דמיין שאתה מאייש תותח, מכוון לנפץ את חומות טירת האויב כדי שהצבא שלך יוכל להסתער ולתבוע ניצחון. אם אתה יודע כמה מהר הכדור עובר כשהוא עוזב את התותח, ואתה יודע כמה רחוקים הקירות, איזו זווית שיגור אתה צריך לירות בתותח כדי לפגוע בהצלחה בקירות?
זו דוגמה לבעיה בתנועת קליעים, ותוכלו לפתור את זה ובעיות דומות רבות בעזרת משוואות התאוצה הקבועות של קינמטיקה וכמה אלגברה בסיסית.
תנועת קליעכיצד פיזיקאים מתארים תנועה דו מימדית כאשר התאוצה היחידה שחווה האובייקט המדובר היא האצה מתמדת כלפי מטה עקב כוח המשיכה.
על פני כדור הארץ, התאוצה התמידיתאשווה לז= 9.8 מ 'לשנייה2, ואובייקט שעובר תנועת קליע נמצאנפילה חופשיתעם זה כמקור האצה היחיד. ברוב המקרים זה יעבור בדרך של פרבולה, ולכן לתנועה יהיה מרכיב אופקי וגם אנכי. למרות שיש לכך השפעה (מוגבלת) בחיים האמיתיים, למרבה המזל רוב הבעיות בתנועות קליעה לפיזיקה בתיכון מתעלמות מההשפעה של עמידות אוויר.
באפשרותך לפתור בעיות תנועה של קליעה באמצעות הערך שלזוכמה מידע בסיסי אחר על המצב העומד על הפרק, כגון המהירות ההתחלתית של הקליע וכיוון אליו הוא נע. ללמוד לפתור את הבעיות הללו חיוני למעבר לרוב שיעורי המבוא לפיזיקה, והוא מציג בפניכם את המושגים והטכניקות החשובים ביותר שתזדקקו גם לקורסים מאוחרים יותר.
משוואות תנועה של קליעים
המשוואות לתנועת קליעה הן משוואות ההאצה הקבועות מהקינמטיקה, מכיוון שתאוצת הכבידה היא מקור ההאצה היחיד שעליך לשקול. ארבע המשוואות העיקריות שתצטרכו לפתור כל בעיה בתנועת קליעה הן:
v = v_0 + ב- \\ s = \ bigg (\ frac {v + v_0} {2} \ bigg) t \\ s = v_0t + \ frac {1} {2} ב- ^ 2 \\ v ^ 2 = v_0 ^ 2 + 2as
פה,vמייצג מהירות,v0 היא המהירות ההתחלתית,אהוא תאוצה (ששווה לתאוצה כלפי מטה שלזבכל בעיות התנועה של הקליעה),סהיא העקירה (מהמצב ההתחלתי) וכמו תמיד יש לך זמן,t.
משוואות אלה מבחינה טכנית מיועדות רק למימד אחד, ובאמת ניתן לייצג אותן באמצעות כמויות וקטוריות (כולל מהירות)v, מהירות ראשוניתv0 וכן הלאה), אך בפועל אתה יכול פשוט להשתמש בגרסאות אלה בנפרד, פעם אחת ב-איקסכיוון ופעם בy-כיוון (ואם אי פעם הייתה לכם בעיה תלת מימדית, בzגם כיוון).
חשוב לזכור שאלו כןמשמש רק להאצה מתמדת, מה שהופך אותם למושלמים לתיאור מצבים שבהם השפעת הכבידה היא היחידה תאוצה, אך אינה מתאימה למצבים רבים בעולם האמיתי בהם כוחות נוספים צריכים להיות נחשב.
במצבים בסיסיים, זה כל מה שתצטרכו כדי לתאר את תנועת האובייקט, אך במידת הצורך תוכלו לשלב אחרים גורמים, כגון הגובה ממנו הושק הקליע או אפילו לפתור אותם לנקודה הגבוהה ביותר של הקליע עליו נָתִיב.
