רגע האינרציה (אינרציה זוויתית וסיבובית): הגדרה, משוואה, יחידות

בין אם זה מחליק קרח שנמשך בזרועותיה ומסתובב מהר יותר כמו שהיא או חתול ששולט כמה מהר הוא מסתובב במהלך נפילה כדי להבטיח שהיא תנחת על הרגליים, הרעיון של רגע אינרציה הוא קריטי לפיזיקה של סיבוב תְנוּעָה.

הידוע גם בשם אינרציה סיבובית, רגע האינרציה הוא האנלוג הסיבובי של המסה בתוך שני מחוקי התנועה של ניוטון, המתארים את נטייתו של אובייקט להתנגד לתאוצה זוויתית.

הרעיון אולי לא נראה מעניין מדי בהתחלה, אך בשילוב עם חוק שימור הזוויות מומנטום, בעזרתו ניתן לתאר תופעות פיזיקליות רבות ומרתקות ולחזות תנועה במגוון רחב של מצבים.

רגע האינרציה לאובייקט מתאר את עמידותו בתאוצה זוויתית, ומתייחס לחלוקת המסה סביב ציר הסיבוב שלו.

זה בעצם מכמת עד כמה קשה לשנות את מהירות סיבוב האובייקט, בין אם זה אומר להתחיל את סיבובו, לעצור אותו או לשנות את המהירות של אובייקט שכבר מסתובב.

לפעמים זה נקרא אינרציה סיבובית, ומועיל לחשוב על זה כאל אנלוג למסה בחוק השני של ניוטון:F_נֶטוֹ​ = ​אִמָא. כאן, המסה של אובייקט נקראת לעתים קרובות המסה האינרציאלית, והיא מתארת ​​את התנגדות האובייקט לתנועה (לינארית). אינרציה סיבובית פועלת בדיוק כך בתנועה סיבובית, וההגדרה המתמטית כוללת תמיד מסה.

הביטוי המקביל לחוק השני לתנועה סיבובית מתייחסעֲנָק​ (​τ, האנלוג הסיבובי של הכוח) לתאוצה זוויתיתαורגע האינרציהאני​:

לאותו אובייקט יכולים להיות מספר רגעי אינרציה, אולם מכיוון שבעוד שחלק גדול מההגדרה עוסק בהתפלגות המסה, הוא גם מהווה מיקום של ציר הסיבוב.

לדוגמא, בעוד שרגע האינרציה למוט מסתובב סביב מרכזו הואאני​ = ​ML​²/ 12 (איפהMהוא המוני ולהוא אורך המוט), לאותו מוט המסתובב סביב קצה אחד יש רגע של אינרציה שניתנה על ידיאני​ = ​ML​²/3.

כך שרגע האינרציה של הגוף תלוי במסתוM, הרדיוס שלהרוציר הסיבוב שלו.

במקרים מסוימים,רמתייחס אלינוד, למרחק מציר הסיבוב, ובאחרים (כמו במוט בחלק הקודם) הוא מוחלף באורך,ל. הסמלאנימשמש לרגע האינרציה, ויש לו יחידות של ק"ג מ '².

כפי שניתן היה לצפות בהתבסס על מה שלמדת עד כה, יש משוואות רבות ושונות לרגע האינרציה, וכל אחת מהן מתייחסת לצורה ספציפית ולציר סיבוב ספציפי. בכל רגעי האינרציה, המונחאדון​² מופיע, אם כי עבור צורות שונות ישנם שברים שונים מול מונח זה, ובמקרים מסוימים יתכנו מונחים מרובים המסוכמים יחד.

האדון​² רכיב הוא רגע האינרציה למסת נקודה במרחקרמציר הסיבוב, והמשוואה לגוף נוקשה ספציפי בנויה כסכום של מסות נקודה, או על ידי שילוב של אינסוף מסות נקודה קטנות על האובייקט.

