כללים לאורך אורך דפנות המשולש

גיאומטריה אוקלידית, הגיאומטריה הבסיסית הנלמדת בבית הספר, מחייבת קשרים מסוימים בין אורכי צידי המשולש. אי אפשר פשוט לקחת שלושה קטעי קו אקראיים וליצור משולש. קטעי הקו צריכים לספק את משפטי אי השוויון במשולש. משפטים אחרים המגדירים יחסים בין צדי משולש הם משפט פיתגורס וחוק הקוסינוסים.

על פי משפט אי-השוויון הראשון במשולש, אורכיהם של שני צלעות משולש חייבים להסתכם באורך של יותר מאשר הצד השלישי. פירוש הדבר שלא ניתן לצייר משולש שאורכו בצד 2, 7 ו 12, מכיוון ש- 2 + 7 קטן מ- 12. כדי לקבל תחושה אינטואיטיבית לכך, דמיין תחילה לשרטט קטע קו באורך 12 ס"מ. עכשיו חשבו על שני קטעי קו אחרים באורך של 2 ס"מ ואורך של 7 ס"מ המחוברים לשני קצות קטע 12 ס"מ. ברור שלא יהיה אפשרי לגרום לשני פלחי הקצה להיפגש. הם יצטרכו להוסיף לפחות 12 ס"מ.

הצד הארוך ביותר במשולש הוא מול הזווית הגדולה ביותר. זהו משפט אי-שוויון נוסף במשולש וזה הגיוני אינטואיטיבי. אתה יכול להסיק ממנה מסקנות שונות. לדוגמא, במשולש קהה, הצד הארוך ביותר צריך להיות זה שמול הזווית העמומה. ההפך מזה נכון גם כן. הזווית הגדולה ביותר במשולש היא זו שנמצאת מול הצד הארוך ביותר.

משפט פיתגורס קובע כי, במשולש ימין, ריבוע אורכו של ההיפוטנוזה (הצד שמול הזווית הנכונה) שווה לסכום הריבועים של שני הצדדים האחרים. אז אם אורך ההיפוטנוזה הוא c ואורכים של שני הצדדים האחרים הם a ו- b, אז c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2. זהו משפט קדום שהיה ידוע כבר אלפי שנים והשתמש בו בונים ומתמטיקאים לאורך הדורות.

חוק הקוסינוסים הוא גרסה כללית של משפט פיתגורס החלה על כל המשולשים, לא רק על אלה עם זוויות ישרות. על פי חוק זה, אם למשולש היו צלעות אורך a, b ו- c, והזווית הפונה לצד האורך c היא C, אז c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 - 2abcosC. ניתן לראות שכאשר C הוא 90 מעלות, cosC = 0 וחוק הקוסינוסים מצטמצם למשפט פיתגורס.