פתרון בעיות תנועה של קליעה
כעת, כשראיתם את ארבע הגרסאות של נוסחת תנועת הקליע אליה תצטרכו להשתמש לפתור בעיות, אתה יכול להתחיל לחשוב על האסטרטגיה שבה אתה משתמש כדי לפתור תנועת קליע בְּעָיָה.
הגישה הבסיסית היא לפצל את הבעיה לשני חלקים: אחד לתנועה האופקית ואחד לתנועה האנכית. זה נקרא טכנית המרכיב האופקי והמרכיב האנכי, ולכל אחד מהם סט מקביל של כמויות, כגון המהירות האופקית, המהירות האנכית, העקירה האופקית, העקירה האנכית ו בקרוב.
בעזרת גישה זו תוכלו להשתמש במשוואות קינמטיקה, תוך ציון הזמן הזהtזהה גם לרכיבים אופקיים וגם לאנכיים, אך לדברים כמו המהירות ההתחלתית יהיו מרכיבים שונים למהירות האנכית הראשונית ולמהירות האופקית הראשונית.
הדבר המכריע שיש להבין הוא שעבור תנועה דו ממדית,כלניתן לפרק את זווית התנועה לרכיב אופקי ולרכיב אנכי, אבל מתי אם תעשה זאת תהיה גרסה אופקית אחת של המשוואה הנדונה ואנכית אחת גִרְסָה.
הזנחת ההשפעות של התנגדות האוויר מפשטת באופן מאסיבי את בעיות תנועת הקליעה מכיוון שלכיוון האופקי אין אף פעם האצה בתנועת קליעה (נפילה חופשית), מכיוון שהשפעת הכבידה פועלת רק אנכית (כלומר כלפי פני השטח של כדור הארץ).
המשמעות היא שרכיב המהירות האופקי הוא רק מהירות קבועה, והתנועה נעצרת רק כאשר כוח הכבידה מוריד את הקליע לגובה הקרקע. ניתן להשתמש בזה לקביעת זמן הטיסה, מכיוון שהוא תלוי לחלוטין ב-yתנועת כיוון וניתנת לעיבוד מוחלט בהתבסס על העקירה האנכית (כלומר הזמןtכאשר התזוזה האנכית היא אפס מספרת לך זמן הטיסה).
טריגונומטריה בבעיות בתנועה קליעתית
אם הבעיה המדוברת נותנת לך זווית שיגור ומהירות ראשונית, יהיה עליך להשתמש בטריגונומטריה כדי למצוא את רכיבי המהירות האופקית והאנכית. לאחר שתעשה זאת, תוכל להשתמש בשיטות המתוארות בסעיף הקודם כדי לפתור את הבעיה בפועל.
בעיקרו של דבר, אתה יוצר משולש ישר זווית עם היפוטנוזה נוטה בזווית ההשקה (θ) וגודל המהירות כאורך, ואז הצד הסמוך הוא המרכיב האופקי של המהירות והצד הנגדי הוא המהירות האנכית.
שרטטו את המשולש הזוויתי לפי ההוראות, ותראו שתמצאו את הרכיבים האופקיים והאנכיים תוך שימוש בזהויות הטריגונומטריות:
\ text {cos} \; θ = \ frac {\ text {סמוך}} {\ text {hypotenuse}}
\ text {sin} \; θ = \ frac {\ text {מול}} {\ text {hypotenuse}}
כך שניתן לסדר אותם מחדש (ועם הפוך =vy וצמוד =vאיקס, כלומר, רכיב המהירות האנכית ורכיבי המהירות האופקית בהתאמה, והיפוטנוזה =v0, המהירות ההתחלתית) לתת:
v_x = v_0 cos (θ) \\ v_y = v_0 sin (θ)
זה כל הטריגונומטריה שתצטרך לעשות בכדי לטפל בבעיות בתנועה של הקליעה: חיבור זווית ההשקה אל ה- משוואה, תוך שימוש בפונקציות הסינוס והקוסינוס במחשבון שלך ומכפיל את התוצאה במהירות הראשונית של קֶלַע.