בעוד שבמקרים מסוימים זה עשוי להיות שימושי להפיק את רגע האינרציה של אובייקט על סמך סכום אריתמטי פשוט של המוני נקודה או על ידי תוך שילוב, בפועל ישנן תוצאות רבות עבור צורות נפוצות וצירי סיבוב שתוכלו פשוט להשתמש בהן מבלי שתצטרכו להפיק זאת ראשון:

גליל מוצק (ציר סימטריה):

גליל מוצק (ציר קוטר מרכזי, או קוטר החתך העגול באמצע הגליל):

כדור מוצק (ציר מרכזי):

מעטפת כדורית דקה (ציר מרכזי):

חישוק (ציר סימטריה, כלומר בניצב דרך המרכז):

חישוק (ציר קוטר, כלומר על פני קוטר המעגל שנוצר על ידי החישוק):

מוט (ציר מרכז, בניצב לאורך מוט):

מוט (מסתובב סביב הקצה):

ההבנה מדוע יש משוואות שונות לכל ציר סיבוב היא צעד מרכזי לתפיסת הרעיון של רגע אינרציה.

חשוב על עיפרון: אתה יכול לסובב אותו על ידי סיבובו באמצע, בסוף או על ידי סיבוב סביב צירו המרכזי. מכיוון שאינרציית הסיבוב של אובייקט תלויה בחלוקת המסה סביב ציר הסיבוב, כל אחד מהמצבים הללו שונה ודורש משוואה נפרדת כדי לתאר אותו.

אתה יכול לקבל הבנה אינסטינקטיבית של מושג רגע האינרציה אם תגדיל את אותו טיעון עד מוט דגל 30 מטר.

סיבוב מקצה לקצה יהיה קשה מאוד - אם היית מצליח לנהל את זה בכלל - ואילו סיבוב הקוטב סביב צירו המרכזי יהיה הרבה יותר קל. הסיבה לכך היא שמומנט תלוי מאוד במרחק מציר הסיבוב ובגובה 30 מטר דוגמת מוט דגל, סיבוב הקצה על הקצה כרוך בכל קצה קיצוני במרחק של 15 מטר מהציר של רוֹטַציָה.

עם זאת, אם מסובבים אותו סביב הציר המרכזי, הכל די קרוב לציר. המצב הוא כמו לשאת חפץ כבד לאורך הזרוע לעומת להחזיק אותו קרוב לגופך, או להפעיל מנוף מהסוף לעומת קרוב לנקודת המשען.

זו הסיבה שאתה זקוק למשוואה אחרת כדי לתאר את רגע האינרציה לאותו אובייקט בהתאם לציר הסיבוב. הציר שתבחר משפיע על כמה רחוק חלקי הגוף מציר הסיבוב, למרות שמסת הגוף נשארת זהה.

המפתח לחישוב רגע האינרציה לגוף נוקשה הוא ללמוד להשתמש וליישם את המשוואות המתאימות.

שקול את העיפרון מהסעיף הקודם, כשהוא מסתובב מקצה לקצה סביב נקודה מרכזית לאורכו. אמנם זה לא אמושלםמוט (הקצה המחודד שובר צורה זו, למשל) ניתן לדגם אותו כך שיחסוך את הצורך לעבור רגע מלא של גזירת אינרציה לאובייקט.

אז מדגמים את האובייקט כמוט, השתמשו במשוואה הבאה כדי למצוא את רגע האינרציה, בשילוב עם המסה והאורך הכולל של העיפרון:

אתגר גדול יותר הוא למצוא את רגע האינרציה לאובייקטים מרוכבים.

לדוגמא, קחו בחשבון שני כדורים המחוברים יחד על ידי מוט (שאותו נתייחס כחסרי מסה כדי לפשט את הבעיה). כדור אחד הוא 2 ק"ג וממוקם במרחק 2 מ 'מציר הסיבוב, וכדור שני הוא 5 ק"ג במסה ו -3 מ' מציר הסיבוב.

במקרה זה, תוכל למצוא את רגע האינרציה לאובייקט מרוכב זה על ידי התחשבות בכל כדור כמסת נקודה ועבודה מתוך ההגדרה הבסיסית ש:

כשהמנויים פשוט מבדילים בין אובייקטים שונים (כלומר כדור 1 וכדור 2). לאובייקט הדו-כדורי יהיה:

תנע זוויתי (האנלוג הסיבובי למומנטום ליניארי) מוגדר כתוצר האינרציה הסיבובית (כלומר, רגע האינרציה,אני) של האובייקט ומהירותו הזוויתיתω), שנמדד במעלות / שניות או רד / ים.

