מהי דוגמא נגדית באלגברה?

במתמטיקה משתמשים בדוגמה נגדית להפריך אמירה. אם אתה רוצה להוכיח שהצהרה נכונה, עליך לכתוב הוכחה כדי להוכיח שהיא תמיד נכונה; מתן דוגמה אינו מספיק. בהשוואה לכתיבת הוכחה, כתיבת דוגמא נגדית היא הרבה יותר פשוטה; אם ברצונך להראות כי הצהרה אינה נכונה, עליך רק לתת דוגמה אחת לתרחיש בו ההצהרה שגויה. רוב הדוגמאות הנגדיות באלגברה כוללות מניפולציות מספריות.

כתיבת הוכחה ומציאת דוגמאות נגדיות הם שניים מהשיעורים העיקריים במתמטיקה. רוב המתמטיקאים מתמקדים בכתיבת הוכחות לפיתוח משפטים ומאפיינים חדשים. כאשר לא ניתן להוכיח אמירות או השערות, מתמטיקאים מפריכים אותן על ידי מתן דוגמאות נגדיות.

במקום להשתמש במשתנים וסימונים מופשטים, אתה יכול להשתמש בדוגמאות מספריות להפריך טיעון. באלגברה, רוב הדוגמאות הנגדיות כוללות מניפולציה תוך שימוש במספרים חיוביים ושליליים או מוזרים ואחידים שונים, מקרים קיצוניים ומספרים מיוחדים כמו 0 ו -1.

הפילוסופיה של הדוגמה הנגדית היא שאם בתרחיש אחד המשפט לא מתקיים, ההצהרה שקרית. דוגמה שאינה מתמטית היא "טום מעולם לא אמר שקר." כדי להראות כי אמירה זו נכונה, עליכם לספק "הוכחה" לכך שתום מעולם לא אמר שקר על ידי מעקב אחר כל הצהרה שטום מעולם לא הצהיר. עם זאת, כדי להפריך את ההצהרה הזו, אתה צריך רק להראות שקר אחד שטום דיבר אי פעם.

"כל המספרים הראשוניים הם מוזרים." למרות שכמעט כל המספרים הראשוניים, כולל כל הפריים הראשונים מעל 3, הם אי זוגיים, "2" הוא מספר ראשוני שווה; הצהרה זו שקרית; "2" הוא הדוגמה הנגדית הרלוונטית.

"חיסור הוא קומוטטיבי." גם ההוספה וגם הכפל הם קומוטטיביים - ניתן לבצע אותם בכל סדר. כלומר, עבור כל המספרים האמיתיים a ו- b, a + b = b + a ו- * b = b * a. עם זאת, חיסור אינו מתחלף; דוגמא נגדית המוכיחה זאת היא: 3 - 5 אינו שווה 5 - 3.

"ניתן להבדיל בין כל פונקציה רציפה." הפונקציה המוחלטת | x | הוא רציף לכל המספרים החיוביים והשליליים; אך לא ניתן להבדיל בין x = 0; מאז | x | היא פונקציה רציפה, דוגמא נגדית זו מוכיחה שלא ניתן להבדיל בין כל פונקציה רציפה.