משוואת שרודינגר היא המשוואה הבסיסית ביותר במכניקת הקוונטים, ולמידה כיצד להשתמש בה ומשמעותה חיונית לכל פיזיקאי מתחיל. המשוואה נקראת על שם ארווין שרדינגר, שזכה בפרס נובל יחד עם פול דיראק בשנת 1933 על תרומתם לפיזיקה קוונטית.
המשוואה של שרודינגר מתארת את פונקציית הגל של מערכת מכנית קוונטית, הנותנת מידע הסתברותי אודות מיקום חלקיק וכמויות נצפות אחרות כגון שלו תְנוּפָה. הדבר החשוב ביותר שתבין על מכניקת הקוונטים לאחר שלמדת על המשוואה הוא שהחוקים בתחום הקוונטים הםשונה מאודמאלה של המכניקה הקלאסית.
פונקציית הגל
פונקציית הגל היא אחד המושגים החשובים ביותר במכניקת הקוונטים, מכיוון שכל חלקיק מיוצג על ידי פונקציית גל. בדרך כלל מקבלים את האות היוונית psi (Ψ), וזה תלוי במיקום ובזמן. כשיש לך ביטוי לתפקוד הגל של חלקיק, זה אומר לך את כל מה שאפשר לדעת עליו המערכת הפיזית וערכים שונים עבור כמויות נצפות ניתן להשיג על ידי פנייה למפעיל זה.
ריבוע המודול של פונקציית הגל אומר לך את ההסתברות למצוא את החלקיק במיקוםאיקסבזמן נתוןt. זה רק המקרה אם הפונקציה "מנורמלת", כלומר סכום המודול הריבועי על כל המיקומים האפשריים חייב להיות שווה ל -1, כלומר החלקיק הואמסויםלהיות ממוקםאי שם.
שים לב כי פונקציית הגל מספקת רק מידע הסתברותי, ולכן אינך יכול לחזות את התוצאה של תצפית אחת, למרות שאתהפחיתלקבוע את הממוצע על פני מדידות רבות.
אתה יכול להשתמש בפונקציית הגל לחישוב ה-"ערך ציפייה"למיקום החלקיק בזמןt, כאשר ערך הציפייה הוא הערך הממוצע שלאיקסהיית משיג אם תחזור על המדידה פעמים רבות.
שוב, זה לא אומר לך כלום על מדידה מסוימת. למעשה, פונקציית הגל היא יותר חלוקת הסתברות לחלקיק יחיד מאשר כל דבר קונקרטי ואמין. על ידי שימוש במפעיל המתאים, תוכל גם להשיג ערכי ציפייה למומנטום, אנרגיה וכמויות נצפות אחרות.
משוואת שרודינגר
משוואת שרודינגר היא משוואה דיפרנציאלית חלקית ליניארית המתארת את התפתחותו של a מצב קוונטי באופן דומה לחוקי ניוטון (החוק השני בפרט) בקלאסיקה מֵכָנִיקָה.
עם זאת, משוואת שרודינגר היא משוואת גל לתפקוד הגל של החלקיק הנדון, ולכן השימוש במשוואה לחיזוי המצב העתידי. של מערכת מכונה לפעמים "מכניקת גל". המשוואה עצמה נובעת משימור אנרגיה ובנויה סביב מפעיל הנקרא המילטוניאן.
הצורה הפשוטה ביותר לרשום את משוואת שרודינגר היא:
H Ψ = iℏ \ frac {\ partialΨ} {\ partial t}
איפה ℏ הוא הקבוע של פלאנק המופחת (כלומר הקבוע חלקי 2π) ו-ההוא המפעיל ההמילטוני, המתאים לסכום האנרגיה הפוטנציאלית והאנרגיה הקינטית (אנרגיה כוללת) של המערכת הקוונטית. המילטוניאן הוא ביטוי ארוך למדי כשלעצמו, ולכן ניתן לכתוב את המשוואה המלאה כ:
- \ frac {ℏ ^ 2} {2m} \ frac {\ partial ^ 2 Ψ} {\ partial x ^ 2} + V (x) Ψ == iℏ \ frac {\ partialΨ} {\ partial t}
נציין שלפעמים (לבעיות תלת מימדיות במפורש), הנגזרת החלקית הראשונה נכתבת כמפעיל הלפלציאני ∇2. בעיקרו של דבר, המילטון פועל על פי פונקציית הגל כדי לתאר את האבולוציה במרחב ובזמן. אבל בגרסה הבלתי תלויה בזמן של המשוואה (כלומר כשהמערכת לא תלויה בהt), המילטון נותן את האנרגיה של המערכת.
פתרון משוואת שרודינגר פירושו למצוא אתפונקציית גל מכני קוונטישמספק את זה למצב מסוים.
משוואת שרודינגר תלויה בזמן
משוואת שרודינגר התלויה בזמן היא הגרסה מהסעיף הקודם והיא מתארת את התפתחות פונקציית הגל לחלקיק בזמן ובמרחב. מקרה פשוט שיש לקחת בחשבון הוא חלקיק חופשי מכיוון שהאנרגיה הפוטנציאליתו= 0, והפתרון מקבל צורה של גל מישורי. לפתרונות אלה יש את הצורה:
Ψ = Ae ^ {kx −ωt}
איפהk = 2π / λ, λהוא אורך הגל, וω = ה / ℏ.