אז כדי לעבור על דוגמה לעשות זאת, עם מהירות התחלתית של 20 מ 'לשנייה וזווית שיגור של 60 מעלות, הרכיבים הם:
\ התחל {מיושר} v_x & = 20 \; \ טקסט {m / s} × \ cos (60) \\ & = 10 \; \ טקסט {m / s} \\ v_y & = 20 \; \ טקסט {m / s} × \ sin (60) \\ & = 17.32 \; \ text {m / s} \ end {align}
דוגמא לבעיה בתנועת קליעה: זיקוקין זץ מתפוצץ
תאר לעצמך שלזיקוק דינור יש נתיך שתוכנן כך שהוא יתפוצץ בנקודה הגבוהה ביותר של מסלולו, והוא משוגר במהירות התחלתית של 60 מ 'לשנייה בזווית של 70 מעלות לרוחב.
איך היית עובד באיזה גובהחזה מתפוצץ ב? ומה יהיה הזמן מההשקה כשהוא יתפוצץ?
זו אחת הבעיות הרבות הכרוכות בגובה מקסימלי של קליע, והטריק לפתור אותן הוא לציין שבגובה המרבי,yרכיב המהירות הוא 0 מ 'לשנייה לרגע. על ידי חיבור ערך זה ל-vy ובחירת המשוואות הקינמטיות המתאימות ביותר, תוכל להתמודד עם בעיה זו וכל בעיה דומה בקלות.
ראשית, כשמסתכלים על המשוואות הקינמטיות, זה קופץ החוצה (עם כתבי המשנה שנוספו כדי להראות שאנחנו עובדים בכיוון האנכי):
v_y ^ 2 = v_ {0y} ^ 2 + 2a_ys_y
משוואה זו אידיאלית מכיוון שאתה כבר מכיר את התאוצה (אy = -ז), המהירות ההתחלתית וזווית ההשקה (כך שתוכלו לחשב את הרכיב האנכיvy0). מכיוון שאנחנו מחפשים את הערך שלסy (כלומר, הגובהח) מתיvy = 0, אנו יכולים להחליף את אפס לרכיב המהירות האנכי הסופי ולארגן מחדשסy:
0 = v_ {0y} ^ 2 + 2a_ys_y
−2a_ys_y = v_ {0y} ^ 2
s_y = \ frac {−v_ {0y} ^ 2} {2a_y}
מכיוון שזה הגיוני לקרוא לכיוון כלפי מעלהy, ומאז התאוצה בגלל כוח המשיכהזמכוון כלפי מטה (כלומר, ב -yכיוון), אנחנו יכולים לשנותאy ל -ז. לבסוף, קוראסy הגובהח, אנחנו יכולים לכתוב:
h = \ frac {v_ {0y} ^ 2} {2g}
אז הדבר היחיד שעליך לפתור את הבעיה הוא המרכיב האנכי של המהירות ההתחלתית, שאותו אתה יכול לעשות באמצעות הגישה הטריגונומטרית מהסעיף הקודם. אז עם המידע מהשאלה (60 מ 'לשנייה ו -70 מעלות לשיגור האופקי), זה נותן:
\ התחל {align} v_ {0y} & = 60 \; \ text {m / s} × \ sin (70) \\ & = 56.38 \; \ text {m / s} \ end {align}
עכשיו אתה יכול לפתור את הגובה המרבי:
\ התחל {align} h & = \ frac {v_ {0y} ^ 2} {2g} \\ & = \ frac {(56.38 \; \ text {m / s}) ^ 2} {2 × 9.8 \; \ text {m / s} ^ 2} \\ & = 162.19 \ text {m} \ end {align}
אז הזיקוקים יתפוצצו בערך 162 מטר מהקרקע.
