האנרגיה הקינטית הסיבובית, ראשית עלינו למצוא את רגע האינרציה. על ידי קירוב כדור הארץ ככדור מוצק, אנו מקבלים:
I = \ frac {2} {5} mr ^ 2 = \ frac {2} {5} (5.97 \ times10 ^ {24} \ text {kg}) (6.37 \ times10 ^ 6 \ text {m}) ^ 2 = 9.69 \ times10 ^ {37} \ text {kgm} ^ 2
מהירות הזווית היא 2π רדיאנים ליום. המרת זה ל- rad / s נותנת:
2 \ pi \ frac {\ text {radians}} {\ ביטול {\ text {day}}} \ frac {1 \ ביטול {\ text {day}}} {86400 \ text {שניות}} = 7.27 \ times10 ^ {-5} \ text {rad / s}
אז האנרגיה הקינטית הסיבובית של כדור הארץ היא אז:
KE_ {rot} = \ frac {1} {2} I \ omega ^ 2 = \ frac {1} {2} (9.69 \ times10 ^ {37} \ text {kgm} ^ 2) (7.27 \ times10 ^ {- 5} \ text {rad / s}) ^ 2 = 2.56 \ פעמים 10 ^ {29} \ text {J}
עובדה מהנה: זהו יותר מפי 10 מסך האנרגיה שהשמש מוציאה בדקה!
דוגמה 2:גליל אחיד בעל משקל של 0.75 ק"ג ורדיוס 0.1 מ 'מתגלגל על הרצפה במהירות קבועה של 4 מ / ש. מהי האנרגיה הקינטית שלו?
האנרגיה הקינטית הכוללת ניתנת על ידי:
KE_ {tot} = \ frac {1} {2} I \ omega ^ 2 + \ frac {1} {2} mv ^ 2
במקרה זה, אני = 1/2 מר2 הוא רגע האינרציה של גליל מוצק, וωקשור למהירות הליניארית דרך ω = v / r.
פישוט הביטוי לאנרגיה קינטית כוללת וחיבור ערכים נותן:
KE_ {tot} = \ frac {1} {2} (\ frac {1} {2} mr ^ 2) (v / r) ^ 2 + \ frac {1} {2} mv ^ 2 = \ frac {1 } {4} mv ^ 2 + \ frac {1} {2} mv ^ 2 = \ frac {3} {4} mv ^ 2 \\ = \ frac {3} {4} (0.75 \ text {kg}) (4 \ text {m / s}) = 2.25 \ text {J}
שימו לב שאפילו לא היינו צריכים להשתמש ברדיוס! זה בוטל בגלל הקשר הישיר בין מהירות סיבוב למהירות לינארית.
דוגמה 3:תלמיד על אופניים חוצה במורד גבעה ממנוחה. אם הגובה האנכי של הגבעה הוא 30 מ ', כמה מהר התלמיד הולך בתחתית הגבעה? נניח שהאופניים שוקלים 8 ק"ג, הרוכב שוקל 50 ק"ג, כל גלגל שוקל 2.2 ק"ג (כלול במשקל האופניים) ולכל גלגל קוטר של 0.7 מ '. הערך את הגלגלים כחישוקים והניח שחיכוך הוא זניח.
כאן אנו יכולים להשתמש בשימור אנרגיה מכנית כדי למצוא את המהירות הסופית. האנרגיה הפוטנציאלית בראש הגבעה הופכת לאנרגיה קינטית בתחתית. אנרגיה קינטית זו היא סכום האנרגיה הקינטית התרגומית של כל האדם + מערכת האופניים, והאנרגיות הקינטיות הסיבוביות של הצמיגים.
האנרגיה הכוללת של המערכת:
E_ {tot} = PE_ {top} = mgh = (50 \ text {kg} + 8 \ text {kg}) (9.8 \ text {m / s} ^ 2) (30 \ text {m}) = 17,052 \ טקסט {J}
הנוסחה לאנרגיה כוללת במונחים של אנרגיות קינטיות בתחתית הגבעה היא:
E_ {tot} = KE_ {bottom} = \ frac {1} {2} I_ {צמיגים} \ omega ^ 2 + \ frac {1} {2} m_ {tot} v ^ 2 \\ = \ frac {1} {2} (2 \ פעמים m_ {צמיג} \ פעמים r_ {צמיג} ^ 2) (v / r_ {צמיג}) ^ 2 + \ frac {1} {2} m_ {tot} v ^ 2 \\ = m_ {צמיג} v ^ 2 + \ frac {1} { 2} m_ {tot} v ^ 2 \\ = (m_ {tire} + \ frac {1} {2} m_ {tot}) v ^ 2
פותר עבורvנותן:
v = \ sqrt {\ frac {E_ {tot}} {m_ {tire} + \ frac {1} {2} m_ {tot}}}
לבסוף, אם אנו מחברים מספרים אנו מקבלים את תשובתנו:
v = \ sqrt {\ frac {17,052 \ text {J}} {2.2 \ text {kg} + \ frac {1} {2} 58 \ text {kg}}} = 23.4 \ text {m / s}