במצבים אחרים, חלק האנרגיה הפוטנציאלית במשוואה המקורית מתאר את תנאי הגבול עבור ה- חלק מרחבי של פונקציית הגל, ולעתים קרובות הוא מופרד לפונקציה של התפתחות זמן ובלתי תלויה בזמן משוואה.
משוואת שרודינגר בלתי תלויה בזמן
במצבים סטטיים או פתרונות היוצרים גלים עומדים (כמו הפוטנציאל הבאר, פתרונות בסגנון "חלקיק בקופסה"), ניתן להפריד בין פונקציית הגל לחלקי זמן ומרחב:
Ψ (x, t) = Ψ (x) f (t)
כאשר אתה עובר זאת במלואו, ניתן לבטל את חלק הזמן ולהשאיר צורה של משוואת שרודינגררקתלוי במיקום החלקיק. פונקציית הגל הבלתי תלויה בזמן ניתנת אז על ידי:
H Ψ (x) = E Ψ (x)
פהההיא האנרגיה של המערכת המכנית הקוונטית, וההוא המפעיל ההמילטוני. צורה זו של המשוואה לובשת את הצורה המדויקת של משוואת ערך עצמי, עם פונקציית הגל בהיותו התפקוד העצמי, והאנרגיה היא הערך העצמי כאשר מפעילים את המפעיל ההמילטוני לזה. הרחבת המילטון בצורה מפורשת יותר, ניתן לכתוב אותו במלואו כ:
- \ frac {ℏ ^ 2} {2m} \ frac {\ partial ^ 2 Ψ} {\ partial x ^ 2} + V (x) Ψ = E Ψ (x)
חלק הזמן של המשוואה כלול בפונקציה:
f (t) = e ^ {\ frac {iEt} {ℏ}}
פתרונות למשוואת שרודינגר הבלתי תלויה בזמן
משוואת שרודינגר הבלתי תלויה בזמן, מעניקה את עצמה היטב לפתרונות פשוטים למדי מכיוון שהיא גוזרת את הצורה המלאה של המשוואה. דוגמה מושלמת לכך היא קבוצת הפתרונות "חלקיק בקופסה" שבה מניחים שהחלקיק נמצא בפוטנציאל ריבוע אינסופי במימד אחד, כך שיש פוטנציאל אפס (כלומרו= 0) לאורך כל הדרך, ואין שום סיכוי שהחלקיק יימצא מחוץ לבאר.
יש גם באר מרובעת סופית, שבה הפוטנציאל ב"קירות "הבאר אינו אינסופי ואפילו אם הוא גבוה יותר מאנרגיית החלקיק, ישכמהאפשרות למצוא את החלקיק שמחוצה לו עקב מנהרה קוונטית. למען הפוטנציאל האינסופי, הפתרונות לובשים את הצורה:
Ψ (x) = \ sqrt {\ frac {2} {L}} \ sin \ bigg (\ frac {nπ} {L} x \ bigg)
איפהלהוא אורך הבאר.
פוטנציאל פונקציית דלתא הוא מושג דומה מאוד לבאר הפוטנציאל, למעט ברוחבלהולך לאפס (כלומר להיות אינסופי סביב נקודה אחת) ועומק הבאר הולך לאינסוף, בעוד שהתוצר של השניים (U0) נשאר קבוע. במצב מאוד אידיאליסטי זה, יש רק מצב מאוגד אחד, הניתן על ידי:
Ψ (x) = \ frac {\ sqrt {mU_0}} {ℏ} e ^ {- \ frac {mU_0} {ℏ ^ 2} \ vert x \ vert}
באנרגיה:
E = - \ frac {mU_0 ^ 2} {2ℏ ^ 2}
פתרון אטום מימן למשוואת שרודינגר
לבסוף, לתמיסת אטום המימן יש יישומים ברורים לפיזיקה בעולם האמיתי, אך בפועל המצב שכן ניתן לראות באלקטרון סביב גרעין אטום המימן די דומה לבאר הפוטנציאלית בעיות. עם זאת, המצב הוא תלת ממדי ומתואר בצורה הטובה ביותר בקואורדינטות כדוריותר, θ, ϕ. הפתרון במקרה זה ניתן על ידי:
Ψ (x) = NR_ {n, l} (r) P ^ m_ {l} (\ cos θ) e ^ {imϕ}
איפהפהם פולינומי Legendre,רהם פתרונות רדיאליים ספציפיים, ונהוא קבוע שתקבע באמצעות העובדה שיש לנרמל את פונקציית הגל. המשוואה מניבה רמות אנרגיה הניתנות על ידי:
E = - \ frac {\ mu Z ^ 2e ^ 4} {8ϵ_0h ^ 2n ^ 2}
איפהזהנה המספר האטומי (כךז= 1 לאטום מימן),הבמקרה זה הוא המטען של אלקטרון (ולא הקבועה = 2.7182818...), ϵ0 הוא היתר של שטח פנוי, וμהוא המסה המופחתת, המבוססת על מסות הפרוטון והאלקטרון באטום מימן. ביטוי זה טוב לכל אטום דמוי מימן, כלומר כל סיטואציה (כולל יונים) בה יש אלקטרון אחד שמקיף גרעין מרכזי.