שילוב פונקציות הוא אחד מיישומי הליבה של החשבון. לפעמים זה פשוט, כמו:
F (x) = \ int (x ^ 3 + 8) dx
בדוגמה מורכבת יחסית מסוג זה, תוכלו להשתמש בגרסת הנוסחה הבסיסית לשילוב אינטגרלים בלתי מוגדרים:
\ int (x ^ n + A) dx = \ frac {x ^ {(n + 1)}} {n + 1} + Ax + C
איפהאוגהם קבועים.
כך לדוגמא זו,
\ int x ^ 3 + 8 = \ frac {x ^ 4} {4} + 8x + C.
שילוב של פונקציות שורש בסיסיות מרובעות
על פני השטח, שילוב פונקציה של שורש ריבועי הוא מביך. לדוגמא, יתכן שתסבול מכך:
F (x) = \ int \ sqrt {(x ^ 3) + 2x - 7} dx
אבל אתה יכול לבטא שורש ריבועי כמעריך, 1/2:
\ sqrt {x ^ 3} = x ^ {3 (1/2)} = x ^ {(3/2)}
האינטגרל הופך אפוא ל:
\ int (x ^ {3/2} + 2x - 7) dx
עליה תוכלו להחיל את הנוסחה הרגילה מלמעלה:
\ התחל {מיושר} \ int (x ^ {3/2} + 2x - 7) dx & = \ frac {x ^ {(5/2)}} {5/2} + 2 \ bigg (\ frac {x ^ 2} {2} \ bigg) - 7x \\ & = \ frac {2} {5} x ^ {(5/2)} + x ^ 2 - 7x \ end {align}
שילוב של פונקציות שורש מרובעות מורכבות יותר
לפעמים, ייתכן שיש לך יותר ממונח אחד תחת הסימן הרדיקלי, כמו בדוגמה זו:
F (x) = \ int \ frac {x + 1} {\ sqrt {x - 3}} dx
אתה יכול להשתמשu-החלפה להמשיך. הנה, הגדרתuשווה לכמות במכנה:
u = \ sqrt {x - 3}
לפתור זאת עבוראיקסעל ידי ריבוע שני הצדדים וחיסור:
u ^ 2 = x - 3 \\ x = u ^ 2 + 3
זה מאפשר לך לקבל dx מבחינתuעל ידי לקיחת הנגזרת שלאיקס:
dx = (2u) du
החלפה חזרה לאינטגרל המקורי נותנת
\ התחל {מיושר} F (x) & = \ int \ frac {u ^ 2 + 3 + 1} {u} (2u) du \\ & = \ int \ frac {2u ^ 3 + 6u + 2u} {u } du \\ & = \ int (2u ^ 2 + 8) du \ end {מיושר}
כעת תוכלו לשלב זאת באמצעות הנוסחה הבסיסית וההבעהuבמונחים שלאיקס:
\ התחל {מיושר} \ int (2u ^ 2 + 8) du & = \ frac {2} {3} u ^ 3 + 8u + C \\ & = \ frac {2} {3} (\ sqrt {x - 3}) ^ 3 + 8 (\ sqrt {x - 3}) + C \\ & = \ frac {2} {3} (x - 3) ^ {(3/2)} + 8 (x - 3) ^ {(1/2)} + C \ end {מיושר}