המשך הדוגמא: זמן טיסה ומרחק נסיעה
לאחר פיתרון היסודות של בעיית תנועת הקליע המבוססת אך ורק על התנועה האנכית, ניתן לפתור את יתרת הבעיה בקלות. ראשית כל, ניתן למצוא את הזמן מההשקה שהתפוצץ הנתיך באמצעות אחת ממשוואות ההאצה הקבועות האחרות. כשמסתכלים על האפשרויות, הביטוי הבא:
s_y = \ bigg (\ frac {v_y + v_ {0y}} {2} \ bigg) t \\
יש את הזמןt, שזה מה שאתה רוצה לדעת; העקירה, שאותה אתה מכיר לנקודה המרבית של הטיסה; המהירות האנכית הראשונית; והמהירות בזמן הגובה המרבי (שידוע לנו שהוא אפס). אז על סמך זה, ניתן לארגן מחדש את המשוואה כדי לתת ביטוי לזמן הטיסה:
s_y = \ bigg (\ frac {v_ {0y}} {2} \ bigg) t \\ t = \ frac {2s_y} {v_ {0y}}
אז הכנסת הערכים ופתרון עבורtנותן:
\ התחל {מיושר} t & = \ frac {2 × 162.19 \; \ טקסט {מ}} {56.38 \; \ text {m / s}} \\ & = 5.75 \; \ text {s} \ end {מיושר}
אז הזיקוקים יתפוצצו 5.75 שניות לאחר ההשקה.
לבסוף, תוכלו לקבוע בקלות את המרחק האופקי שעבר על סמך המשוואה הראשונה, שקובעת (בכיוון האופקי):
v_x = v_ {0x} + a_xt
עם זאת, יש לציין כי אין תאוצה באיקסכיוון, זה פשוט:
v_x = v_ {0x}
כלומר המהירות ב-איקסהכיוון זהה לאורך כל מסע הזיקוקים. בהתחשב בכך שv = ד/t, איפהדהוא המרחק שעבר, קל לראות את זהד = vtוכך במקרה זה (עםסאיקס = ד):
s_x = v_ {0x} t
אז אתה יכול להחליףv0x עם הביטוי הטריגונומטרי מקודם, הזן את הערכים ופתור:
\ התחל {מיושר} s_x & = v_0 \ cos (θ) t \\ & = 60 \; \ טקסט {m / s} × \ cos (70) × 5.75 \; \ טקסט {s} \\ & = 118 \; \ text {m} \ end {align}
אז זה יעבור בסביבות 118 מ 'לפני הפיצוץ.
בעיה נוספת בתנועת קליעים: זיקוקי הדאבל
לבעיה נוספת לעבוד עליה, דמיין את הזיקוקים מהדוגמה הקודמת (מהירות התחלתית של 60 מ 'לשנייה הושקה ב 70 מעלות לרוחב) לא הצליח להתפוצץ בשיא הפרבולה שלה, ובמקום זאת נוחת על הקרקע לא מפוצץ. האם אתה יכול לחשב את זמן הטיסה הכולל במקרה זה? כמה רחוק מאתר השיגור בכיוון האופקי הוא ינחת, או במילים אחרות, מהוטווחשל הקליע?
בעיה זו עובדת באופן זהה באותה צורה, בה נמצאים המרכיבים האנכיים של מהירות ותזוזה הדברים העיקריים שאתה צריך לקחת בחשבון כדי לקבוע את זמן הטיסה, וממנו אתה יכול לקבוע את טווח. במקום לעבוד על הפיתרון בפירוט, תוכל לפתור זאת בעצמך על סמך הדוגמה הקודמת.
ישנן נוסחאות לטווח הקליע שתוכלו לחפש או להפיק משוואות התאוצה הקבועות, אך זו לא באמת נחוץ כי אתה כבר יודע את הגובה המרבי של הקליע, ומנקודה זו זה רק בנפילה חופשית בהשפעת כוח משיכה.
המשמעות היא שתוכל לקבוע את הזמן שלוקח הזיקוק לנפילה חזרה לקרקע, ואז להוסיף זאת לזמן הטיסה לגובה המרבי כדי לקבוע את זמן הטיסה הכולל. מאז, זה אותו תהליך של שימוש במהירות הקבועה בכיוון האופקי לצד זמן הטיסה לקביעת הטווח.
הראה כי זמן הטיסה הוא 11.5 שניות, והטווח הוא 236 מ ', וציין כי תצטרך לחשב את המרכיב האנכי של המהירות בנקודה שהיא פוגעת בקרקע כמתווך שלב.