ללא ספק תכירו את חוק שימור המומנטום הליניארי, והמומנטום הזוויתי נשמר גם הוא באותו אופן. המשוואה לתנע זוויתיל) הוא:

חשיבה על משמעות הדבר בפועל מסבירה תופעות פיזיקליות רבות, מכיוון (בהיעדר כוחות אחרים), ככל שאינרציית הסיבוב של האובייקט גבוהה יותר, כך מהירות הזווית שלה נמוכה יותר.

שקול מחליק על קרח שמסתובב במהירות זוויתית קבועה עם זרועות מושטות, ושים לב שזרועותיו מושטות מגדיל את הרדיוסרשעליו מופצת המסה שלו, מה שמוביל לרגע אינרציה גדול יותר מאשר אם זרועותיו היו קרובות לגופו.

אםל​₁ מחושב בזרועותיו מושטות, ול​₂, לאחר משיכת זרועותיו חייב להיות בעל אותו ערך (מכיוון שהתנע הזוויתי נשמר), מה קורה אם הוא מקטין את רגע האינרציה שלו על ידי ציור בזרועותיו? המהירות הזוויתית שלוωמגדיל כדי לפצות.

חתולים מבצעים תנועות דומות כדי לעזור להם לנחות על רגליהם בעת נפילה.

על ידי מתיחת רגליהן וזנבן, הם מגבירים את רגע האינרציה שלהם ומפחיתים את מהירות סיבובם, ולהפך הם יכולים לצייר ברגליים כדי להקטין את רגע האינרציה שלהם ולהגדיל את מהירות הסיבוב שלהם. הם משתמשים בשתי האסטרטגיות הללו - יחד עם היבטים אחרים של "הרפלקס המתאים" שלהם - כדי להבטיח את כפות רגליהם ראשית, ותוכלו לראות שלבים נפרדים של התכרבלות והתמתחות בצילומי זמן של זמן של חתול נְחִיתָה.

בהמשך להקבלות בין תנועה לינארית לתנועה סיבובית, לאובייקטים יש גם אנרגיה קינטית סיבובית באותו אופן שיש להם אנרגיה קינטית לינארית.

חשבו על כדור שמתגלגל על ​​פני האדמה, שניהם מסתובבים סביב צירו המרכזי ומתקדמים בצורה ליניארית: האנרגיה הקינטית הכוללת של הכדור היא סכום האנרגיה הקינטית הליניארית שלו.ה​_k ואת האנרגיה הקינטית הסיבובית שלוה​_רָקָב. ההקבלות בין שתי האנרגיות הללו באות לידי ביטוי במשוואות של שתיהן, וזכרו של אובייקט רגע האינרציה הוא האנלוג הסיבובי של המסה ומהירות הזווית שלו היא האנלוג הסיבובי של הליניארית מְהִירוּתv​):

ניתן לראות בבירור כי לשתי המשוואות יש אותה צורה בדיוק, כאשר אנלוגי הסיבוב המתאימים מוחלפים למשוואת האנרגיה הקינטית הסיבובית.

כמובן, כדי לחשב את האנרגיה הקינטית הסיבובית, יהיה עליכם להחליף את הביטוי המתאים לרגע האינרציה לאובייקט בחלל עבוראני. בהתחשב בכדור, ומודלים את האובייקט ככדור מוצק, המשוואה היא מקרה זה הוא:

האנרגיה הקינטית הכוללת (ה​_{כּוֹסִית}) הוא סכום האנרגיה הקינטית של הכדור, כך שתוכל לכתוב:

לכדור של 1 ק"ג שנע במהירות ליניארית של 2 מ"ש, ברדיוס של 0.3 מ 'ובמהירות זוויתית של 2π רד / ש, האנרגיה הכוללת תהיה:

בהתאם למצב, לאובייקט יכול להיות אנרגיה קינטית ליניארית בלבד (למשל כדור שנשמט ממנו גובה ללא ספין המוענק אליו) או רק אנרגיה קינטית סיבובית (כדור מסתובב אך נשאר במקומו).

זכרו שכןסך הכלאנרגיה שנשמרת. אם כדור בועט לקיר ללא סיבוב ראשוני, והוא קופץ לאחור במהירות נמוכה יותר אך עם סיבוב המוענק, כמו גם האנרגיה איבד לקול ולחום כשנוצר מגע, חלק מהאנרגיה הקינטית הראשונית הועבר לאנרגיה קינטית סיבובית, וכך זהצְבִיעוּתאולי לנוע במהירות כפי שעשה לפני שקפץ לאחור.