כיצד לחשב נפחי מנסרות מחומשות

א פּרִיזמָה יכול להיות פריט דקורטיבי אלגנטי, כלי בפיזיקה או סתם קונסטריקט גיאומטרי מפתה שבמקרה גם שימושי. לעין ולנפש האנושית יש ין לסימטריה באמנות ובטבע, והם מוצאים אטרקטיביות בצורות תלת מימד קבועות, רב פנים ומשדרות כמו גם מחזירות אור.

חפצים עם מִגרָשׁ כיף להסתכל על הצדדים - למשל דודקהדרון, שיש לו 12 פרצופים זהים לחמישה צדדים המרכיבים את פניו - אבל המתמטיקה העומדת בבסיס הגיאומטריה שלהם יכולה להיות מייגעת במקרה הטוב.

מנסרה בעלת חמישה צדדים (כלומר מחומשת) היא נקודת התחלה שימושית עבור תלמידים המנסים ללמוד כיצד לחשב את נפחי הרגיל פולידרונים, מתוכם מנסרות אחד מסוגים נפוצים רבים ומספר אינסופי של סוגים תיאורטיים.

"Polyhedra" אולי נשמע כמו מפלצת מעולם המיתולוגיה היוונית. למעשה, החלק ה"יווני "בכך נכון: המילה פוליאתרה (יָחִיד פֵּאוֹן) פירושו "בסיסים רבים" ובעולם המתמטיקה, ניתן לעשות הרבה עם אותם בסיסים בהתחשב במידותיהם ובזוויותיהם.

פולידרון הוא כל מוצק תלת מימדי המורכב מפנים מישוריים. הפרצוף שעליו מתואר פולידרון "נח" הוא בסיסו, שיכול להיות זהה לכולם, חלק מהפנים האחרות או אף אחת מהן. הדוגמה הפשוטה ביותר היא א

א פּרִיזמָה הוא פולידרון שהיה יכול להיווצר על ידי "דחיפה" א מְצוּלָע, או דמות דו ממדית עם שלוש זוויות או יותר, בקו ישר דרך החלל ליצירת שני קצוות ומחברים אותם באמצעות כמה מישורים מקבילים כמו שיש לפריזמה צדדים. המנסרה הפשוטה ביותר מורכבת משני משולשים שווי צלעות כשפניהם מקבילים זה לזה מופרדים בשלושה פרצופים מלבניים זהים המכוונים בזוויות של 60 מעלות לשכנותיהם פרצופים.

א מנסרה מחומשת אותו דבר התרחב וכלל שתי זוויות נוספות ושתי פנים נוספות. כך הוא כולל שני בסיסים מחומשים וחמישה צדדים מלבניים. לכן זה א חפטדרון, כי יש לו שבעה צדדים (hepta- הוא קידומת גרק שפירושה "שבע").

השטח של כל מצולע רגיל (כלומר, בו כל הזוויות והצדדים זהים) באורך הצד ס ניתן למצוא מהנוסחה:

A = (n) (s²) / [4 שזוף (180 / n)]

עבור מחומש (n = 5), זה מצטמצם ל:

A = 5 שניות²/2.91 = 1.72 שניות²

אם היית "פורש" או "משטח" פריזמה מחומשת העשויה מקרטון, היית נשאר עם שני פרצופים מחומשים זהים (בסיסי הפריזמה) וחמישה פרצופים מלבניים זהים.

שני צדדים של כל מלבן משותפים עם צלעות המחומשות; קוראים לאורך הזה ס. אם אתה קורא לתייג את שני הצדדים האחרים (שיכולים להיות קצרים או ארוכים ככל שתרצה, לפחות בתיאוריה) חואז השטח של כל צד מלבני הוא ש, ואזור כל הצדדים בשילוב הוא 5sh.

ישנם שני פרצופים מחומשים, כך שהשטח הכולל של פריזמה מחומש הוא:

A = 5 (sh) + 2 (1.72s²) = 5 (sh) + 3.44s²

עבור כל מנסרה סטנדרטית, הנפח הוא רק שטח הבסיס כפול הגובה. כלומר הכפלת 1.72 שניות², הערך לשטח של מחומש מהמשוואה הקודמת, לפי הגובה ח בכל היחידות בהן אתה משתמש. נוסחת הנפח היא:

V = 1.72s²ח

לדוגמא, אם יש לך מנסרה מחומשת גדולה שגובהה 30 ס"מ (0.3 מ ') ודפנותיה 10 ס"מ (0.1 מ'), השטח הוא:

A = 5 (sh) + 2 (1.72s²) = 5 (0.3 מ ') (0.1 מ') + 2 (1.72) (0.1 מ ')²

= 0.15 + 0.0344 = 0.1844 מ '²

הנפח ניתן על ידי:

V = (1.72) (0.1 מ ')²(0.3 מ ') = 0.00516 = 5.16 × 10^-3 M³